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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《合情推理》教案2 新人教A版選修2-2 1．教學(xué)目標(biāo)： (1)知識(shí)與技能： 掌握歸納推理的技巧，并能運(yùn)用解決實(shí)際問(wèn)題。 (2)過(guò)程與方法： 通過(guò)“自主、合作與探究”實(shí)現(xiàn)“一切以學(xué)生為中心”的理念。 (3)情感、態(tài)度與價(jià)值觀： 感受數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美感。 2．教學(xué)重點(diǎn)：歸納推理及方法的總結(jié)。 3．教學(xué)難點(diǎn)：歸納推理的含義及其具體應(yīng)用。 4．教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 5．教學(xué)設(shè)想：提供一個(gè)舞臺(tái), 讓學(xué)生展示自己的才華，這將極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，增強(qiáng)學(xué)生的榮譽(yù)感，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了“自主探究”，同時(shí)，也鍛煉了學(xué)生敢想、敢說(shuō)、敢做的能力。 6．教學(xué)過(guò)程： 學(xué)生探究過(guò)程： ①引入：“阿基米德曾對(duì)國(guó)王說(shuō)，給我一個(gè)支點(diǎn)，我將撬起整個(gè)地球！” ②提問(wèn)：大家認(rèn)為可能嗎？他為何敢夸下如此?？冢坷碛珊卧?？ ③探究：他是怎么發(fā)現(xiàn)“杠桿原理”的？ 從而引入兩則小典故：（圖片展示-阿基米德的靈感） A：一個(gè)小孩，為何輕輕松松就能提起一大桶水？ B：修筑河堤時(shí)，奴隸們是怎樣搬運(yùn)巨石的？ 正是基于這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)，阿基米德大膽地猜想，然后小心求證，終于發(fā)現(xiàn)了偉大的“杠桿原理”。 ④思考：整個(gè)過(guò)程對(duì)你有什么啟發(fā)？ ⑤啟發(fā)：在教師的引導(dǎo)下歸納出：“科學(xué)離不開(kāi)生活，離不開(kāi)觀察，也離不開(kāi)猜想和證明”。 生活 觀察 猜想 證明 歸納推理的發(fā)展過(guò)程 (2)皇冠明珠 追逐先輩的足跡，接觸數(shù)學(xué)皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。 世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國(guó)一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國(guó)彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫(xiě)信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一個(gè)≥6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。 (b) 任何一個(gè)≥9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。 這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說(shuō)，他相信這個(gè)猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡(jiǎn)單的問(wèn)題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學(xué)家都不能證明，這個(gè)猜想便引起了許多數(shù)學(xué)家的注意。從提出這個(gè)猜想至今，許多數(shù)學(xué)家都不斷努力想攻克它，但都沒(méi)有成功。當(dāng)然曾經(jīng)有人作了些具體的驗(yàn)證工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =5 + 13, . . . . 等等。有人對(duì)33108以內(nèi)且大過(guò)6之偶數(shù)一一進(jìn)行驗(yàn)算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但驗(yàn)格的數(shù)學(xué)證明尚待數(shù)學(xué)家的努力。從此，這道著名的數(shù)學(xué)難題引起了世界上成千上萬(wàn)數(shù)學(xué)家的注意。200年過(guò)去了，沒(méi)有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀(jì)20年代，才有人開(kāi)始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學(xué)家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個(gè)結(jié)論：每一個(gè)比大的偶數(shù)都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學(xué)家們于是從（9十9）開(kāi)始，逐步減少每個(gè)數(shù)里所含質(zhì)數(shù)因子的個(gè)數(shù)，直到最后使每個(gè)數(shù)里都是一個(gè)質(zhì)數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫”。 思考：其他偶數(shù)是否也有類(lèi)似的規(guī)律？ ③討論：組織學(xué)生進(jìn)行交流、探討。 ④檢驗(yàn)：2和4可以嗎？為什么不行？ ⑤歸納：通過(guò)剛才的探究，由學(xué)生歸納“歸納推理”的定義及特點(diǎn)。 數(shù)學(xué)建構(gòu) ●把從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理,稱(chēng)為歸納推理(簡(jiǎn)稱(chēng)歸納). 注:歸納推理的特點(diǎn); 簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。 ●歸納推理的一般步驟： 概括、推廣 實(shí)驗(yàn)、觀察 猜測(cè)一般性結(jié)論 師生活動(dòng) 例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鱷魚(yú)是用肺呼吸的,海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷魚(yú)、海龜、蜥蜴都是爬行動(dòng)物. 