第一章常用邏輯用語第一章常用邏輯用語 1 14 4全稱量詞與存在量詞全稱量詞與存在量詞1 14.14.1全稱量詞全稱量詞1 14.24.2存在量詞存在量詞 1.理解全稱量詞、存在量詞和全稱命題、特稱命題的概念 2能準(zhǔn)確地使用全稱量詞和存在量詞符號(hào)(即，)來表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容 3掌握判斷全稱命題和特稱命題的真假的基本原則和方法. 新 知 視 界 1全稱量詞和全稱命題 (1)全稱量詞： 短語“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示 (2)全稱命題： 定義：含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題 一般形式：全稱命題“對M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡記為xM，p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”其中M為給定的集合，p(x)是一個(gè)關(guān)于x的命題 2存在量詞和特稱命題 (1)存在量詞： 短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并且符號(hào)“”表示 (2)特稱命題： 定義：含有存在量詞的命題，叫做特稱命題 一般形式：特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符號(hào)簡記為x0M，p(x0)，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立” 嘗 試 應(yīng) 用 1“a，則a平行于內(nèi)任一條直線”是() A真命題 B全稱命題 C特稱命題 D不含量詞的命題 解析：命題中含有“任一”全稱量詞，故為全稱命題 答案：B 解析：如x0時(shí)，x20，滿足x20. 答案：B 解析：當(dāng)x0時(shí)，0N，但01.故“xN，x1”是假命題 答案：B 4下列命題： 偶數(shù)都可以被2整除；角平分線上的任一點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；正四棱錐的側(cè)棱長相等；有的實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；有的菱形是正方形；存在三角形其內(nèi)角和大于180. 既是全稱命題又是真命題的是_，既是特稱命題又是真命題的是_(填上所有滿足要求的序號(hào)) 解析：是全稱命題，是真命題； 是全稱命題，是真命題；是全稱命題，即：任意正四棱錐的側(cè)棱長相等，是真命題；含存在量詞“有的”，是特稱命題，是真命題；是特稱命題，是真命題；是特稱命題，是假命題，因?yàn)槿我馊切蝺?nèi)角和為180. 答案： 5用符號(hào)“”或“”表示下面的命題，并判斷真假： (1)實(shí)數(shù)的平方大于或等于0； (2)存在一對實(shí)數(shù)(x，y)，使2xy10成立； (3)勾股定理 解：(1)是全稱命題，隱藏了全稱量詞“所有的”xR，x20.是真命題 (2)xR，yR,2xy10，是真命題 如x0，y2時(shí)：2xy102110，即x220. 所以命題“xR，x220”是真命題 由于0N，當(dāng)x0時(shí)，x41不成立 所以命題“xN，x41”是假命題 答案 點(diǎn)評(píng)1.全稱命題的真假判斷 要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個(gè)xx0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”) 2特稱命題的真假判斷 要判定一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個(gè)xx0，使p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題 類型四全稱命題與特稱命題的應(yīng)用 例4函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)x、y均有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0. (1)求f(0)的值； (2)在(0,4)上存在實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)6ax0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解(1)由已知等式f(xy)f(y)(x2y1)x，令x1，y0，得f(1)f(0)2，又因?yàn)閒(1)0，所以f(0)2. (2)令y0，則f(xy)f(y)f(x)f(0)f(x)2(x201)xx2x，f(x)6x2x4. 點(diǎn)評(píng)全稱命題真，意味著對限定集合中的每一個(gè)元素都能具有某性質(zhì)，使所給語句真因此，當(dāng)給出限定集合中的任一個(gè)特殊的元素時(shí)，自然應(yīng)導(dǎo)出“這個(gè)特殊元素具有這個(gè)性質(zhì)”(這類似于“代入”思想)而特稱命題為真，則只需在給定的集合中，找到一個(gè)元素具有某性質(zhì)，使該語句為真即可 解決有關(guān)存在性命題的參數(shù)取值范圍問題，應(yīng)盡量分離參數(shù)，若得到g(a)f(x)成立，則只需求f(x)的值域B，進(jìn)而確定使g(a)B的a的值即可若g(x)f(x)，則只需確定g(a)f(x)的最小值即可類似地，對于全稱命題(特別是恒成立)的問題，也應(yīng)盡量用分離參數(shù)法來求解 遷移體驗(yàn)4已知函數(shù)f(x)x22x5. (1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式mf(x)0對于任意xR恒成立，并說明理由 (2)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使不等式mf(x0)0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 解：(1)不等式mf(x)0可化為mf(x)， 即mx22x5(x1)24. 要使m(x1)24對于任意xR恒成立，只需m4即可 故存在實(shí)數(shù)m，使不等式mf(x)0對于任意xR恒成立，此時(shí)，只需m4. (2)不等式mf(x0)0可化為mf(x0)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min. 又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4. 所以，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4，) 思 悟 升 華 1一般地，設(shè)p(x)是某集合M的所有元素都具有或都不具有的性質(zhì)，那么全稱命題就是形如“對M中的所有x有p(x)成立”的命題，用符號(hào)簡記為xM，p(x) 2一般地，設(shè)q(x)是某集合M的有些元素x具有或不具有的某種性質(zhì)，那么特稱命題就是形如“存在集合M中的元素x，使q(x)成立”的命題，用符號(hào)簡記為xM，q(x) 3應(yīng)當(dāng)指出，同一個(gè)全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法現(xiàn)列表總結(jié)于下，在實(shí)際應(yīng)用中可以靈活地選擇：命題命題全稱命題全稱命題“x xA A，p p( (x x) )”特稱命題特稱命題“x xA A，p p( (x x) )”表述表述方法方法所有的所有的x xA A，p p( (x x) )成立成立對一切對一切x xA A，p p( (x x) )成立成立對每一個(gè)對每一個(gè)x xA A，p p( (x x) )成立成立任選一個(gè)任選一個(gè)x xA A，使，使p p( (x x) )成立成立凡凡x xA A，都有，都有p p( (x x) )成立成立存在存在x xA A，使，使p p( (x x) )成立成立至少有一個(gè)至少有一個(gè)x xA A，使，使p p( (x x) )成成立立對有些對有些x xA A，使，使p p( (x x) )成立成立對某個(gè)對某個(gè)x xA A，使，使p p( (x x) )成立成立有一個(gè)有一個(gè)x xA A，使，使p p( (x x) )成立成立. . 常見的全稱量詞有：“所有的”“任意一個(gè)”“一切”“每一個(gè)”“任給”“所有的”等 常見的存在量詞有：“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”“有些”“有一個(gè)”“某個(gè)”“有的”等