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第一講有理數(shù)的巧算 數(shù)的運算和表達式 所有內容來自網(wǎng)路 如果有損你的版權 請告訴我 我立即改正 謝謝 要求 有理數(shù)運算是中學數(shù)學中一切運算的基礎 它要求 在理解有理數(shù)的有關概念 法則的基礎上 能根據(jù)法則 公式等正確 迅速地進行運算 要善于根據(jù)題目條件 將推理與計算相結合 靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題 1 括號的使用 在代數(shù)運算中 可以根據(jù)運算法則和運算律 去掉或者添上括號 以此來改變運算的次序 使復雜的問題變得較簡單 由于負數(shù)的引入 符號 與 具有了雙重涵義 它既是表示加法與減法的運算符號 也是表示正數(shù)與負數(shù)的性質符號 因此進行有理數(shù)運算時 一定要正確運用有理數(shù)的運算法則 尤其是要注意去括號時符號的變化 注意 在本例中的乘除運算中 常常把小數(shù)變成分數(shù) 把帶分數(shù)變成假分數(shù) 這樣便于計算 2 注意 在本例中的乘除運算中 常常把小數(shù)變成分數(shù) 把帶分數(shù)變成假分數(shù) 這樣便于計算 例2 計算下式的值 211 555 445 789 555 789 211 445 分析直接計算很麻煩 根據(jù)運算規(guī)則 添加括號改變運算次序 可使計算簡單 本題可將第一 第四項和第二 第三項分別結合起來計算 211 555 445 789 555 789 211 445 解原式 211 555 211 445 445 789 555 789 211 555 445 445 555 789 211 1000 1000 789 1000 211 789 1000000說明加括號的一般思想方法是 分組求和 它是有理數(shù)巧算中的常用技巧 例3計算 S 1 2 3 4 1 n 1 n 分析不難看出這個算式的規(guī)律是任何相鄰兩項之和或為 1 或為 1 如果按照將第一 第二項 第三 第四項 分別配對的方式計算 就能得到一系列的 1 于是一改 去括號 的習慣 而取 添括號 之法 解S 1 2 3 4 1 n 1 n 下面需對n的奇偶性進行討論 當n為偶數(shù)時 上式是n 2個 1 的和 所以有s n 2當n為奇數(shù)時 上式是 n 1 2個 1 的和 再加上最后一項 1 n 1 n n 所以有 例4在數(shù)1 2 3 1998前添符號 和 并依次運算 所得可能的最小非負數(shù)是多少 分析與解因為若干個整數(shù)和的奇偶性 只與奇數(shù)的個數(shù)有關 所以在1 2 3 1998之前任意添加符號 或 不會改變和的奇偶性 在1 2 3 1998中有1998 2個奇數(shù) 即有999個奇數(shù) 所以任意添加符號 或 之后 所得的代數(shù)和總為奇數(shù) 故最小非負數(shù)不小于1 現(xiàn)考慮在自然數(shù)n n 1 n 2 n 3之間添加符號 或 顯然 n n 1 n 2 n 3 0 這啟發(fā)我們將1 2 3 1998每連續(xù)四個數(shù)分為一組 再按上述規(guī)則添加符號 即 1 2 3 4 5 6 7 8 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1 所以 所求最小非負數(shù)是1 說明本例中 添括號是為了造出一系列的 零 這種方法可使計算大大簡化 2 用字母表示數(shù) 我們先來計算 100 2 100 2 的值 100 2 100 2 100 100 2 100 2 100 2 2 100 100 2 100 2 100 2 2 1002 22這是一個對具體數(shù)的運算 若用字母a代換100 用字母b代換2 上述運算過程變?yōu)?a b a b a2 ab ab b2 a2 b2于是我們得到了一個重要的計算公式 a b a b a2 b2 這個公式叫平方差公式 以后應用這個公式計算時 不必重復公式的證明過程 可直接利用該公式計算 例5計算3001 2999的值 解3001 2999 3000 1 3000 1 30002 12 8999999 例6計算103 97 10009的值 解原式 100 3 100 3 10000 9 1002 9 1002 9 1004 92 99999919 例7計算 分析與解直接計算繁 