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安徽省高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第4單元第27講 三角形中的三角函數(shù)課件 理

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1、12能熟練利用正弦定理、余弦定理將三角形的邊角轉(zhuǎn)化掌握三角形形狀的判斷,三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值及三角恒等式的證明tantan33tantan3sin 2A BC D1.ABCABABAABC在中,且,則的形狀為非正三角形直角三角形等腰直角三角形正三角形tantan33tantantan313120 .sin606 0 2 ABABtanAtanBABtanAtanBABABCAAB 由,可得,所以由得,所以,解析:故的形狀為正三角形53cossin135cos 5616165616A. B. C. D6565665.6525ABCABC在銳角中,已知,則的值是或.2253cossin13512

2、4sin1 coscos1 sin135coscoscos54123coscossin 16.sin13516355ABAABBCABABABAB 因?yàn)?,所以,所以解析?ABC . 3 DabcABCpsinBsinCsinAqABCpq在中,設(shè)命題 :,命題 :是等邊三角形,則命題 是命題 的充分不必要條件 必要不充分條件充要條件既不充分也不必要條件 sinsinsin.CabcpsinBsinCsinAabcsinAsinBsinCABCABCabc:,由正弦定理,所解析: 以,故選所以 abcpsinBsinCsinAABC由條件 :,以易錯(cuò)點(diǎn):為推不出是等邊三角形2.212320 A

3、 16 B 64C 124 4. D 156ABCABCxxABC在中,三個(gè)內(nèi)角滿足,且最大邊與最小邊分別是方程的兩根,則外接圓的面積為2222212320488423180602cos601641628448.43.24328321.4A6xxxxbcABCABCAAabcbcaaRRsinASR圓由方程,解得或,不妨設(shè),因?yàn)?,所以,由余弦定理得,所以由正弦定理,得,所以?,析:故選245 . .5ABCaxbBx中,已知,若解此三角形有兩解,則 的取值范圍是452sin2445135902212242sinAxxAAxxx,因三角形有兩解,所以,且,所以,解得且,解析: 忽略大角易錯(cuò)點(diǎn):

4、對大邊 22222222212903901804090 .1abABbcaAabcAaabcAA 判斷三角形的形狀特征必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系,或角的關(guān)系入手,充分利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化邊為角或化角為邊,邊角統(tǒng)一三角形形狀的判斷依據(jù):等腰三角形:或;直角三角形:或;鈍角三角形:,或;銳角三角形:若 為最大邊,且滿足或 為最大角,且 1_2 sin_ cos_tan_3 sin_24 cos_25 tantantan_.2ABCBCBCBCBABCCBCABC;,在中常用的一些基本;關(guān)系式sincostancossintantantan22AAAAAABC;【要點(diǎn)指南】;22

5、22 s1insin.ABCABCabcabABabCABC在中, 、 、 所對的邊長分別為 、 、 ,且滿足,試判斷例的形狀題型一題型一 判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀222222sinsinsinsincossinsincossincossinsinsincos.sinsin0sincossincossin 2sin 21 aABABbABABaABbABAABBABABAABBABABA 化成角的關(guān)系求解由條件可得,利用和差角公式展開,得,由方法正弦定理,上式化為因?yàn)椋?,即,因?yàn)?、 為三角形的內(nèi):解:角,所以析2ABBACB故為等腰三角形或直角,或,三角形-22222222222

6、22222222222222222sinsincoscos ()2 22. abABabCabaBbAabcacbbcaababccABCcabababcabcab解化為邊的關(guān)系求解由條件,析:故的形狀為直角三角形或等方法腰得或:可三角形- 三角形中的恒等式或三角形的形狀判斷等問題,要注意根據(jù)條件的特點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形,一個(gè)方向是邊,走代數(shù)變形之路,通常是正弦定理、余弦定理結(jié)合使用;另一個(gè)方向是角,走三角評析:變形之路1ABCabcacosBABCbcosAABC在中,已知 、 、 分別是角 、 、 的對變邊,式 :若,試確定的形狀 2222222222222

7、2222222222222222coscos22 0acosBaAbBbcosAbcaacbabbcacabcabacbcababaAbababcabaBCbc由,得,所以,所以,所以,所以,所以或,解析:所以是等腰三角形或直角三角形sinsincossin0sincos202.ABCABBCBCABC在中,已知,求角 、 、例的大小題型二題型二 利用三角函數(shù)知識(shí)解三角形利用三角函數(shù)知識(shí)解三角形sinsincossin0sinsinsincossin0sinsinsincossincoscossin0sinsincos 0. 1 ABBCABABABABABABABBAA由,得,解析:所以,方

8、即法 :(0)sin0cossin3(0)443sincos20sincos2()04sinsi n 20sin2sincos0.15cos23 5.43 2211BBAAAABCBCBBBBBBBBACCBB因?yàn)榻馕觯核?,所以,從而,由,知,從而,由,得,即,亦即由此得,以,sincos203sincos2sin(2)230222232222sinsincossin0sinsinsin cossin0 2BCBCCBCBCBCBCCBABBCABABAB 由,得由、方法,所以或,即或,由,解:得:析,sinsinsincossincoscossin0sinsincos0.sin0cossin

