223《向量數(shù)乘運算及其幾何意義》導(dǎo)學(xué)案 【學(xué)習(xí)目標】 掌握實數(shù)與向量的積的定義，理解實數(shù)與向量積的兒何意義；掌握實數(shù)與向量的積的運算律，會利用 實數(shù)與向量的積的運算律進行有關(guān)的計算； 2- 理解兩個向量平行（或共線）的等價條件，能根據(jù)條件判斷兩個向量是否平行（或共線） 通過探究，體會類比遷移的思想方法，通過實數(shù)與向量的積的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、抽 象的思維能力，了解事物運動變化的辯證思想. 【重點難點】重點：實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向量平行的等價條件；難點：理解實數(shù)與向量的積的定義，向量 平行的等價條件. 【知識回顧】 1. 平行向量是指什么？共線向量又是指什么？—作出兩個 2. 向量的和向量的方法有 ① 第一個方法的步驟是： ② 第二個方法的步驟是： 3. 作出兩個向量的差向量的方法是 ;作兩個向量的差向量的步驟是： .（向量的化簡與分解） 那么相等的兒個向量相 r （一 a）簡記為 uuu uuo UU1U 4- 三個向量AB?0A?0B有怎樣的等式關(guān)系？ 【新課導(dǎo)入】 相同的兒個數(shù)相加可以轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運算，加是 如當 a R時，a且a 否也能轉(zhuǎn)化為數(shù)乘運算呢？ r r p r 已知非零向量a,如何作出向量a + a + a和（—a.） + （— a） + （— 類似實數(shù)的數(shù)乘運算，可將a+a + a簡記為 ,、/ ：' :（~a） + （- a） + 它們的結(jié)果是一個什么樣的量？數(shù)量還是向量？ 請同學(xué)們指出相加后，和的長度與方向有什么變化? 【學(xué)習(xí)過程】1）定義 一般地，我們規(guī)定：實數(shù) 與向量&的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作 方向與長度與 a,該向量的 、a有什么關(guān)系呢？ （1）向量 r 的長度：1 a （2）向量 的方向： 思考: ①若b .（用a, b的模表示） ②向量的數(shù)乘運算的兒何意義嗎? 向量與數(shù)量的關(guān)系常常在物理公式中體現(xiàn)?你能舉出兒個公式嗎? 、 r r (1) (a) (2)(入+ jj)a 特別地， 我們有O a 練一練： 3.計算：（1） 4；； (-3) ? r r r ⑵ 3(a+ b)- 類比多項式的運算律（交換律、結(jié)合律、分配律）得到以下向量數(shù)乘的運算律: b為任意向量， 入 卩為任意實數(shù)，則有： r r ；Xa_ b)二 r r (3) Xa+ b)= r r 2(a- b)~ a ； (3) (2a+ 3b- c) - (3a- 2b + c). 練一練： （課本第90頁練習(xí)的第 2, 3 題) UULT uuu UULT uur 1.已知點 C在線段 AB上，且 AC o 則AC AB ； RC AB CB 2 ■ r r 2?將下列各小題中的 b表示為實數(shù)與向量 a的積： r r r r r r r r ①8 3e, b 6e ； ②8 8e, b 14e ； r 2 r r 1 r r 3r r 2r -e. h —a? a h — A 3 3 4 3 2運算律: ） 初中學(xué)習(xí)了多項式的運算法則，你還記得嗎？ ，為常數(shù)， x, y為未知量，且X, y R,則 ①(X) )X (X y) 總結(jié)提升 1 ?此類運算類似多項式的運算法則（合并同類項，系數(shù)相乘得系數(shù)等） 2 ?向量的加、減、數(shù)乘運算稱為向量的線性運算，對于任意的向量 r r a. b以及仟倉實數(shù) 2恒有 1 a sb 思考：弓I入向量數(shù)乘運算后, 你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎? r r r 若b a fA為韭惡估1畐 2 ?若非零向量 a Ini量h共純.是否存在 R）,則向量a、b是否共線? R使得ba? ur r r m r r 4.若a, b是已知向量，且 LT n 3b ur r r r — m r 2n r,求m, n （用a, b表示）? ia sb 3）共線定理: 入, 共線向量定理：向量b與非零向量a平行的等價條件是有且僅有一個實數(shù) 共線定理中能否將“非零向量 a ”改為“向量 a ” ?為什么？ 相一相?加氧己知「AD二3AR . DF. = RRC uuur uuu uuur uuu uuur uuu 狀旳I慚AC t； AR具丕平檸 uuur已矢口 變式1：如上圖， AD二 UUU UUU 3AB .王 UUU 3RC,試判斷A.C.E二占的付詈關(guān)系. 變式2:如上圖, uuur已知1 AD 二 UUU 3AR . uuu AE 二 uuur 3AC.求證.RC//DF. 【總結(jié)提升】向量共線定理的應(yīng)用: 1.證明向量共線； UUU UUU 2 .證明：三點共線： AB RC A, B, C三點共線； UUU UUU UUU uuu 3 ?證明兩直線平行： AB r ^//CD 直線AB / /直線CD? AR上J CD不右：1日1—百緯k r uuu r r uur a b, OB 2b , OC a 3b?你能判斷A, B, C 這樣兒何問題 向量化. 【典例1】己知任意兩個非零向量&、b,且OA a 三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ 【典例2】在ABC中，點D是線段BC ±的一點, 且BD 2DC,請用向量 uur uuir uuu〃 AR. AC蕓云?i£i富AD 【小結(jié)回顧】 1. 實數(shù)與向量的積: 2. 實數(shù)與向量的積的運算律: 3. 共線向量定理: 定理的應(yīng)用 ①證明：向量共線; ③證明兩直線平行: UUU AB ②證明：三點共線: uuur uuu uuiu CD AB//CD uuu AR BC A, B，C三點共線; 直線AB / /直線CD . AR旨cn不:存同一肓緯k 【作業(yè)布置】1 ?相應(yīng)課時的同步作業(yè) 2?拓展提升部分的思考 【拓展提升】 r r 1.設(shè)&、b是兩個不共線向量，己知AB二 uuu r 2 a + r mb ? uuu r r cr二白+ 2b 芒A R C二占±t緯 UUU 2?在【典例2】中，觀察所得出的結(jié)果，向量AB與AC的系數(shù)有何關(guān)系？若題中 D為直線BC ±的任意 uuiu uuu uuur uuir uuu uuu ” , （1 AD AC又如何表示向量AD,此時向量AB與AC的系數(shù)又有何uuu uuur be,則用冋里 AB、 uuur uuur （滿足上述向量AB與AC UUU 一點，且BD uuur xAB yAC ,且 的系數(shù)關(guān)系式），則點B,C, D有何關(guān)系？你能從中總結(jié)出一個什么樣的結(jié)論.