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1、第5、6課時 函數(shù)的值域
教學(xué)目標(biāo)：
使學(xué)生掌握如何求二次函數(shù)、無理函數(shù)和分式函數(shù)的值域.
教學(xué)重點(diǎn)：
聯(lián)系圖像求值域.
教學(xué)難點(diǎn)：
聯(lián)系圖像求值域.
教學(xué)過程：
[例1]求函數(shù)y＝x2在下列范圍內(nèi)的值域：
（1）x∈[1，2] （2）x∈[－1，2] （3）x∈[－3，2]
（4）x∈[a，2] （5）x∈[T，T＋2]
[例2] 求函數(shù)y＝的值域.
解：令t＝－x2＋2x＋3，則：
y＝且t∈[0，4]
∴所求函數(shù)的值域?yàn)椋篬0，2]
[例3] 求函數(shù)y＝2x－3＋的值域.
分析：對于沒有給定自變量的函數(shù)，應(yīng)先考查函數(shù)的定義域，
2、再求其值域.
解：∵4x－13≥0 ∴x∈[，＋∞） 令t＝則得：x＝
∴y＝t2＋t＋ ∴y＝（t＋1）2＋3
∵x≥ ∴t≥0根據(jù)二次函數(shù)圖象可得y∈[，＋∞）
[例4] 求函數(shù)y＝－的值域.
解：y＝（＋2）－｜－2｜
＝
∴y∈[0，4]
[例5] 求函數(shù)y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域.
分析：對于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，從幾何意義入手，即利用絕對值的幾何意義可知，｜x＋1｜表示在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)－1的距離，｜x－2｜表示在數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到點(diǎn)2的距離，在數(shù)軸上任取三個點(diǎn)xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如圖所示，可以看出｜xA＋
3、1｜－｜xA－2｜＝－3
－3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC－2｜＝3，由此可知，對于任意實(shí)數(shù)x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3
所以函數(shù)y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域?yàn)閥∈[－3，3]
[例6] 求函數(shù)y＝的值域.
解：∵函數(shù)定義域?yàn)閤∈R由原函數(shù)可化得：
y＝＝
＝＋＝＋
＝－＋1 令t＝
∵x∈R ∴t∈(0，1]
∴y＝5t2－t＋1＝5（t－）2＋根據(jù)二次函數(shù)的圖象得當(dāng)t＝時
ymin＝當(dāng)t＝1時，ymax＝5
∴函數(shù)的值域?yàn)閥∈[，5]
[例7] 求下列函數(shù)的值域.
（1）y＝ （2）y＝ （k≠0，k是常
4、數(shù)）
（3）y＝（a、b是常數(shù)，a≠0）
（4）y＝（a、b、k是常數(shù)，a、k≠0）
[例8] 求函數(shù)y＝（x≠0）在下列定義域范圍內(nèi)的值域.
（1）x∈（1，2）； （2）x∈（0，2）； （3）x∈（－1，2）；
（4）x∈（2，+∞）； （5）x∈（－2，+∞）
[例9] 求下列函數(shù)的值域：
（1）y＝；（2）y＝
解：（1）∵y＝＝2－
∴函數(shù)的值域?yàn)閧 y︱y≠0}
（2）∵y＝－＋
∵≠0 ∴y≠－
∴函數(shù)y的值域?yàn)閥∈（－∞，－）∪（－，＋∞）
[例10] 求函數(shù)y＝的值域.
解：由y＝可知，
5、x∈R且yx2＋2y＝3x2－1
即（3－y）x2＝2y＋1
若y＝3時，則有0＝7，這是不可能的.
∴y≠3
得：x2＝ ∵x2≥0 ∴≥0
解得：－≤y＜3
∴函數(shù)值域?yàn)閥∈[－，3）
[例11] 求下列函數(shù)的值域：
（1）y＝；（2）y＝
[例12] 求函數(shù)y＝的值域.
解：由y＝得x∈R且可化為：
（2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0
∴當(dāng)y≠時，Δ＝[2（y＋1）]2－4（2y－1）（y＋3）≥0
∴y2＋3y－4≤0 ∴－4≤y≤1且y≠
又當(dāng)y＝時，2（1＋）x＋（＋3）＝0
得：x＝－，滿足條件
∴函數(shù)的值域?yàn)閥∈[－4，1]
評述：（1）求函數(shù)的值域是一個相當(dāng)復(fù)雜的問題，它沒有現(xiàn)成的方法可套用，要結(jié)合函數(shù)表達(dá)式的特征，以及與所學(xué)知識聯(lián)系，靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?
（2）對于以上例題也可以采取不同的方法求解每一個值域，請讀者不妨試一試.
（3）除以上介紹的方法求函數(shù)值域外，隨著學(xué)生的繼續(xù)學(xué)習(xí)，我們今后還會有“反函數(shù)”法、“單調(diào)性”法、“三角換元”法、“不等式”法及“導(dǎo)數(shù)法”等.
課后作業(yè)：
第5、6課時函數(shù)的值域
