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1、《空間向量及其運算》 2．空間向量的運算 定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下;; 運算律：⑴加法交換律： ⑵加法結(jié)合律： ⑶數(shù)乘分配律： 3．平行六面體 平行四邊形平移向量到的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作它的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱 4. 平面向量共線定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量．向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使＝λ. 要注意其中對向量的非零要求． 5. 共線向量 如果表示空間向量的有向線

2、段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作． 當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線． 6． 共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數(shù)λ，使＝λ. 推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式 ．其中向量叫做直線的方向向量. 空間直線的向量參數(shù)表示式： 或， 中點公式． 7．向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：．通常我們把平行于同一平面的向量，叫做

3、共面向量 說明：空間任意的兩向量都是共面的 8．共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使 推論：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使 ①或?qū)臻g任一點，有② 或 ③ 上面①式叫做平面的向量表達式 9．空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 若三向量不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底 推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使 10 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫

4、做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：. 11．向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：. 12．向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即． 已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影. 可以證明的長度． 13．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： （1）．（2）． （3）． 14．空間向量數(shù)量積運算律： （1）．（2）（交換律）． （3）（分配律） 空間向量的直角坐標及其運算 1 空間直角坐標系： （1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位

5、正交基底，用表示； （2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面； A A' D B B' D' C C' y z x 2．空間直角坐標系中的坐標： 在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標． 常見坐標系 B C A D O z x y ①正方體 如圖所示，

6、正方體的棱長為，一般選擇點為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為 亦可選點為原點. 在長方體中建立空間直角坐標系與之類似. ②正四面體 A B C D P O x y z 如圖所示，正四面體的棱長為，一般選擇在上的射影為原點，、（或）、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為 ③正四棱錐 如圖所示，正四棱錐的棱長為，一般選擇點在平面的射影為原點，（或）、（或）、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為 ④正三棱柱 B' C' A' C A B x y z O E 如圖所示，正三

7、棱柱 的底面邊長為，高為，一般選擇中點為原點，（或）、、（為在上的射影）所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則各點坐標為 3．空間向量的直角坐標運算律： （1）若，，則 ， ，， ， ， ． （2）若，，則． 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 4 模長公式：若，， 則，． 5．夾角公式：． 6．兩點間的距離公式：若，， 則， 或 空間向量應用 一、直線的方向向量 把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.在空間直角坐標系中，由與確定直線的方向向量是. 平面法向量 如果，那么向量叫

8、做平面的法向量. 二、證明平行問題 1．證明線線平行：證明兩直線平行可用或 . 2.證明線面平行 直線的方向向量為，平面的法向量為，且，若即則. 3.證明面面平行 平面的法向量為，平面的法向量為，若即則. 三、證明垂直問題 1．證明線線垂直 證明兩直線垂直可用 2．證明線面垂直 直線的方向向量為，平面的法向量為，且，若即則. 3.證明面面垂直 平面的法向量為，平面的法向量為，若即則. 四、夾角 1．求線線夾角 設，，為一面直線所成角，則： ； ；. 2．求線面夾角 n O P A α θ 如圖，已知為平面的一條斜線，為平面的一個法向量，過作

9、平面的垂線，連結(jié)則為斜線和平面所成的角，記為易得 . 3．求面面夾角 設、分別是二面角兩個半平面、的法向量， 當法向量、同時指向二面角內(nèi)或二面角外時，二面角的大小為； 當法向量、一個指向二面角內(nèi)，另一外指向二面角外時，二面角的大小為. 五、距離 1．求點點距離 設，， 2．求點面距離 如圖，為平面任一點，已知為平面的一條斜線，為平面的一個法向量，過作平面的垂線，連結(jié)則為斜線和平面所成的角，記為易得 . 3．求線線距離 求異面直線間的距離可以利用向量的正射影性質(zhì)直接計算.如圖，設兩條異面直線、的公垂線的方向向量為, 這時分別在、上任取、兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線、的距離.即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值. 直線、的距離. 4．求線面距離 一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫做這條直線到這個平面的距離.直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離. 5.求面面距離 和兩個平行平面同時垂直的直線叫做兩個平行平面的公垂線.公垂線夾在這兩個平行平面間的部分叫做兩個平行平面的公垂線段.公垂線段的長度叫做兩個平行平面間的距離. 平面和平面間的距離可轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離. 5