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1、中檔題目強化練——立體幾何
A組 專項基礎(chǔ)訓練
(時間:40分鐘)
一、選擇題
1.以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中,正確的是( )
A.球的三視圖總是三個全等的圓
B.正方體的三視圖總是三個全等的正方形
C.水平放置的各面均為正三角形的四面體的三視圖都是正三角形
D.水平放置的圓臺的俯視圖是一個圓
答案 A
解析 畫幾何體的三視圖要考慮視角,但對于球無論選擇怎樣的視角,其三視圖總是三個全等的圓.
2.設(shè)α、β、γ是三個互不重合的平面,m、n是兩條不重合的直線,下列命題中正確的是( )
A.若α⊥β,β⊥γ,則α⊥γ
B.若m∥α,n∥β,α⊥β,則m⊥n
C.若
2、α⊥β,m⊥α,則m∥β
D.若α∥β,m?β,m∥α,則m∥β
答案 D
解析 對于A,若α⊥β,β⊥γ,α,γ可以平行,也可以相交,A錯;對于B,若m∥α,n∥β,α⊥β,則m,n可以平行,可以相交,也可以異面,B錯;對于C,若α⊥β,m⊥α,則m可以在平面β內(nèi),C錯;易知D正確.
3.設(shè)α、β、γ為平面,l、m、n為直線,則m⊥β的一個充分條件為( )
A.α⊥β,α∩β=l,m⊥l
B.n⊥α,n⊥β,m⊥α
C.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ
D.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α
答案 B
解析 如圖①知A錯;如圖②知C錯;如圖③在正方體中,兩側(cè)面α與β相交于l,都與底面γ垂
3、直,γ內(nèi)的直線m⊥α,但m與β不垂直,故D錯;
由n⊥α,n⊥β,得α∥β.又m⊥α,則m⊥β,故B正確.
4.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB1、BC1的中點,
則下列結(jié)論不成立的是( )
A.EF與BB1垂直
B.EF與BD垂直
C.EF與CD異面
D.EF與A1C1異面
答案 D
解析 連接B1C,AC,則B1C交BC1于F,且F為B1C的中點,
又E為AB1的中點,所以EF綊AC,
而B1B⊥平面ABCD,所以B1B⊥AC,
所以B1B⊥EF,A正確;
又AC⊥BD,所以EF⊥BD,B正確;
顯然EF與CD異面,C正確;由
4、EF綊AC,AC∥A1C1,
得EF∥A1C1.故不成立的選項為D.
5.若某幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體的體積是( )
A.2 B.C.3 D.
答案 A
解析 由三視圖知原幾何體可理解為三個部分拼接而成,其中一個棱長為1的正方體,另外兩個為正方體的一半.因此易得總體積為2.
二、填空題
6.三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是邊長為2的正三角形,則三棱錐P-ABC的體積等于________.
答案
解析 ∵PA⊥底面ABC,
∴PA為三棱錐P-ABC的高,且PA=3.
∵底面ABC為正三角形且邊長為2,
∴底面面積為×22×
5、sin 60°=,
∴VP-ABC=××3=.
7.已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,點E、F分別是棱PC、PD的中點,則
①棱AB與PD所在直線垂直;
②平面PBC與平面ABCD垂直;
③△PCD的面積大于△PAB的面積;
④直線AE與直線BF是異面直線.
以上結(jié)論正確的是________.(寫出所有正確結(jié)論的編號)
答案?、佗?
解析 由條件可得AB⊥平面PAD,
∴AB⊥PD,故①正確;
若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC,
得PB⊥平面ABCD,從而PA∥PB,這是不可能的,故②錯;
S△PCD=CD·PD,S△PAB=AB·
6、PA,
由AB=CD,PD>PA知③正確;
由E、F分別是棱PC、PD的中點,
可得EF∥CD,又AB∥CD,
∴EF∥AB,故AE與BF共面,④錯.
8.三棱錐S-ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形,則以下結(jié)論中:
①異面直線SB與AC所成的角為90°;
②直線SB⊥平面ABC;
③平面SBC⊥平面SAC;
④點C到平面SAB的距離是a.
其中正確結(jié)論的序號是________.
答案?、佗冖邰?
解析 由題意知AC⊥平面SBC,故AC⊥SB,SB⊥平面ABC,平面
SBC⊥平面SAC,①②③正確;取AB的中點E,連接CE,(如
7、圖)可
證得CE⊥平面SAB,故CE的長度即為點C到平面SAB的距離a,
④正確.
三、解答題
9. 如圖,已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥DC,AB∥DC,
DC=DD1=2AD=2AB=2.
(1)求證:DB⊥平面B1BCC1;
(2)設(shè)E是DC上一點,試確定E的位置,使得D1E∥平面A1BD,
并說明理由.
(1)證明 在Rt△ABD中,AB=AD=1,BD=,
又∵BC=,CD=2,
∴∠DBC=90°,即BD⊥BC.
又BD⊥BB1,B1B∩BC=B,
∴BD⊥平面B1BCC1.
(2)解 DC的中點即為E點,
連接D1E,BE,∵DE
8、∥AB,DE=AB,
∴四邊形ABED是平行四邊形.
∴AD綊BE.
又AD綊A1D1,∴BE綊A1D1,
∴四邊形A1D1EB是平行四邊形.
∴D1E∥A1B.
∵D1E?平面A1BD,A1B平面A1BD,
∴D1E∥平面A1BD.
10.在正方體ABCD-A′B′C′D′中,棱AB,BB′,B′C′,
C′D′的中點分別是E,F(xiàn),G,H,如圖所示.
(1)求證:AD′∥平面EFG;
(2)求證:A′C⊥平面EFG;
(3)判斷點A,D′,H,F(xiàn)是否共面?并說明理由.
