1平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面內(nèi)的，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a， ， ，我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的此定理告訴我們：平面內(nèi)任意一個向量總可以用兩個不共線的向量表示兩個不共線向量一組基底有且只有一對實數(shù)1、2使a1e12e2 3正交分解 把一個向量分解為兩個，叫做把向量正交分解AOB(0180)叫做向量a與b的夾角 a與b垂直 相互垂直的向量 4向量的直角坐標(biāo) 在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，分別取與x軸和y軸 i ，j作為 ，對平面內(nèi)的向量a，有且只有一對實數(shù)x，y， 5向量的直角坐標(biāo)運算 若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)ab ；(2)ab；(3)若a(x，y)，R，則a ；(4)若A(x1，y1)、B(x2，y2)，則 方向相同的兩個單位向量基底使得axiyj，(x，y)就叫做在基底i，j下的坐標(biāo)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x，y)(x2x1，y2y1) 6平面向量共線的坐標(biāo)表示 若a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，則ab的充要條件是.x1y2x2y10 8向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a、b，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做a與b的數(shù)量積，記作ab，即 ，規(guī)定0向量與任一向量的數(shù)量積為0. 9ab的幾何意義 (1)一個向量在另一個向量方向上的投影 設(shè)是向量a與b的夾角，則叫做a在b方向上的投影，叫做b在a方向上的投影 (2)ab的幾何意義：ab等于a的長度 與b在a方向上的投影的乘積|a|b|cosab|a|b|cos|a|cos|b|cos|a|b|cos 10向量數(shù)量積的性質(zhì) a、b是兩個非零向量，它們的夾角為. (1)當(dāng)a與b同向時，；當(dāng)a與b反向時，；其它情況：ab|a|b|； 特別地，. (2)ab0 . (3)cos . (4)|ab|.ab|a|b| ab|a|b| ab|a|b| 11向量數(shù)量積的運算律 (1)ab. (2)(a)b (R) (3)(ab)c.ba(ab)a(b)acbc 12向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 (1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab. (2)若a(x，y)，則aaa2|a|2 ， |a|. (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則| | ，此式為平面上兩點間的距離公式 (4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab. (5)a、b是兩個非零向量，它們的夾角為，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則.x1x2y1y2x2y2x1x2y1y20 1(2010陜西)已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab)c，則m_. 解析ab(1，m1)，(ab)c 12(1)(m1)0 m1 答案1答案B 答案A 點評與警示本題考查用給定的基底表示平面向量和平面向量共線定理，用三角形和多邊形加法法則表示向量 解析解題關(guān)鍵是利用平面幾何知識得出：DFFC12，然后利用向量的加減法則，可得正確答案為B. 答案B 解由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1,8) (1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15334)(6，42) 點評與警示向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進(jìn)行若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則 已知a(4,3)，b(1,2)，mab，n2ab，分別按下列條件求實數(shù)的值 (1)mn；(2)mn；(3)|m|n|. 解析(ab)2|ab|2a22abb2 5210b250 b225. |b|5. 答案C 已知平面上三個向量a，b，c的模均為1，它們之間的夾角均為120. (1)求證：(ab)c； (2)若|kabc|1(kR)，求k的取值范圍 (2)解由|kabc|1，得|kabc|21， 即(kabc)21 k2a2b2c22kab2bc2kca1， 即k22k0 k2. 點評與警示本題考查了用平面向量數(shù)量積來證明兩個向量的垂直關(guān)系，和向量的模的轉(zhuǎn)化(|a2|a2aa) (2007廣東理)已知ABC頂點的直角坐標(biāo)分別為A(3,4)、B(0,0)、C(c,0) (1)若c5，求sinA的值； (2)若A是鈍角，求c的取值范圍 1平面向量基本定理就是說可以用一組基底表示平面內(nèi)的任意一個向量，這種表示是唯一的，但基底的選取卻不唯一 2向量的坐標(biāo)表示實際上就是向量的代數(shù)表示，它使向量的運算完全化為代數(shù)運算，許多幾何中較難證明的問題，用向量坐標(biāo)法易于解決 3平面向量a與b的數(shù)量積，ab|a|b|cos是一個實數(shù)，不是向量a與b的夾角的取值范圍：0180.