第十七章　 勾股定理 小結(jié) 類型之一　勾股定理的驗(yàn)證 1．小明利用如圖17－X－1①所示的圖形(三個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形)驗(yàn)證勾股定理，他的方法如下：過(guò)點(diǎn)D作直線FG∥AC，過(guò)點(diǎn)E作直線GH∥BC，直線FG與直線GH交于點(diǎn)G，與直線BC交于點(diǎn)F，直線GH與直線AC交于點(diǎn)H，如圖②所示．請(qǐng)你回答： (1)△ABC與△BDF，△DEG，△EAH有什么關(guān)系？為什么？ (2)用含a，b的代數(shù)式表示正方形CFGH的面積； (3)你能否根據(jù)圖形面積之間的關(guān)系找到a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系？ (4)你能得到什么結(jié)論？ 圖17－X－1 2．勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小明靈感，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)四個(gè)全等的直角三角形如圖17－X－2擺放時(shí)，可以用“面積法”來(lái)證明a2＋b2＝c2.(請(qǐng)你寫(xiě)出證明過(guò)程) 圖17－X－2 類型之二　勾股定理及其應(yīng)用 3．等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，底邊上的中線長(zhǎng)為4，則它的腰長(zhǎng)為(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 4．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖17－X－3是由弦圖變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3.若正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2，則S1＋S2＋S3＝________. 圖17－X－3 　　　圖17－X－4 5．圖17－X－4①是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若AC＝12，BC＝10，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為12的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖②所示的數(shù)學(xué)“風(fēng)車(chē)”，則這個(gè)數(shù)學(xué)“風(fēng)車(chē)”的外圍周長(zhǎng)是________． 6．知識(shí)回顧：在學(xué)習(xí)《二次根式》時(shí)，我們知道：＋≠； 在學(xué)習(xí)《勾股定理》時(shí)，由于，，滿足()2＋()2＝()2，因此以，，為三邊長(zhǎng)能構(gòu)成直角三角形． 探索思考：請(qǐng)通過(guò)構(gòu)造圖形來(lái)說(shuō)明：＋≠(a＞0，b＞0)．(畫(huà)出圖形并進(jìn)行解釋) 7．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，如果線段AD的長(zhǎng)度最短是12，請(qǐng)你求△ABC的面積． 類型之三　勾股定理的逆定理及其應(yīng)用 8．已知三組數(shù)據(jù)：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2.分別以每組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)為三角形的三邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角形的有(　　) A．② B．①② C．①③ D．②③ 9．如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別是m2－1，m2＋1，2m(m>1)，那么下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．△ABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為m2＋1 B．△ABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為2m C．△ABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為m2－1 D．△ABC不是直角三角形 10．若△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足關(guān)系式(a＋2b－60)2＋|b－18|＋＝0，則△ABC是________三角形． 類型之四　勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用 　圖17－X－5 11．如圖17－X－5，E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE，BE，CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，則∠BE′C＝________. 12．如圖17－X－6，在43的正方形網(wǎng)格中有從點(diǎn)A出發(fā)的四條線段AB，AC，AD，AE，它們的另一個(gè)端點(diǎn)B，C，D，E均在格點(diǎn)上(正方形網(wǎng)格的交點(diǎn))． (1)若每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是1，分別求出AB，AC，AD，AE的長(zhǎng)度(結(jié)果可以保留根號(hào))； (2)在AB，AC，AD，AE四條線段中，是否存在三條線段，它們能構(gòu)成直角三角形？如果存在，請(qǐng)指出是哪三條線段，并說(shuō)明理由． 　圖17－X－6 類型之五　勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用 圖17－X－7 13．如圖17－X－7是矗立在高速公路旁水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45，∠MBC＝30，則警示牌的高CD為_(kāi)_______米(結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)． 14．如圖17－X－8，A，B兩地之間有一座山，汽車(chē)原來(lái)從A地到B地需經(jīng)過(guò)C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開(kāi)通隧道后，汽車(chē)直接沿直線AB行駛．已知AC＝10千米，∠A＝30，∠B＝45.則隧道開(kāi)通后，汽車(chē)從A地到B地比原來(lái)少走多少千米？(結(jié)果保留根號(hào)) 　圖17－X－8