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1、二次函數(shù)知識點
二次函數(shù)
I.定義與定義表達式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數(shù)的三種表達式
一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于
2、與x軸有交點A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像,
可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點P,坐標為
P [ -b/2a ,(4ac-
3、b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數(shù)
Δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac
4、=0時,拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2;+bx+c,
當y=0時,二次函數(shù)為關于x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2;+bx+c=0
此時,函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
答案補充
畫拋物線y=ax2時,應先列表,再描點,最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心,選取便于計算、描點的整數(shù)值,描點連線時一定要用光滑曲線連接,并注意變化趨勢。
二次函數(shù)解析式的幾種形式
(1
5、)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù),a≠0).
(2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0).
(3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標,即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,a≠0.
說明:(1)任何一個二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,拋物線的頂點坐標是(h,k),h=0時,拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時,拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時,拋物線y=ax2的頂點在原點
答案補充
如果圖像經(jīng)過原點,并且對稱軸
6、是y軸,則設y=ax^2;如果對稱軸是y軸,但不過原點,則設y=ax^2+k
定義與定義表達式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。
x是自變量,y是x的函數(shù)
二次函數(shù)的三種表達式
①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
②頂點式[拋物線的頂點 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k
③交點式[僅限于與x軸有交點 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]:y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進行如下轉(zhuǎn)化:
①一般式和頂點式的關系
對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c,其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交點式的關系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)