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新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 名校尖子生培優(yōu)大專(zhuān)題 數(shù)列系列之?dāng)?shù)列的周期性含解析 新人教A

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1、五、周期(循環(huán))數(shù)列(擴(kuò)展)的運(yùn)用 對(duì)于數(shù)列{An},如果存在一個(gè)常數(shù)T,對(duì)于任意整數(shù)n>N,使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有Ai=A(i+T)成立,則稱(chēng)數(shù)列{An}是從第n項(xiàng)起的周期為T(mén)的周期數(shù)列。 典型例題: 例1.數(shù)列滿(mǎn)足,則的前60項(xiàng)和為【 】 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 【答案】D。 【考點(diǎn)】分類(lèi)歸納(數(shù)字的變化類(lèi)),數(shù)列。 【解析】求出的通項(xiàng):由得, 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;······ 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;

2、 當(dāng)時(shí),()。 ∵, ∴的四項(xiàng)之和為()。 設(shè)()。 則的前項(xiàng)和等于的前15項(xiàng)和,而是首項(xiàng)為10,公差為16的等差數(shù)列, ∴的前項(xiàng)和=的前15項(xiàng)和=。故選D。 例2.對(duì)于,將n表示為,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)為0或1,定義如下:在的上述表示中,當(dāng),a2,…,ak中等于1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),bn=1;否則bn=0. (1)b2+b4+b6+b8=▲  .; (2)記cm為數(shù)列{bn}中第m個(gè)為0的項(xiàng)與第m+1個(gè)為0的項(xiàng)之間的項(xiàng)數(shù),則cm的最大值是▲  .. 【答案】(1)3;(2)2。 【考點(diǎn)】數(shù)列問(wèn)題。 【解析】(1)觀察知;; 依次類(lèi)推;; ;,;; ∴b2+b4+b6+b8=3。

3、 (2)由(1)知cm的最大值為2。 例3.對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列,記(),即為中的最大值,并稱(chēng)數(shù)列是的控制數(shù)列,如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5 (1)若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2,3,4,5,5,寫(xiě)出所有的(4分) (2)設(shè)是的控制數(shù)列,滿(mǎn)足(為常數(shù),),求證:()(6分) (3)設(shè),常數(shù),若,是的控制數(shù)列,求(8分) 【答案】解:(1)數(shù)列為:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3;2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5。 (2)證明:∵,,∴。 ∵,,∴,即。

4、 ∴。 (3)對(duì),;; ;。 比較大小,可得。 ∵, ∴,即; ,即。 又∵,∴,,,。 ∴ = = ===。 【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用。 【解析】(1)根據(jù)題意,可得數(shù)列。 (2)依題意可得,又,,從而可得,整理即證得結(jié)論。 (3)根據(jù),可發(fā)現(xiàn),;

5、; ;。通過(guò)比較大小,可得,,而,從而可求得的值。 六、數(shù)列特征方程的應(yīng)用:所謂數(shù)列的特征方程,實(shí)際上就是為研究相應(yīng)的數(shù)列而引入的一些等式,常用的有以下幾種形式: 1. 形如的數(shù)列,一般是令,解出,則是公比為的等比數(shù)列 。 2. 形如的數(shù)列,一般是令,解出,則 ①當(dāng)時(shí), ,其中為待定系數(shù),可根據(jù)初始值求出; ②當(dāng)時(shí),,其中為待定系數(shù),可根據(jù)初始值求出。 3. 形如的數(shù)列,一般是令,解出,則 ①當(dāng)時(shí),為等比數(shù)列;②當(dāng)時(shí),為等差數(shù)列。 典型例題: 例1.函數(shù)。定義數(shù)列如下:是過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 (1)證明:; (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【答案】解:(1)∵

6、,∴點(diǎn)在函數(shù)的圖像上。 ∴由所給出的兩點(diǎn),可知,直線(xiàn)斜率一定存在。 ∴直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為。 令,可求得,解得。 ∴。 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)時(shí),,滿(mǎn)足, 假設(shè)時(shí),成立,則當(dāng)時(shí),, 由得,,即,∴。 ∴也成立。 綜上可知對(duì)任意正整數(shù)恒成立。 下面證明: ∵, ∴由得,?!?。 ∴即。 綜上可知恒成立。 (2)由得到該數(shù)列的一個(gè)特征方程即, 解得或。 ∴① ,②。 兩式相除可得。 而 ∴數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列。 ∴。 【考點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運(yùn)用,不等式的證明,數(shù)學(xué)歸納法。 【解析】(1)先從函數(shù)入手,表示直線(xiàn)方程,從而得到交點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明,運(yùn)用差值法證明,從而得證。 (2)根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)。 內(nèi)容總結(jié) (1)五、周期(循環(huán))數(shù)列(擴(kuò)展)的運(yùn)用 對(duì)于數(shù)列{An},如果存在一個(gè)常數(shù)T,對(duì)于任意整數(shù)n>N,使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有Ai=A(i+T)成立,則稱(chēng)數(shù)列{An}是從第n項(xiàng)起的周期為T(mén)的周期數(shù)列 (2)五、周期(循環(huán))數(shù)列(擴(kuò)展)的運(yùn)用 對(duì)于數(shù)列{An},如果存在一個(gè)常數(shù)T,對(duì)于任意整數(shù)n>N,使得對(duì)任意的正整數(shù)恒有Ai=A(i+T)成立,則稱(chēng)數(shù)列{An}是從第n項(xiàng)起的周期為T(mén)的周期數(shù)列

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