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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 專題7 平面向量練習(xí) 一、前測訓(xùn)練 1． (1)已知向量a＝(0，2)，|b|＝2，則|a－b|的取值范圍是 ． (2)若a是平面內(nèi)的單位向量，若向量b滿足b(a－b)＝0，則b的取值范圍是 ． 答案：(1)[0,4]．(2)[－1,1]． A B C D E 2．(1)在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，DC＝2BD，E為BC邊上的點(diǎn)，且＝0．則＝ ；＝ ． (2)如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，BAD＝60，E為CD中點(diǎn)， 則＝ ． (3)已知OA＝OB＝2，＝0，點(diǎn)C在線段AB上，且∠AOC＝60，則＝________________． 答案：(1)－,．(2)1．(3)8－4． 二、方法聯(lián)想 1．向量的運(yùn)算 方法1 用向量的代數(shù)運(yùn)算． 方法2 結(jié)合向量表示的幾何圖形． 2．向量的應(yīng)用 方法1 基底法，即合理選擇一組基底(一般選取模和夾角均已知的兩個(gè)不共線向量)，將所求向量均用這組基底表示，從而轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)基向量的運(yùn)算． 方法2 坐標(biāo)法，即合理建立坐標(biāo)系，求出向量所涉及點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決 三、例題分析 [第一層次] 例1 （1）若向量a＝(2，3)，b＝(x，－6)，且a∥b，則實(shí)數(shù)x＝ ． （2）已知a，b都是單位向量，ab＝－，則|a－b|＝ ． （3）已知向量a＝（－3，2），b＝（－1，0），且向量λa＋b與a－2b垂直，則實(shí)數(shù)λ的值是　　 ． （4）若平面向量a，b滿足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y軸，a＝(2，－1)，則b＝ 答案：（1）－4；（2）；（3）－；（4）（－2，2）或（－2，0）． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問題歸類與方法： 1．兩個(gè)非零向量共線的充要條件（坐標(biāo)形式和非坐標(biāo)形式）． 2．單位向量與數(shù)量積的概念，求模長的基本方法． 3．向量垂直的充要條件（坐標(biāo)形式和非坐標(biāo)形式）． 4．坐標(biāo)形式下向量模長的計(jì)算公式． 二、方法選擇與優(yōu)化建議： 1．第（2）小題，方法1：將所求模長平方，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積；方法2可以畫圖，通過解三角形求解；本題給出了兩個(gè)向量的模長及數(shù)量積，因此方法1求解較為簡單． 2．第（4）小題，常規(guī)方法是設(shè)出向量b的坐標(biāo)，通過解方程組求解．本題可以抓住向量a＋b的兩要素，先求出向量a＋b的坐標(biāo)，再求向量b的坐標(biāo)，這個(gè)解法來得方便，突出了向量的本質(zhì)． 例2 （1）在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AB＝3，BD＝1，則?＝ ． （2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知＝(3，－1)，＝(0，2)．若＝0，＝λ，則實(shí)數(shù)λ的值為 ． （3）已知A（－3，0），B（0，），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第二象限，且∠AOC＝60，＝λ＋，則實(shí)數(shù)λ的值是 ． （4）在△ABC中，已知BC＝2，＝1，則△ABC面積的最大值是 ． 答案：（1）；（2）2；（3）；（4）． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問題歸類與方法： 1．解（1）小題可以是基底法（以和為基底），也可以建立直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法． 2．解（2）小題可以設(shè)未知數(shù)解方程，也可以畫出圖形，利用直線方程求解．理解向量共線的意義． 3．平面向量基本定理，利用圖形進(jìn)行分解，通過解三角形求解． 4．平面向量數(shù)量積的概念，建立目標(biāo)函數(shù)利用基本不等式求最值． 5．解（4）小題還可以用坐標(biāo)法，得出點(diǎn)A的軌跡方程，利用圖形的直觀性求解． 二、方法選擇與優(yōu)化建議： 1．解（1）小題顯然是基底法簡單，因?yàn)閮蓚€(gè)基底向量的模長和夾角都已知． 2．解（4）小題由于建立目標(biāo)函數(shù)有些難度，所以用坐標(biāo)法求解來得簡單易懂． 例3 （1） 向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），則＝ ． ? A B C D E F P （2）如圖，正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)＝α＋β（α、β∈R），則α＋β的取值范圍是 ． 答案：（1）4；（2）[3，4]． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問題歸類與方法： 1．問題的本質(zhì)都是用兩個(gè)不共線的向量來表示第三個(gè)向量．平面向量基本定理，利用圖形進(jìn)行分解，通過解三角形求解． 2．解決這一類問題的基本方法為：（1）基底法；（2）坐標(biāo)法． 二、方法選擇與優(yōu)化建議： 1．解決這兩題用坐標(biāo)法優(yōu)于基底法． 2．選用哪一種方法，關(guān)鍵是看其中一個(gè)向量用基底來表示是否容易． [第二層次] 例1 （1）已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝ ． （2）已知向量a＝(2，1)，ab＝10，︱a＋b︱＝5，則︱b︱＝ ． 變式：平面向量a與b的夾角為60，a＝(2，0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝ ． （3）若平面向量a，b滿足｜a＋b｜＝1，a＋b平行于y軸，a＝(2，－1)，則b＝ ． （4）在菱形ABCD中，若AC＝4，則?＝ ． 答案：（1）（－ ，－ ）；（2）5；變式：2．（3）（－2，2）或（－2，0）；（4）－8． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問題歸類與方法： 1．坐標(biāo)形式下，向量共線、向量垂直的充要條件． 2．向量已知了坐標(biāo)求模長，解決模長問題的基本方法將模長平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積． 3．第（4）小題的求解，可以是基底法還可以坐標(biāo)法，基底法的難點(diǎn)選擇基底；坐標(biāo)法的難點(diǎn)是建立合適的直角坐標(biāo)系． 二、方法選擇與優(yōu)化建議： 1．第（2）小題，方法1：設(shè)向量b的坐標(biāo)，通過解方程組求解；方法2：直接對向量(a＋b)的模長平方求出答案．相對而言，方法2比較簡單． 2．第（3）小題，常規(guī)方法是設(shè)出向量b的坐標(biāo)，通過解方程組求解．本題可以抓住向量a＋b的兩要素，先求出向量a＋b的坐標(biāo)，再求向量b的坐標(biāo)，這個(gè)解法來得方便，突出了向量的本質(zhì)． 3．第（4）小題解法1：基底法，選擇和與垂直的為基底；解法2：以AC、BD為；兩坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系． 例2 （1）已知正△ABC的邊長為1，＝7＋3，則＝ ． （2）設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2（λ1，λ2∈R），則λ1＋λ2的值為__________。 （3）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90，AB＝6，D在斜邊BC上，且CD＝2DB，則的值為 ． A B D C （4）已知a，b是單位向量，ab＝0．若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是 ． 答案：（1）－2；（2）；（3）24；（4）[－1，＋1]． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問題歸類與方法： 1．三角形中研究邊所在向量的數(shù)量積時(shí)，關(guān)注向量夾角的定義． 2．將所要表示的向量放置在三角形中，利用向量加、減法的三角形法則，突出平面向量基本定理． 3．可以關(guān)注一下向量數(shù)量積的幾何意義（投影）． 4．（4）求解的方法是畫圖或者建立直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)法． 二、方法選擇與優(yōu)化建議： 1．第（3）小題的求解，坐標(biāo)法優(yōu)于基底法．從圖形的結(jié)構(gòu)上發(fā)現(xiàn)便于建系． 2．由于向量a，b是兩個(gè)相互垂直的單位向量，用坐標(biāo)法解題通俗易懂． 例3 （1） 向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），則＝ ． E B A C D （2）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，＝，＝．若＝－， 則＝ ． 答案：（1）4；（2）－． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問題歸類與方法： 1．一個(gè)向量用兩個(gè)基底向量來表示，平面向量基本定理． 2．解決這一類問題的基本方法為：（1）基底法；（2）坐標(biāo)法． 二、方法選擇與優(yōu)化建議： 1．第（1）小題由于不容易用基底來表示，所以用坐標(biāo)法優(yōu)于基底法． 2．第（2）小題不容易選擇基底，而且運(yùn)算過程復(fù)雜，建系則比較單一，所以用坐標(biāo)法優(yōu)于基底法． [第三層次] 例1 （1）設(shè)a、b、c是單位向量，且a＋b＝c，則ac的值為 ． （2）若向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝1，|a－2b|＝，則向量a，b的夾角是 ． x y A B O 1 （3）函數(shù)y＝tan(x－)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)A為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在函數(shù)圖象上，且縱坐標(biāo)為1．則(＋)?＝ ． （4）如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，則x＝ ，y＝ ． 答案：（1）；（2）；（3）6；（4）1＋和 〖教學(xué)建議〗 一、主要問題歸類與方法： 1．單位向量的概念以及數(shù)量積的定義．可以畫圖結(jié)合圖形研究，也可以通過計(jì)算，將條件變?yōu)閎＝c－a，兩邊平方即得答案． 2．向量的夾角公式．設(shè)法求出向量a，b的數(shù)量積． 3．坐標(biāo)形式下向量數(shù)量積的運(yùn)算．求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)． 4．平面向量基本定理，向量分解，解三角形求解． 例2 （1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120，AB＝2，AC＝1，D是邊BC上一點(diǎn)，＝2，則?＝ ． （2）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、，其中與的夾角為120，與的夾角為30， 且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ（λ，μ∈R）， 則λ＋μ的值為 ． （3）在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P在AM上且滿足＝2，則(＋)等于 ．變式：在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝1，點(diǎn)P是AM上一動(dòng)點(diǎn)，則(＋)的最小值等于 ． D C A B 如圖 （4）如圖，在四邊形ABCD中，||＋||＋||＝4，||||＋||||＝4， ?＝?＝0，則(＋)?的值為 ． 答案：（1）－；（2）6；（3）；變式－：（4）4． 〖教學(xué)建議〗 一、主要問題歸類與方法： 1．基底法求解．很顯然是以、為基底． 2．平面向量基本定理，把、看作一組基底，將非正交分解．通過解三角形求出答案． 3．平面幾何性質(zhì)；向量加法的平行四邊形法則；建立目標(biāo)函數(shù)求最值． 4．結(jié)合平面幾何性質(zhì)，突出向量數(shù)量積的定義． 5．突出了“數(shù)形結(jié)合”和“整體代換”等數(shù)學(xué)思想． 二、方法選擇與優(yōu)化建議： 1．解決這類問題的基本方法是：（1）基底法；（2）坐標(biāo)法。不容易找到基底或者表示起來較為復(fù)雜，計(jì)算量大，往往就用坐標(biāo)法，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是難點(diǎn)． A B C E F M N 圖1 例3 圖1，等腰△ABC中，AB＝AC＝1，A＝120，E、F分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且＝m，＝n，其中m、n∈（0，1），且m＋4n＝1.若EF、BC的中點(diǎn)分別為M、N，則||的最小值為 ． 答案：. 〖教學(xué)建議〗 一、主要問題歸類與方法： 1．基底法求解．很顯然是以、為基底．通過構(gòu)造△AMN，利用向量的加減法法則設(shè)法把向量用、表示出來，將平方之后建立目標(biāo)函數(shù)，通過消元研究關(guān)于m或n的二次函數(shù)的最小值． 2．坐標(biāo)法求解．以BC邊所在直線為x軸，BC邊的高所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)法將M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，利用向量坐標(biāo)形式下模長公式建立起目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解． 3．基底法的難點(diǎn)是：要學(xué)會通過構(gòu)造△AMN，利用向量的加減法法則設(shè)法把向量用、表示出來． 4．坐標(biāo)法的難點(diǎn)是：首先要利用條件將E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來． 5．關(guān)注對目標(biāo)函數(shù)消元變形的理性思維，達(dá)到簡化運(yùn)算的目的． 二、方法選擇與優(yōu)化建議： 1．解決這類問題的基本方法是：（1）基底法；（2）坐標(biāo)法．本題的兩種解法總體難度相當(dāng)，坐標(biāo)法相對比較好想一點(diǎn)． 2．基底法難點(diǎn)是用基底、來表示，構(gòu)造三角形△AMN，將向量放在△AMN中研究，這種方法最為簡潔，這種做法是基于M、N分別為EF、BC的中點(diǎn)，有一個(gè)向量公式，很容易將和用基底向量來表示．＝(＋)＝( m＋n)，＝(＋)．在接下來對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行消元變形的過程中，關(guān)注計(jì)算的理性化． 3．坐標(biāo)法的難點(diǎn)是如何利用條件將E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來．需要結(jié)合平面幾何中平行線分線段成比例的等一些基本性質(zhì)． 四、反饋練習(xí)