《整式的乘法》復習與測試 專題綜合講解 專題一巧用乘法公式或幕的運算簡化計算 方法1逆用幕的三條運算法則簡化計算 幕的運算是整式乘法的重要基礎，必須靈活運用，尤其是其逆向運用。 例 1 ⑴ 計算：(_?)1996〈3 丄1 丄1 丄1丄1 二 2(1 - )(1 )(1 )(1 ) )1996。 10 3 (2)已知 3X 9mx 27 m= 321,求 m的值。 (3)已知 x2n = 4,求(3x3n) 2 2 2 2 - 4(x2) 2n 的值。 思路分析：(1)? 31 3 10 =1，只有逆用積的乘方的運算性質，才能使 10 3 10 3 運算簡便。(2)相等的兩個幕，如果其底數(shù)相同，則其指數(shù)相等，據(jù)此可列方程 求解。⑶ 此題關鍵在于將待求式(3x3n)2- 4(x2) 2n用含x2n的代數(shù)式表示，利用(x 丁 =(xn) m這一性質加以轉化。 解：(1)(_?)1996 .(3丄)1996 =( 一色 31)1996 =(-1 )1996 = 1. 10 3 10 3 (2) 因為 3X 9mX 27 m= 3X (32)mx (3)m= 3 ? 32m- 33m= 31+5m， 所以 31*5 J 31。所以 1 + 5m= 21，所以 m= 4. (3) (3x 3n)2 — 4(x2)2n = 9(x3n)2 — 4(x2)2n = 9(x2n)3 — 4(x2n)2 = 9 X 43 — 4 X 42 = 512。 方法2巧用乘法公式簡化計算。 11111 例 2 計算：(1 匸)(1 7)(1 7)(1 了)■帀. 2 2 2 2 2 思路分析：在進行多項式乘法運算時，應先觀察給出的算式是否符合或可轉 化成某公式的形式，如果符合則應用公式計算，若不符合則運用多項式乘法法則 計算。觀察本題容易發(fā)現(xiàn)缺少因式 (1-丄)，如果能通過恒等變形構造一個因式 2 (1 -丄)，則運用平方差公式就會迎刃而解。 2 111 1 1 1 解：原式二2(1 -尹1 -)(V尹(1尹(1歹)尹 1111 2(^24)(^24)(1 ^8)^15 1 1 1 刃-歹心歹)尹 1 2U -押 =2—2 土 土幾士』^. 2 2 2 2 點評: 巧妙添補2(1冷)，構造平方差公式是解題關鍵。 方法3將條件或結論巧妙變形，運用公式分解因式化簡計算 例 3 計算：2003002"— 2003021X 2003023 原式=2003002— (2003002 — 1)(2003002 + 1) =2003002 2 2 由(x — y) = 49 得 x + y — 2xy = 49. ② ①—②得 4xy = — 48，所以 xy =— 12. 點評：解決本題關鍵是如何由(x + y)2、(x — y)2表示出x2+ y2和xy，顯然都 要從完全平方公式中找突破口。以上兩種解法，解法 1更簡單。 專題二 整式乘法和因式分解在求代數(shù)式值中的應用 方法1先將求值式化簡，再代入求值。 例1先化簡，再求值。 — (20030022 — 1) =20030022— 20030022 + 1 =1 點評：此例通過把 2003021化成(2003023 — 1)，把2003023化成(2003022 + 1)，從而可以運用平方差公式得到(20030222 — 1)，使計算大大簡化。由此可 見乘法公式與因式分解在數(shù)值計算中有很重要的巧妙作用，注意不斷總結積累經(jīng) 驗。 例 4 已知(x + y)2= 1， (x — y) 2= 49，求 x2 + y 與 xy 的值。 2 2 解法 1 : x2+ y2二(X y) (x-y)=g=25. 2 2 2 2 (x y) -(x-y) 1-49 xy 12 . 4 4 2 2 2 解法 2:由(x + y) = 1 得 x + 2xy + y= 1. ① (a — 2b) + (a — b)(a + b) — 2(a — 3b)(a — b)，其中 a— , b — — 3. 2 思路分析：本題是一個含有整式乘方、乘法、加減混合運算的代數(shù)式，根據(jù) 特點靈活選用相應的公式或法則是解題的關鍵。 解：原式—a2 — 4ab+ 4b2 + a2— b2— 2(a2— 4ab+ 3b2) —2a2— 4ab+ 3b2 — 2a2+ 8ab— 6b2— 4ab— 3b2。 1 i 2 當 a—丄,b— — 3 時，原式一4X 丄 x ( — 3) — 3X ( — 3)2— — 6 — 27— — 33. 