仔細觀察 發(fā)現(xiàn)分母中涉及到三個連續(xù)整數(shù) 12345 12346 12347 可設字母n 12346 那么12345 n 1 12347 n 1 于是分母變?yōu)閚2 n 1 n 1 應用平方差公式化簡得n2 n2 12 n2 n2 1 1 即原式分母的值是1 所以原式 24690 例8計算 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 232 1 分析式子中2 22 24 每一個數(shù)都是前一個數(shù)的平方 若在 2 1 前面有一個 2 1 就可以連續(xù)運用 a b a b a2 b2了 解原式 2 1 2 1 22 1 24 1 28 1 216 1 232 1 22 1 22 1 24 1 28 1 216 1 232 1 24 1 24 1 28 1 216 1 232 1 232 1 232 1 264 1 例9計算 分析在前面的例題中 應用過公式 a b a b a2 b2這個公式也可以反著使用 即a2 b2 a b a b 例10計算 我們用一個字母表示它以簡化計算 3 觀察算式找規(guī)律 例11某班20名學生的數(shù)學期末考試成績如下 請計算他們的總分與平均分 87 91 94 88 93 91 89 87 92 86 90 92 88 90 91 86 89 92 95 88 分析與解若直接把20個數(shù)加起來 顯然運算量較大 粗略地估計一下 這些數(shù)均在90上下 所以可取90為基準數(shù) 大于90的數(shù)取 正 小于90的數(shù)取 負 考察這20個數(shù)與90的差 這樣會大大簡化運算 所以總分為90 20 3 1 4 2 3 1 1 3 2 4 0 2 2 0 1 4 1 2 5 2 1800 1 1799 平均分為90 1 20 89 95 例12計算1 3 5 7 1997 1999的值 分析觀察發(fā)現(xiàn) 首先算式中 從第二項開始 后項減前項的差都等于2 其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000 于是可有如下解法 解用字母S表示所求算式 即S 1 3 5 1997 1999 再將S各項倒過來寫為S 1999 1997 1995 3 1 將 兩式左右分別相加 得2S 1 1999 3 1997 1997 3 1999 1 2000 2000 2000 2000 500個2000 2000 500從而有S 500000說明一般地 一列數(shù) 如果從第二項開始 后項減前項的差都相等 本題3 1 5 3 7 5 1999 1997 都等于2 這一列數(shù)叫等差數(shù)列 那么 這列數(shù)的求和問題 都可以用上例中的 倒寫相加 的方法解決 一般有公式 第一項 最后一項 2 項數(shù) 例13計算1 5 52 53 599 5100的值 分析觀察發(fā)現(xiàn) 上式從第二項起 每一項都是它前面一項的5倍 如果將和式各項都乘以5 所得新和式中除個別項外 其余與原和式中的項相同 于是兩式相減將使差易于計算 解設S 1 5 52 599 5100 所以5S 5 52 53 5100 5101 得4S 5101 1 說明如果一列數(shù) 從第二項起每一項與前一項之比都相等 本例中是都等于5 這一列數(shù)叫等比數(shù)列 那么這列數(shù)的求和問題 均可用上述 錯位相減 法來解決 一般有公式 S A1 Rn 1 R 1 A1 首項R 比例n 項數(shù) 例14計算 分析一般情況下 分數(shù)計算是先通分 本題通分計算將很繁 所以我們不但不通分 反而利用如下一個關系式來把每一項拆成兩項之差 然后再計算 這種方法叫做拆項法 解由于所以說明本例使用拆項法的目的是使總和中出現(xiàn)一些可以相消的相反數(shù)的項 這種方法在有理數(shù)巧算中很常用 練習一計算下列各式的值 1 1 3 5 7 9 11 1997 1999 2 11 12 13 14 15 16 17 18 99 100 3 1991 1999 1990 2000 4 4726342 4726352 472633 472635 472634 472636 5 1 4 7 244 練習二計算平均分 某小組20名同學的數(shù)學測驗成績如下 試計算他們的平均分 81 72 77 83 73 85 92 84 75 63 76 97 80 90 76 91 86 78 74 85