(1)證明 連接BC′.
在正方體ABCD-A′B′C′D′中,AB=C′D′,
AB∥C
9、′D′,
所以四邊形ABC′D′是平行四邊形,
所以AD′∥BC′.
因為F,G分別是BB′,B′C′的中點,
所以FG∥BC′,所以FG∥AD′.
因為EF,AD′是異面直線,
所以AD′?平面EFG.
因為FG平面EFG,所以AD′∥平面EFG.
(2)證明 連接B′C.
在正方體ABCD-A′B′C′D′中,A′B′⊥平面BCC′B′,
BC′平面BCC′B′,
所以A′B′⊥BC′.
在正方形BCC′B中,B′C⊥BC′,
因為A′B′平面A′B′C,B′C平面A′B′C,A′B′∩B′C=B′,
所以BC′⊥平面A′B′C.
因為A′C平面A′
10、B′C,所以BC′⊥A′C.
因為FG∥BC′,所以A′C⊥FG,同理可證A′C⊥EF.
因為EF平面EFG,F(xiàn)G平面EFG,EF∩FG=F,
所以A′C⊥平面EFG.
(3)解 點A,D′,H,F(xiàn)不共面.理由如下:
假設(shè)A,D′,H,F(xiàn)共面,連接C′F,AF,HF.
由(1)知,AD′∥BC′,
因為BC′平面BCC′B′,AD′平面BCC′B′.
所以AD′∥平面BCC′B′.
因為C′∈D′H,
所以平面AD′HF∩平面BCC′B′=C′F.
因為AD′平面AD′HF,
所以AD′∥C′F.
所以C′F∥BC′,而C′F與BC′相交,矛盾.
所以點A,
11、D′,H,F(xiàn)不共面.
B組 專項能力提升
(時間:25分鐘)
1.已知直線l1,l2與平面α,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.若l1α,l2∩α=A,則l1,l2為異面直線
B.若l1∥l2,l1∥α,則l2∥α
C.若l1⊥l2,l1⊥α,則l2∥α
D.若l1⊥α,l2⊥α,則l1∥l2
答案 D
解析 對于選項A,當A∈l1時,結(jié)論不成立;對于選項B、C,當l2α時,結(jié)論不成立.
2.已知直線l⊥平面α,直線m平面β,有下面四個命題:
①α∥β?l⊥m;?、讦痢挺?l∥m;
③l∥m?α⊥β;?、躭⊥m?α∥β.
其中正確的命題有( )
A.①②B
12、.①③
C.②④D.③④
答案 B
解析?、僦?,??l⊥m,故①正確;
②中,l與m相交、平行、異面均有可能,故②錯;
③中,??α⊥β,故③正確;
④中,α與β也有可能相交,故④錯誤.
3.如圖所示,是一幾何體的平面展開圖,其中ABCD為正方形,E、
F分別為PA、PD的中點.在此幾何體中,給出下面四個結(jié)論:
①直線BE與直線CF異面;
②直線BE與直線AF異面;
③直線EF∥平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正確的有( )
A.①②B.②③C.①④D.②④
答案 B
解析 對于①,因為E、F分別是PA、PD的中點,
所以EF∥AD.又因為AD
13、∥BC,
所以EF∥BC.所以BE與CF共面.故①不正確.
對于②,因為BE是平面APD的斜線,AF是平面APD內(nèi)與BE不相交的直線,所以BE與AF不共面.故②正確.
對于③,由①,知EF∥BC,所以EF∥平面PBC.故③正確.
對于④,條件不足,無法判斷兩平面垂直.
4.有一個內(nèi)接于球的四棱錐P-ABCD,若PA⊥底面ABCD,∠BCD=,∠ABC≠,BC=3,CD=4,PA=5,則該球的表面積為________.
答案 50π
解析 由∠BCD=90°知BD為底面ABCD外接圓的直徑,則2r==5.
又∠DAB=90°?PA⊥AB,PA⊥AD,BA⊥AD.
從而把PA,A
14、B,AD看作長方體的三條棱,設(shè)外接球半徑為R,則(2R)2=52+(2r)2=52+52,
∴4R2=50,∴S球=4πR2=50π.
5.如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=
,AD=BD,EC⊥底面ABCD,F(xiàn)D⊥底面ABCD,且有EC=
FD=2.
(1)求證:AD⊥BF;
(2)若線段EC上一點M在平面BDF上的射影恰好是BF的中點N,試求二面角B-MF-C的余弦值.
(1)證明 ∵BC⊥DC,且BC=CD=,
∴BD=2且∠CBD=∠BDC=45°.
又AB∥DC,可知∠DBA=∠CDB=45°.
∵AD=BD,
∴△ADB是等腰
15、三角形,且∠DAB=∠DBA=45°.
∴∠ADB=90°,即AD⊥DB.
∵FD⊥底面ABCD于D,AD平面ABCD,
∴AD⊥DF.
又DF∩DB=D1,∴AD⊥平面BDF,
∵BF平面DBF,∴AD⊥BF.
(2)解 以點C為原點,直線CD、CB、CE方向為x,y,z軸建
系.
則D(,0,0),B(0,,0),F(xiàn)(,0,2),A(2,,0),
∵N恰好為BF的中點,
∴N(,,1).
設(shè)M(0,0,z0),∴=(,,1-z0).
由解得z0=1.
故M為線段CE的中點.
設(shè)平面BMF的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),
且=(,-,2),=(0,-,1),
由可得取x1=-1,
則得n1=(-1,1,).
∵平面MFC的一個法向量為n2=(0,1,0),
∴cos〈n1,n2〉==.
故所求二面角B-MF-C的余弦值為.
內(nèi)容總結(jié)