2 2 點評：(1)本題要分沮是否可用公式計算。 (2) 本題綜合應用了完全平方公式、平方差公式及多項式乘法法則。 (3) 顯然，先化簡再求值比直接代入求值要簡便得多。 方法2整體代入求值。 例2當代數(shù)式a+ b的值為3時，代數(shù)式2a+ 2b+ 1的值是( ) A、5 B 6 C、7 D 8 解析：2a+ 2b+ 1— 2(a + b) + 1— 2X3+ 1 — 7,故選 Co 點評：這里運用了 “整體思想”，這是常用的一種重要數(shù)學方法。 綜合題型講解 題型一學科內綜合 (一)數(shù)學思想方法在本章中的應用 1、從特殊到一般的認識規(guī)律和方法 2個 3個 10 4 + 6 —a ， 在探索幕的運算法則時，都是從幾個特殊例子出發(fā)，再推出法則。 如：從以下幾個特殊的例子 a ? a — a a a亠嚴a — a — a 3， 4 6 a ? a — a a、；a a a a a”a a a — a 4個 6個 推廣到am ? an— 1 a。 m個 n個 從而得到法則“同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加” 2、化歸思想 即將要解決的問題轉化為另一個較易解決的問題或已經(jīng)解決的問題， 這是初 中數(shù)學中最常用的思想方法，如在本章中，單項式乘以單項式可轉化為有理數(shù)乘 法和同底數(shù)幕的乘法運算；單項式乘以多項式以及多項式乘以多項式都可轉化為 單項式乘以單項式，即多X多 轉化，多X單 轉化 > 單X單。還有：如比較 420 與1510的大小，通常也是將要比較的兩個數(shù)化為.底數(shù)相同或指數(shù)相同的形式，再 進行比較，即 420= (42)1— 1610, 1610> 1510,所以 420> 1510。 3、 逆向變換的方法 在進行有些整式乘法運算時，逆用公式可使計算簡便。這樣的例子很多，前 邊已舉了一些，這里再舉一例。 例：(5)2002"42003 =(5嚴?(？)2%7 7 7 5 5 =(5?7)2002 ^7=^1=7 7 5 5 5 5 還有把乘法公式反過來就得出因式分解的公式等。 4、 整體代換的方法 此方法的最典型應用表現(xiàn)于乘法公式中，公式中的字母 a b不僅可以表示 一個單項式，還可以表示一個多項式，在因式分解 3a(m— 2) + 4b(m— 2)中，可 把m— 2看作一個整體，提公因式 m- 2，即原式=(m— 2)(3a + 4b)。 (二)與其他知識的綜合 例1 (與方程綜合)一個長方形的長增加 4 cm，寬減少1 cm，面積保持 不變；長減少2 cm，寬增加1 cm，面積仍保持不變。求這個長方形的面積。 解：設這個長方形的長為a cm，寬為b cm，由題意得 (a 4)(b -1) =ab,即 a -4b 4 =0, (a -2)(b 1) =ab, a-2b-2 = 0. 解得心 A = 3. 因為ab= 8X3二24,所以這個長方形面積為24 cm2。 點評：本題是一道多項式乘以多項式和列二元一次方程組解應用題的綜合 題。 題型二 學科間的綜合 例2生物課上老師講到農(nóng)作的需要的肥料主要有氮、磷、鉀三種，現(xiàn)有某 種復合肥共50千克，分別含氮23%磷11%鉀6%求此種肥料共含有肥料多 少千克？ 解：50X 23%^ 50 X 11%^ 50 X 6%= 50 (23%^ 11%^ 6% = 50X 40%= 20. 答：復合肥共含有肥料20千克。 題型三拓展、創(chuàng)新、實踐 例3 （拓展創(chuàng)新題）248- 1可以被60和70之間某兩個數(shù)整除，求這兩個 數(shù)。 思路分析： 由 248 — 1 = (2 24) 2— 1 = (224+ 1)( 2 24 — 1) = (224 + 1)(2 12+ 1) (2 12 1) 24 八12 八 z _ 6 八6 八 =(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1)(2 — 1) 24 12 6 =(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) X (64 + 1)(64 — 1) 24 12 6 =(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1) X 65X 63, 所以這兩個數(shù)是65和63。 點評：本題是因式分解在整除問題中的應用。