1.1.1 正弦定理正弦定理 （1）教學(xué)目標(biāo)：1.掌握正弦定理的推導(dǎo)、內(nèi)容及應(yīng)用解斜三角形的問題。2、培養(yǎng)學(xué)生解斜三角形的能力。重點、難點：定理的推導(dǎo)及應(yīng)用。在初中，我們已會解直角三角形在初中，我們已會解直角三角形. 就是說，已會根據(jù)就是說，已會根據(jù)直角三角形中的已知的邊與角求出未知的邊與角直角三角形中的已知的邊與角求出未知的邊與角.那么，那么，如何來解斜三角形呢？如何來解斜三角形呢？為此，為此，也就是如何根據(jù)斜三角形中已知的也就是如何根據(jù)斜三角形中已知的邊與角求出未知的邊與角呢？邊與角求出未知的邊與角呢？我們先來學(xué)習(xí)兩個重我們先來學(xué)習(xí)兩個重要定理要定理 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理.CABacb則，中，已知如圖，在cABbACaBCABCRt Asin Bsin Csin，Aacsin即 ，Bbcsin .sinCcc CcBbAasinsinsin 問：問：在任意三角形中，這一關(guān)系式是否成立呢？在任意三角形中，這一關(guān)系式是否成立呢？下面我們用向量來研究這個問題下面我們用向量來研究這個問題 .，ca，cb，1Cabsin21 hABCaABChaS 21 （三角形面積公式）（三角形面積公式）證明方法證明方法1：Bacsin21 同理可證：同理可證：CbaAbcSABCsin21sin21 CbaBacAbcSABCsin21sin21sin21 CcBbAasinsinsin （正弦定理）（正弦定理）ABChAABC.O證明方法證明方法2：作出作出ABC的外接圓的外接圓 O，連接連接BO交交 O于于A， 連連CA，則則ABC為直角三角形，為直角三角形， sin A，2Ra ，AA BABC Asin同理可證：同理可證：.RAa2sin ，2sinRBb .RCc2sin .RCcBbAa2sinsinsin （R為為ABC外接圓半徑）外接圓半徑）如何構(gòu)造向量及等式？如何構(gòu)造向量及等式？jACB在銳角在銳角 中，中，過過A作單位向量作單位向量j 垂直于垂直于 ， ACABC 則有則有j 與與 的夾角為的夾角為 ， j 與與 的夾角為的夾角為 . 等式等式A 90CBC 90ABCBAC AB怎樣建立三角形中邊和角間的關(guān)系？怎樣建立三角形中邊和角間的關(guān)系？ABjCBACj )()90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj AcCasinsin 即即CcAasinsin 同理，過同理，過C作單位向量作單位向量j 垂直于垂直于 ，可得，可得CBCcBbsinsin CcBbAasinsinsin 為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們在上面為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系，我們在上面向量等式的兩邊同取與向量向量等式的兩邊同取與向量 j 的數(shù)量積運算，得到：的數(shù)量積運算，得到：證明方法證明方法3： 在鈍角三角形中，怎樣將三角形的邊用向量表示？怎樣引在鈍角三角形中，怎樣將三角形的邊用向量表示？怎樣引入單位向量？怎樣取數(shù)量積？入單位向量？怎樣取數(shù)量積？jACB在鈍角在鈍角 中，中，過過A作單位向量作單位向量j 垂直于垂直于 ， ACABC 則有則有j 與與 的夾角為的夾角為 ， j 與與 的夾角為的夾角為 . 等式等式 .90 ACBC 90ABCBAC AB同樣可證得：同樣可證得：CcBbAasinsinsin 想一想：想一想：正弦定理還有沒有其它的方法證明？正弦定理還有沒有其它的方法證明？正弦定理：正弦定理：CcBbAasinsinsin 在一個三角形中，各邊和它所對角在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即的正弦的比相等，即注意：注意：（1）正弦定理適合于任何三角形）正弦定理適合于任何三角形.（2） （R為為ABC外接圓半徑）外接圓半徑）（3）每個等式可視為一個方程：知三求一）每個等式可視為一個方程：知三求一.2sinsinsinRCcBbAa ABC利用正弦定理，可以解決兩類問題：利用正弦定理，可以解決兩類問題：已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角. .已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（進而可求出其它的角和邊）對角（進而可求出其它的角和邊）. .正弦定理：正弦定理：CcBbAasinsinsin 在一個三角形中，各邊和它所對角在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即的正弦的比相等，即正弦定理可以解什么類型的三角形問題？正弦定理可以解什么類型的三角形問題？ ABC 例例1 在在 中，中， ，求，求 的面積的面積S ABC )13(2,60,45 aCBABC 解：解： 75)(180CBA由正弦定理得由正弦定理得 ABabsinsin CabSABCsin21 ACB426)22)(13(2 . 4 )23(4)13(221 .326 AaBbsinsin 例例2. 在在 中，中，（1）已知）已知 ，求，求 ；（2）已知）已知 ，求，求 C.ABC 45,24, 4BbaA解解：（1 1）由由 BbAasinsin 得得 bBaAsinsin 在在 中中 ABC ba A 為銳角為銳角 30A30,24, 4Aba21 （2 2）由由 BbAasinsin 得得 aAbBsinsin 在在 中中 ABC ba B 為銳角為銳角 或鈍角或鈍角 B = 45或或 135.22 C = 105或或 15.ABC例例3. 在在ABC中，已知中，已知 b=12，A=30，B=45，解這個三角形，解這個三角形，并求出它的外接圓半徑和三角形的面積并求出它的外接圓半徑和三角形的面積.解：解： 由正弦定理由正弦定理ARasin2 45sin212sin2BbR.26 又又 A=30，B=45，C=18030 45=105， 105sinsinC)4560sin( .426 RCcBbAa2sinsinsin .26 30sin212CRcsin2 426212 .636 CabSABCsin21 426122621 .18318 CBA