5簡單復合函數(shù)的求導法則 一、教學目標：1、了解簡單復合函數(shù)的求導法則；2、會運用上述法則，求簡單復合函數(shù)的導數(shù)。 二、教學重點：簡單復合函數(shù)的求導法則的應用 教學難點：簡單復合函數(shù)的求導法則的應用 三、教學方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 (一)、復習：兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導公式。 1 .常見函數(shù)的導數(shù)公式： C'0；(xn)'nxn1;(sinx)'cosx;(cosx)'sinx. 2 .法則1[u(x)v(x)]u(x)v(x). 法則2[u(x)v(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x),[Cu(x)]Cu'(x). ( 法則3uu^uv'(v0). vv (二)、引入新課 海上一艘油輪發(fā)生了泄漏事故。泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜，油 膜的面積S(單位：m2)是油膜半徑r(單位：m)的函數(shù)：Sf(r)r2。 油膜的半徑r隨著時間t(單位：s)的增加而擴大，假設r關于t的函數(shù)為 r(t)2t1。 油膜的面積S關于時間t的瞬時變化率是多少？ 分析：由題意可得S關于t的新的函數(shù)：Sf((t))(2t1)2 油膜的面積S關于時間t的瞬時變化率就是函數(shù)Sf((t))的導函數(shù) 「f((t))(2t1)2(4t24t1), [f((t))](8t4)4(2t1)。 又f(r)2r,(t)2, [f( (t))] f(r) (t) 一般地，對于兩個函數(shù)yf(u)和u(x)axb,給定x的一個值，就得到了u的值，進而確定了y的值，這樣y可以表示成x的函數(shù)，我們稱這個函數(shù)為函數(shù)yf(u)和u(x)的復合函數(shù)，記作yf((x))o其中u為中間變量。 復合函數(shù)yf((x))的導數(shù)為: Vx [f( (x))] f(u) (x) (yx表示y對x的導數(shù)) 例3、求函數(shù)y (2x 1)3的導數(shù)。 復合函數(shù)的求導法則 復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù). 復合函數(shù)求導的基本步驟是：分解一一求導一一相乘一一回代. 例1、試說明下列函數(shù)是怎樣復合而成的？ ⑴y(2x2)3;⑵ysinx2;⑶ycos(—x);⑷yInsin(3x1). 4 解：⑴函數(shù)y(2x2)3由函數(shù)yu3和u2x2復合而成； ⑵函數(shù)ysinx2由函數(shù)ysinu和ux2復合而成； ⑶函數(shù)ycos(—x)由函數(shù)ycosu和u—x復合而成；44 ⑷函數(shù)yInsin(3x1)由函數(shù)yInu、usinv和v3x1復合而成. 說明：討論復合函數(shù)的構(gòu)成時，內(nèi)層“、外層”函數(shù)一般應是基本初等函數(shù)，如 一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等. 例2、求函數(shù)y%3x1的導數(shù)。 1 解：引入中間變量u(x)3x1,則函數(shù)yJ3x1是由函數(shù)f(u)兀u2與 u(x)3x1復合而成的。 根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得： 3x 1 f (u) (x) 2. u 3 2、3x 1 解：引入中間變量u(x)2x1,則函數(shù)y(2x1)3是由函數(shù)f(u)u3與 u(x)2x1復合而成的。 根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得： _3__2___2 2x1f(u)(x)3u26(2x1) 注意：在利用復合函數(shù)的求導法則求導數(shù)后，要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時復合函數(shù)可以由幾個基本初等函數(shù)組成，所以在求復合函數(shù)的導數(shù)時，先要弄清復合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復合而成的，特別要注意將哪一部分看作一個整體，然后按照復合次序從外向內(nèi)逐層求導. 例4、一個港口的某一觀測點的水位在退潮的過程中，水面高度y(單位：cm)。 關于時間t (單位: S)的函數(shù)為y h(t) 幽，求函數(shù)在t=3時的導數(shù)，并解 2t 1 釋它的實際意義。 解：函數(shù)y h(t) 署是由函數(shù) f(x) 100與x ⑴ 2t 1復合而成的，其 x 中x是中間變量。 yt h (t) f (x) (t) 100 2 x 200 (2t 2 0 1) 將t=3代入h(t)得: 200,、 h(3)(cm/s)。 49 它表示當t=3時，水面高度下降的速度為 200 49 cm/s。 (三)、小結(jié)：⑴復合函數(shù)的求導，要注意分析復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量， 將復合函數(shù)分解成為較簡單的函數(shù)，然后再用復合函數(shù)的求導法則求導；⑵復合 函數(shù)求導的基本步驟是：分解 求導——相乘——回代. (四)、練習：課本已練習. (五)、作業(yè)：課本已習題2-5:2、3、5 五、教后反思: