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1、怎樣理解數(shù)學(xué)怎樣理解數(shù)學(xué) 引言：引言：三個理解三個理解（章建躍）（章建躍）u理解數(shù)學(xué)u理解教學(xué)u理解學(xué)生u加一個：理解教材 一、理解數(shù)學(xué)的定義一、理解數(shù)學(xué)的定義u什么是數(shù)學(xué)？ 一百多年前，恩格斯給數(shù)學(xué)下過一個定義：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！眜一百多年來，數(shù)學(xué)的發(fā)展使得數(shù)學(xué)的研究對象，已經(jīng)遠遠超出了“數(shù)”與“形”的范疇，于是出現(xiàn)了一些其他定義。u當(dāng)今數(shù)學(xué)家公認的定義： 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。 數(shù)量關(guān)系，空間形式u數(shù)量關(guān)系偏重于“數(shù)”的研究，包括等量關(guān)系、不等量關(guān)系、運算關(guān)系、等價關(guān)系、對應(yīng)關(guān)系（引出映射、函數(shù)、拓撲等）u空間形式偏重于“形”的研究，包括各種空

2、間，如0維空間、1維空間、2維空間、3維空間、n維空間、無窮維空間、分數(shù)維空間，等 一、一、理解數(shù)學(xué)的定義理解數(shù)學(xué)的定義u數(shù)學(xué)一門“演”“算”的科學(xué)。這里的“演”是指演繹（演繹推理），“算”是指計算或算法，包括精算和估算，腦算、口算、筆算、珠算、機算等。u數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)。（單墫） 理性思維，理性精神 數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維的體操。u數(shù)學(xué)是模式（模型）的科學(xué)。u數(shù)學(xué)是一種文化，包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美等。 一、一、理解數(shù)學(xué)的定義理解數(shù)學(xué)的定義u數(shù)學(xué)(mathematics)，是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學(xué)科。u數(shù)學(xué)簡史認為，數(shù)學(xué)就是研究集合上各種結(jié)構(gòu)(關(guān)系)的科學(xué)。u20世紀(jì)30年代法國

3、的布爾巴基學(xué)派認為:數(shù)學(xué)，至少純數(shù)學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論.結(jié)構(gòu)，就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng).他們認為，數(shù)學(xué)有三種基本的母結(jié)構(gòu):代數(shù)結(jié)構(gòu)(群，環(huán)，域，格)、序結(jié)構(gòu)(偏序，全序)、拓撲結(jié)構(gòu)(鄰域，極限，連通性，維數(shù))。 二、理解數(shù)學(xué)的特點二、理解數(shù)學(xué)的特點1.高度的抽象性高度的抽象性u數(shù)學(xué)最重要的特征是其研究對象的抽象性，它決定了數(shù)學(xué)的其他特征，并使它區(qū)別于自然科學(xué)。例如，任何數(shù)字都是抽象的，它舍棄了觀察對象的一切其他屬性，而只關(guān)注其數(shù)量特性。數(shù)字“1”既可以表示1個蘋果的數(shù)量，也可以表示1頭牛的數(shù)量，或表示1條河的數(shù)量。數(shù)字“1”就是忽略了蘋果、牛、河等事物的差異，而只從數(shù)量上加以抽象

4、。 1.高度的抽象性高度的抽象性u從具體數(shù)字再發(fā)展到一個代表數(shù)量的文字“x”，是進一步的抽象。至于函數(shù)y=f (x)，則是更進一步的抽象。u在幾何中的點、直線、圓、平面同樣是對現(xiàn)實世界中事物的抽象，同樣是人們?yōu)槊枋霈F(xiàn)實生活中某些事物而創(chuàng)造的一種語言。比如，在世界地圖上，北京可以看成一個點，而在中國地圖中，天安門可以看成一點。數(shù)學(xué)中的“點”實際上就是我們所考察的事物位置的抽象，它沒有大小，沒有面積，只有位置的不同。 案例：線段案例：線段*射線射線*直線直線u有老師先給學(xué)生看孫悟空的金箍棒，然后問學(xué)生金箍棒像什么？u學(xué)生齊答：像直線。u問題：1.什么叫金箍棒？什么叫棒？ 2.棒能否抽象為直線？如果

5、能，怎樣抽象？u金箍棒棒圓柱（r趨近于0）線段 案例：應(yīng)怎樣引出射線？案例：應(yīng)怎樣引出射線？u華東師大2014年版七年級上P123-124：把線段向一方無線延伸所形成的圖形叫做射線.u手電筒的光線和激光燈的光束，給了我們射線的形象.u把線段向兩方無線延伸所形成的圖形叫做直線.u問題：射線適合用手電筒的光線來引入或解釋嗎？u點評：抽象過程是什么？ 案例：人教版課題順序合理嗎？案例：人教版課題順序合理嗎？u人教2014年版七年級上P125：u問題：課題“直線、射線、線段”的順序合理嗎？人教版初中順序人教版初中順序:體體-面面-線線-點點 人教版： 人教版 角的表示法角的表示法 u問題：只有這三種表

6、示法嗎？有邏輯問題嗎？ u點評：u分兩大類：具體數(shù)值表示法；字母表示法，又分為用一個字母表示，用三個字母表示 質(zhì)疑質(zhì)疑：因式分解的定義：因式分解的定義 u質(zhì)疑：什么叫積？2 3叫不叫積11xx叫不叫積提公因式法的例題和練習(xí)提公因式法的例題和練習(xí)-好啊好啊公式法的例題和練習(xí)公式法的例題和練習(xí)-好啊好啊 小學(xué)案例：百分數(shù)的認識小學(xué)案例：百分數(shù)的認識u百分數(shù)：數(shù)量 比率百分數(shù) u問題： 1.百分數(shù)怎樣定義？（注：定義最基本方式：屬+種差=被定義概念） 2.教學(xué)重點：意義，符號，讀法，寫法概念是數(shù)學(xué)思維的細胞n概念是思維的細胞?！皵?shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧?！保ɡ畎詈驮菏浚﹏“數(shù)學(xué)能力就是以數(shù)學(xué)

7、概括為基礎(chǔ)的能力”，因此重視數(shù)學(xué)概念的概括過程對發(fā)展數(shù)學(xué)能力具有基本的重要性。 二、理解數(shù)學(xué)的特點二、理解數(shù)學(xué)的特點2.嚴(yán)謹?shù)倪壿嬓試?yán)謹?shù)倪壿嬓評數(shù)學(xué)研究對象的抽象性決定了數(shù)學(xué)的演繹性。u數(shù)學(xué)中要確立一條規(guī)律（定理）只能依靠嚴(yán)格的邏輯推理，而不能靠經(jīng)驗或?qū)嶒灁?shù)據(jù)，更不能靠人們的直覺或想當(dāng)然。u如，我們測量了很多三角形的三個內(nèi)角之和等于180，但是不能因此而得出所有三角形都如此的結(jié)論，需要嚴(yán)格證明。 2.嚴(yán)謹?shù)倪壿嬓試?yán)謹?shù)倪壿嬓栽缭?500多年之前，古希臘人對數(shù)學(xué)的最大貢獻在于，他們認為數(shù)學(xué)中的每一個命題，都要根據(jù)明白無誤的假定和事先給定的公理與公設(shè)，由形式邏輯推演出來。由此，古希臘人發(fā)現(xiàn)了無理

8、數(shù)，并導(dǎo)致歐幾里得幾何原本的誕生。 2.嚴(yán)謹?shù)倪壿嬓試?yán)謹?shù)倪壿嬓詢汕Ф嗄?，很多?shù)學(xué)家試圖用其他公設(shè)來證明歐幾里得第五公設(shè)即平行公設(shè)。但都失敗了。黎曼等數(shù)學(xué)家從另一個角度考慮問題：放棄平行公設(shè)，并把一個與平行公設(shè)相反的命題作為新的公設(shè)，這就產(chǎn)生了非歐幾何。黎曼幾何是愛因斯坦的廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 2.嚴(yán)謹?shù)倪壿嬓試?yán)謹?shù)倪壿嬓評數(shù)學(xué)的理性精神，使人類擺脫了狹隘經(jīng)驗的束縛，促使人們理性地思考與認識世界，并頑強地追求理性的完美。數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)全面認識數(shù)學(xué)科學(xué)，反對實用主義。把數(shù)學(xué)分成“有用的數(shù)學(xué)”與“無用的數(shù)學(xué)”的提法，是完全錯誤的。（北大李忠教授） 2.嚴(yán)謹?shù)倪壿嬓試?yán)謹?shù)倪壿嬓評數(shù)學(xué)的發(fā)展不是對于舊

9、的理論的否定。非歐幾何并不是對歐氏幾何的否定，兩者都成立，只不過是在不同的公理體系下而已。嚴(yán)謹邏輯性案例嚴(yán)謹邏輯性案例u點評：1.這里的“剪”、“折”嚴(yán)密嗎？ 2.這樣做浪費嗎？（時間、材料） 3.實踐（實驗）能代替數(shù)學(xué)證明嗎？小學(xué)案例：圓的面積能證明嗎小學(xué)案例：圓的面積能證明嗎u問題：1.在小學(xué)，圓的面積能證明嗎？ 2.在小學(xué)，圓的周長公式能證明嗎？ 3.驗證是數(shù)學(xué)證明嗎？ 4.什么叫數(shù)學(xué)證明？ 質(zhì)疑：一百萬有多大質(zhì)疑：一百萬有多大“一百萬有多大”是什么意思？點評：單獨的一個數(shù)何來大?。款愃频?，左右的判斷，秒的認識，認識人民幣，數(shù)字編碼（身份證），秒的認識，鐘表中的數(shù)學(xué)，植樹問題，雞兔同籠等

10、，無太大數(shù)學(xué)價值 質(zhì)疑：一百萬有多大質(zhì)疑：一百萬有多大“一百萬有多大”是什么意思？點評：單獨的一個數(shù)何來大小？類似的，左右的判斷，秒的認識，認識人民幣，數(shù)字編碼（身份證），秒的認識，鐘表中的數(shù)學(xué)，植樹問題，雞兔同籠等，無太大數(shù)學(xué)價值 0.999= ？問題：0.999 1嗎？ 0.999=1嗎？ 小學(xué)一年級：小學(xué)一年級：3+（ ）=12點評：本題重慶巴蜀小學(xué)70的學(xué)生都不會，該不該講，該不該考？ 到了小學(xué)三年級，本題不教就會。這說明了什么？ 生命的成長意味著什么？ 每一位小學(xué)教師都是一位教育家。 二、理解數(shù)學(xué)的特點二、理解數(shù)學(xué)的特點3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u數(shù)學(xué)研究對象的抽象性決定了它的應(yīng)

11、用廣泛性。1+1=2不僅適用于蘋果、牛、河、物理中的力、和功、化學(xué)中的摩爾，而且適用于一切事物。一個函數(shù)y=Asinx可以代表電路的電流或電壓的變化規(guī)律，也可以代表某種波動的規(guī)律。許多完全不同事物提出的問題可以歸結(jié)為同一個數(shù)學(xué)模型。 3. 應(yīng)用廣泛性應(yīng)用廣泛性伽利略說：“數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字?！弊匀唤缰械囊磺惺挛?，都有“數(shù)”與“形”兩個側(cè)面。數(shù)學(xué)研究的數(shù)量關(guān)系與空間形式，就自然成為物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)的重要基礎(chǔ)和工具。如導(dǎo)數(shù)的物理學(xué)背景是瞬時速度，化學(xué)背景是化學(xué)反應(yīng)的速度，經(jīng)濟學(xué)背景是邊際成本或邊際利潤，等。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u物理學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)的

12、任何重大發(fā)展無不與數(shù)學(xué)的進步息息相關(guān)。比如，u牛頓力學(xué)，特別是萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，依賴于微積分創(chuàng)立；u而愛因斯坦的相對論則以黎曼幾何為其基礎(chǔ)； 著名數(shù)學(xué)家黎曼曾經(jīng)指出：“只有在微積分創(chuàng)立之后，物理才發(fā)展成為一門真正意義下的科學(xué)?！?3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u高科技的發(fā)展的基石是數(shù)學(xué)，而且高科技的發(fā)展才使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用達到空前的廣泛。u例如，分子生物學(xué)中DNA結(jié)構(gòu)的研究與數(shù)學(xué)中的扭結(jié)理論有關(guān)，而理論物理中的規(guī)范場論與微分幾何中的纖維叢理論緊密相關(guān)。至于現(xiàn)代理論物理則用到了許多當(dāng)代純數(shù)學(xué)理論。20世紀(jì)80年代，美國自然科學(xué)基金會曾經(jīng)指出，當(dāng)代自然科學(xué)的研究正在日益呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)化的趨勢。 3. 應(yīng)

13、用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u20世紀(jì)最偉大的技術(shù)成就首推電子計算機的發(fā)明與應(yīng)用，它使人類進入信息時代、網(wǎng)絡(luò)時代。然而，大家公認電子計算機的發(fā)明應(yīng)歸功于數(shù)學(xué)家圖靈和馮諾依曼。在電子計算機出現(xiàn)之前，數(shù)理邏輯中就有一種理想機（后來人稱圖靈機），它實際上是電子計算機的雛形。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u醫(yī)學(xué)上的CT技術(shù)，u中文印刷排版的自動化，u波音777的計算機模擬設(shè)計，u指紋的識別，u石油地震勘探的數(shù)據(jù)處理，u網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)安全技術(shù)等，在這些形形色色的成就背后，數(shù)學(xué)都扮演著不可缺少的角色。數(shù)學(xué)在這些領(lǐng)域是非常關(guān)鍵的。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u1985年，美國國家研究委員會在一份報告中指出：數(shù)學(xué)是

14、推動計算機技術(shù)發(fā)展和促進這種技術(shù)在其他領(lǐng)域應(yīng)用的基礎(chǔ)科學(xué)，還強調(diào)指出，數(shù)學(xué)是一個大有潛力的資源，有待人們?nèi)ゴ罅﹂_發(fā)。該委員會把數(shù)學(xué)與能源、材料等并列為必須優(yōu)先發(fā)展的基礎(chǔ)研究領(lǐng)域。 3. 應(yīng)用廣泛性應(yīng)用廣泛性u前美國總統(tǒng)科學(xué)顧問艾德華大衛(wèi)說過一句重要的話：很少人認識到當(dāng)今如此被廣泛稱頌的高技術(shù)在本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)。這句話不是要否定各種硬件技術(shù)發(fā)展的意義，而是強調(diào)數(shù)學(xué)在高技術(shù)中的關(guān)鍵性，是要強調(diào)高技術(shù)中數(shù)學(xué)的不可或缺性。從這個意義上講，他的見解無疑是正確的，并且是富有遠見的。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u數(shù)學(xué)和經(jīng)濟學(xué)及管理科學(xué)之間的聯(lián)系。用數(shù)學(xué)模型研究宏觀經(jīng)濟與微觀經(jīng)濟，用數(shù)學(xué)手段進行市場調(diào)

15、查與預(yù)測，用數(shù)學(xué)理論進行風(fēng)險分析和指導(dǎo)金融投資。在數(shù)學(xué)中，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)、優(yōu)化與決策、實驗設(shè)計、隨機微分方程等，都是專門針對這些問題的數(shù)學(xué)理論。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性 中國科學(xué)院越來越多的數(shù)學(xué)工作者從事跟經(jīng)濟、管理、金融有關(guān)的研究。近年來，我國的許多高等院校都開設(shè)統(tǒng)計系，增設(shè)金融數(shù)學(xué)專業(yè)。這些反映了數(shù)學(xué)和經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)的深刻聯(lián)系，也反映了社會對于這方面的數(shù)學(xué)人才的需求。 3. 應(yīng)用的廣泛性應(yīng)用的廣泛性u在經(jīng)濟與金融的理論研究上，數(shù)學(xué)的地位更加特殊。大家知道數(shù)學(xué)沒有諾貝爾獎。但數(shù)學(xué)家卻從經(jīng)濟學(xué)獲得了諾貝爾獎。在諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的獲得者當(dāng)中，數(shù)學(xué)家占了相當(dāng)大的比例（21世紀(jì)初的統(tǒng)計數(shù)字為17/

16、27）。美國電影美麗的心靈就是描述了這樣一位數(shù)學(xué)家納什。 初中案例初中案例： 余角與補角u追問：余角與補角有什么用？u在生活中有用嗎？點評：衣食住行，吃喝拉撒睡，交往等u在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有什么用？u本課題的教學(xué)重點到底應(yīng)是什么？教學(xué)時間應(yīng)怎樣分配？ 三、理解數(shù)學(xué)知識，感悟數(shù)學(xué)思想三、理解數(shù)學(xué)知識，感悟數(shù)學(xué)思想u數(shù)學(xué)知識主要包括概念，命題，推理，應(yīng)用。u概念的學(xué)習(xí)主要靠理解，包括借助直觀、典型案例（正反例的強化）、概念之間的關(guān)系。u命題的學(xué)習(xí)主要靠探索、發(fā)現(xiàn)、證明、應(yīng)用、推廣。公式應(yīng)用的最低層次是套公式。u數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)主要靠猜想、靠證明，推理方法的學(xué)習(xí)主要靠訓(xùn)練。適量的做題是必要的。u數(shù)學(xué)思

17、想的學(xué)習(xí)主要靠悟。悟需要長期思考。數(shù)學(xué)知識的五層次理論與教學(xué)智慧思想方法知識常識 數(shù)學(xué)知識的五層次理論與教學(xué)智慧 思想靠悟（覺悟，感悟，領(lǐng)悟，頓悟） 方法靠練 知識可以教會、學(xué)會。目標(biāo)是理解 常識不教就會，一看就會 數(shù)學(xué)知識的五層次理論與教學(xué)智慧靠創(chuàng)造，等 思想靠悟（覺悟，感悟，領(lǐng)悟，頓悟） 方法靠練 知識可以教會、學(xué)會 常識不教就會，一看就會四、理解數(shù)學(xué)的價值四、理解數(shù)學(xué)的價值u物理學(xué)家倫琴（W.K.Rntgen）因發(fā)現(xiàn)了X射線而成為1910 年開始的諾貝爾物理獎的第一位獲得者。當(dāng)有人問他科學(xué)家需要什么樣的修養(yǎng)時，他的回答是：第一是數(shù)學(xué)，第二是數(shù)學(xué)，第三還是數(shù)學(xué)。對計算機的發(fā)展做出過重大貢獻

18、的馮諾依曼（J.V.Neumman ）認為“數(shù)學(xué)處于人類智能的中心領(lǐng)域”。他還指出：“數(shù)學(xué)方法滲透進支配著一切自然科學(xué)的理論分支，它已愈來愈成為衡量成就的主要標(biāo)志?！?四、理解數(shù)學(xué)的價值四、理解數(shù)學(xué)的價值u科學(xué)價值 假說，系統(tǒng)（體系），演繹推理，方法論u應(yīng)用價值 數(shù)學(xué)中，其他學(xué)科（自然科學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、哲學(xué)），科學(xué)技術(shù)，生產(chǎn)生活，社會實踐u文化價值 歷史故事，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新創(chuàng)造精神，等u育人價值 立德，啟智，健腦，尚美（包括減肥）11數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的多樣化n數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)多種方式結(jié)合，不能只用一種所謂的好方法單打獨斗n自主、探究、合作學(xué)習(xí)都是有利有弊的n聽課、做題、自學(xué)、思考、討論、感悟、靈感、創(chuàng)新等一個都不能少n當(dāng)然，不是人人都能學(xué)好數(shù)學(xué)謝謝