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高中數(shù)學《第一章 集合與函數(shù)的概念》本章小結 新人教A版必修1

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1、本章小結本章小結 一、學習集合應該注意的問題目前在中學數(shù)學中,集合知識主要有兩方面的應用:(1)把集合作為一種數(shù)學語言,以表達一定范圍或具有某些特性的元素,例如,方程(或方程組)的解集、不等式(或不等式組)的解集、具有某種性質或滿足某些條件的數(shù)集、點集等 (2)運用集合間的基本關系和運算的思想解決某些抽象而復雜的問題 例如,利用集合間的基本關系及運算幫助理解事件間的關系,充分必要條件等(以后將要學習) 有時從正面解題較難時,可以考慮用補集的思想求解1要注意理解、正確運用集合概念【例1】若Py|yx2,xR,Q(x,y)|yx2,xR,則必有()APQBPQCPQ DPQ思路分析:有的同學一接觸

2、此題馬上得出結論PQ,這是由于他們僅僅看到兩集合中的yx2,xR相同,而沒有注意到組成兩個集合的元素是不同的,集合P是函數(shù)值域集合,集合Q是yx2,xR上的點的集合,代表元素根本不是同一類事物解析:P表示函數(shù)yx2的值域,Q表示拋物線yx2上的點組成的點集,因此PQ,故選A.答案:A 2要充分注意集合元素的互異性 集合元素的互異性,是集合的重要屬性,在解題過程中,集合元素的互異性常常被忽視而出錯思路分析:要解決a的求值問題,關鍵是要有方程的數(shù)學思想,此題應根據(jù)集合的運算及集合中元素的確定性、互異性矛盾,無序性建立關系式解:AB2,5,a32a2a75,由此求得a2,或a1.當a1時,a22a2

3、1,與元素的互異性矛盾,故舍去;當a1時,B1,0,5,2,4,與AB2,5相矛盾,故舍去;當a2時,A2,4,5,B1,3,2,5,25,此時AB2,5,滿足題設故a2為所求3要注意掌握好證明、判斷兩集合關系的方法集合與集合之間的關系問題,在我們解答數(shù)學問題過程中經常遇到集合與集合關系的一系列概念,都是用元素與集合的關系來定義的因此,在證明(判斷)兩集合的關系時,應回到元素與集合的關系中去【例3】集合Xx|x2n1,nZ,Yy|y4k1,kZ,試證明XY.思路分析:要證明XY,按集合相等的定義,應證明XY,且YX.證明:(1)設任意x0X,則x02n01,n0Z.若n0是偶數(shù),可設n02m,

4、mZ,則x022m14m1,x0Y;若n0是奇數(shù),可設n02m1,mZ,則x02(2m1)14m1,x0Y.不論n0是偶數(shù)還是奇數(shù),都有x0Y,XY.(2)又設任意y0Y,則y04k01,或y04k01,k0Z.y04k012(2k0)1,y04k012(2k01)1,2k0和2k01都屬于Z,y0X,YX.由(1)(2)可知,XY.4要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一個特殊的集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,在解決集合之間關系問題時,它往往易被忽視而引起解題失誤【例4】已知Ax|x23x20,Bx|ax20,且ABA,求實數(shù)a組成的集合C.思路分析:BA包括兩

5、種情況,即B和B.解:(1)當B時,由x23x20,得x1或2.當x1時,a2;當x2時,a1.(2)當B時,即當a0時,B,符合題意,故實數(shù)a組成的集合C0,1,2二、函數(shù)的概念、表示及其應用對于函數(shù)的概念及其表示要注意:1函數(shù)的三要素:定義域、值域、對應關系2定義域和對應關系相同的兩個函數(shù)是同一函數(shù),兩者需同時具備3函數(shù)定義域的求法列使函數(shù)有意義的自變量的不等關系式,求解即可求函數(shù)的定義域,常涉及到的依據(jù)為:分母不為0;偶次根式被開方數(shù)不小于0;零指數(shù)冪中底數(shù)不等于零;實際問題要考慮實際意義等 4求抽象函數(shù)定義域的方法: (1)已知f(x)的定義域為a,b,求fg(x)的定義域,就是求不等

6、式ag(x)b的解集 (2)已知fg(x)的定義域為a,b,求f(x)的定義域,就是求當xa,b時,g(x)的值域 5求函數(shù)解析式的常用方法: (1)定義法;(2)換元法;(3)待定系數(shù)法;(4)構造法;(5)消去法 6求函數(shù)值域的方法: (1)配方法;(2)分離常數(shù)法;(3)換元法;(4)判別式法;(5)單調性法;(6)不等式法溫馨提示:求解分段函數(shù)及復合函數(shù)的有關問題時,應注意復合函數(shù)中“內”層函數(shù)的值域充當“外”層函數(shù)的定義域,不能籠統(tǒng)地寫在一起,而應分段討論【例6】已知二次函數(shù)f(x)x2axb,Ax|f(x)2x22,則f(x)的解析式為_溫馨提示:求解析式的關鍵是求解參數(shù)溫馨提示:求函數(shù)的值域無固定的格式方法,應具體問題具體分析,注意觀察函數(shù)的結構特點,選擇適當?shù)姆椒ㄇ笾涤?,勿忘?yōu)先考慮定義域三、函數(shù)的單調性、奇偶性及其應用函數(shù)的單調性、奇偶性是高考考查的重要內容,要掌握判斷函數(shù)單調性的步驟,掌握奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質以及運用函數(shù)單調性、奇偶性,求函數(shù)最大(小)值的方法思路分析:求函數(shù)在某區(qū)間上的最值,通常先判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調性,當函數(shù)或區(qū)間中含有字母時,要對字母加以討論,以確定函數(shù)的單調性

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