9、(0)43324252231 5.3122 4ABABABABBAABAAABAABCBCCBBCC所以,即因?yàn)?,所以,由,知,從而,知不合要求,再由,得,解析:所以,sin sinABC本題主要考查三角形問題等知識(shí),關(guān)鍵是運(yùn)用代換及解題方向評析:的確定 2.3132sinsi.2s22ninBCABCabccCABCabCBAAABC在中,內(nèi)角 , ,對邊的邊長分別是 , , ,已知,若的面積等于,求變, ;若求式,的面積 22224.31sin 224.21344ababABCabCababababab由余弦定理及已知條件,得又因?yàn)榈拿娣e等于,所以,得聯(lián)立解析:解得,方程組, 22sins

10、in4sincossincos2sincos.4323cos0.2633cos0sin2s 123siin.242343.3322n.23BABAAABAAAAABabABAABCSabbaabababbaC由題意得,即當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),得由正弦定理得解析:所以的面積,聯(lián)立方程組,解得,1 33.m有一塊半徑為,中心角為的扇形鐵皮材料,為了獲得面積最大的矩形鐵皮,工人師傅常讓矩形的一邊在扇形上,然后作其最大的內(nèi)接矩形請求出最例大面積題型三題型三 三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用(0)3sincos .tan333sin333cossin3COBBCaADOBaADOAOAADAB如圖,設(shè)

11、,則,又,所以解,以析: 所,23sin(cossin)3133sin 2cos226633sin(2)366sin(2)136.6 6ABCDmS矩形則,解析: 矩形面積取最值當(dāng),大即時(shí), ()與圓相關(guān)的最值問題,常設(shè)角參數(shù) 注意范圍 ,把題目中出現(xiàn)的邊角用含角的三角函數(shù)表示,再轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)的最值其中確定是什么樣的三角形,用哪些定理或哪些邊角關(guān)系,列出等式或不等式評析:是關(guān)鍵0101115 13.(2415260301025010)DABABAABCBAC年月日時(shí)許,位于上海某高層住宅發(fā)生火災(zāi),為撲滅某著火點(diǎn),現(xiàn)場安排了兩支水槍,如圖,是著火點(diǎn), ,變分別是水槍位置,已知米,式全在 處看到

12、著火點(diǎn)的仰角為,求兩支水槍的噴射距離至少國四校三模是多少?2245 .15.603015 362sin105sin(4560 3)015.41562.215 53.5ABCACBABACACsinACBsinABCCADADCDABBCBCsinACBsinBACBDBCCD 在中,可知由正弦定理得:解析:綜上可知兩,解得又因?yàn)?,所以,由正弦定理得:,解得由勾股定理可得支水槍的噴射距離至少分別為米,3米 122212 12.()331()112ABCMNABACMNABCGMGAAGMAGNSSySS如圖,已知是邊長為的正三角形,、 分別是邊、上的點(diǎn),線段經(jīng)過的重心設(shè)試將、的面積 分別備記為

13、與表示為 的函數(shù);求的最大值與選例題最小值 12123332363.sinsin()6sin()6663sinsin()6sin1sinsin.212sin()61sin().2126661()6GABCAGMAGGMGSGM GAsinSGN GAsAGMGNGAGiNn因?yàn)?是邊長為的正三角形的重心,所以,由正弦定理,得解又,得,析: 則則 2221maxmi22n11144sin ()261sin240216()72(3)62.22332233yyySSsintayny因解析: 取得最大值;取為,所以,當(dāng)或時(shí),當(dāng)時(shí)得最,小值 12172(3)2 ytan本題第問主要考查解三角形,涉及正弦

14、定理的應(yīng)用;第問考查三角恒等變形以及三角函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問評析:題,化簡為加以解決12解斜三角形問題往往用到正弦定理與余弦定理以及三角變換,解題時(shí)角度的選取是關(guān)鍵并關(guān)注角的取值范圍如已知兩邊及其中一邊的對角解三角形,要注意解的情況對于解斜三角形的實(shí)際應(yīng)用問題,要理解題意,分清已知與所求,根據(jù)題意畫出示意圖,抽象或構(gòu)造出三角形,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形,要明確先用哪個(gè)公式或定理,先求哪些量,確定解三角形的方法在演算過程中,要算法簡練,算式工整、計(jì)算正確,還要注意近似計(jì)算的要求34對于實(shí)際應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語、要理解清楚,如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等,正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵利

15、用正、余弦定理可以進(jìn)行邊角互化,有利于判斷三角形的形狀解決三角形中的問題,要從統(tǒng)一著手,或統(tǒng)一成角的關(guān)系,或統(tǒng)一成邊的關(guān)系,要視情況靈活處理在解三角形時(shí),要注意解題的完整性,謹(jǐn)防失根tantan33tantan3sincos4ABCABABBBABC已知在中,且,試判斷的形狀tantan33 tantan3tan31tan360 .33sincossin 242260212030609060ABABtanAtanBABtanAtanBCCBBBBBBBAABC 因?yàn)?,所以,所以,即,又,所錯(cuò)以,所以,或,所以或,故,或,所以是直角三角形或等邊解: 三角形“”90tanAAABCABC錯(cuò)解分以上解法看似一氣呵成,簡捷流暢,似乎很難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,然而題設(shè)中暗藏了 殺機(jī) :當(dāng)時(shí),不存在,故不可能是直角三角形,因而只能為等析: 邊三角形9060tan90AAAABC同上,或,但由于存在,故,正解: 只能為等邊三角形

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