結(jié)論：所有的爬行動(dòng)物都是用肺呼吸的。 例2 前提：三角形的內(nèi)角和是1800，凸四邊形的內(nèi)角和是3600，凸五邊形的內(nèi)角和是5400，…… 結(jié)論：凸n邊形的內(nèi)角和是（n—2）1800。 例3 探究：上述結(jié)論都成立嗎？ 強(qiáng)調(diào)：歸納推理的結(jié)果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！” 例 4 已知數(shù)列｛｝的第1項(xiàng)，且（n=1,2,3，…），試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． ①探索：先讓學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行思考。 ②活動(dòng)：“千里走單騎”　—　鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出自己的解題思路。 ③活動(dòng)：“圓桌會(huì)議”　—　鼓勵(lì)其他同學(xué)給予評(píng)價(jià)，對(duì)在哪里？錯(cuò)在哪里？還有沒(méi)有更好的方法？ 【設(shè)計(jì)意圖】：提供一個(gè)舞臺(tái), 讓學(xué)生展示自己的才華，這將極大地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，增強(qiáng)學(xué)生的榮譽(yù)感，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了“自主探究”，同時(shí)，也鍛煉了學(xué)生敢想、敢說(shuō)、敢做的能力。 【一點(diǎn)心得】：在“千里走單騎”和“圓桌會(huì)議”的探究活動(dòng)中，教師一定要以“鼓勵(lì)和表?yè)P(yáng)”為主，面帶微笑，消除學(xué)生的恐懼感，提高學(xué)生的自信心． 分析：數(shù)列的通項(xiàng)公式表示的是數(shù)列{}的第n項(xiàng)與序號(hào) n 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．為此，我們先根據(jù)已知的遞推公式，算出數(shù)列的前幾項(xiàng)． 解：當(dāng)n=1時(shí)，; 當(dāng) n =2時(shí)，； 當(dāng)n =3時(shí)，； 當(dāng)n=4時(shí)，． 觀察可得，數(shù)列的前 4 項(xiàng)都等于相應(yīng)序號(hào)的倒數(shù)．由此猜想，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ． 在例4中，我們通過(guò)歸納得到了關(guān)于數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)猜想．雖然猜想是否正確還有待嚴(yán)格的證明，但這個(gè)猜想可以為我們的研究提供一種方向． 另解：因?yàn)椋? 所以，即。 所以數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故 ，即． ⑵能力培養(yǎng)（例4拓展） 例4拓展：，求 ①思考：怎么求？組織學(xué)生進(jìn)行探究，尋找規(guī)律。 ②歸納：由學(xué)生討論，歸納技巧，得到技巧②和③。 技巧②:有整數(shù)和分?jǐn)?shù)時(shí),往往將整數(shù)化為分?jǐn)?shù). 技巧③:當(dāng)分子分母都在變化時(shí),往往統(tǒng)一分子 (或分母),再尋找另一部分的變化規(guī)律. 7．教學(xué)反思： (1)歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會(huì)越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 (2)歸納推理的一般步驟： 通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì) 從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般命題（猜想） （3）合情推理使學(xué)生熟悉了掌握知識(shí)的過(guò)程和方法，提高了觀察與分析問(wèn)題的能力，使得教學(xué)過(guò)程變成了學(xué)生積極參與的智力活動(dòng)的過(guò)程，鍛煉和培養(yǎng)了他們深刻的思維能力，從而促進(jìn)創(chuàng)造能力的提高。 1．（xx年上海卷）已知函數(shù)＝＋有如下性質(zhì)：如果常數(shù)＞0，那么該函數(shù)在0，上是減函數(shù)，在，＋∞上是增函數(shù)． （1）如果函數(shù)＝＋（＞0）的值域?yàn)?，＋∞，求的值； （2）研究函數(shù)＝＋（常數(shù)＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由； （3）對(duì)函數(shù)＝＋和＝＋（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫(xiě)出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)＝＋（是正整數(shù)）在區(qū)間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）． 解(1) 函數(shù)y=x+(x>0)的最小值是2,則2=6, ∴b=log29. (2)設(shè)0y1, 函數(shù)y=在[,+∞)上是增函數(shù)； 當(dāng)00),其中n是正整數(shù). 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù), 在(－∞,－]上是增函數(shù), 在[－,0)上是減函數(shù). 當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù), 在(－∞,－]上是減函數(shù), 在[－,0)上是增函數(shù). F(x)= + = 因此F(x) 在 [,1]上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù). 所以,當(dāng)x=或x=2時(shí), F(x)取得最大值()n+()n； 當(dāng)x=1時(shí)F(x)取得最小值2n+1. 2．（xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試選擇題5）已知都在（-2，2）內(nèi)，且， 則函數(shù)u = 的最小值是 （ ） （A） （B） （C） （D） . 這是一道結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，表達(dá)簡(jiǎn)潔的很自然的最值問(wèn)題，但這個(gè)看起來(lái)簡(jiǎn)單的問(wèn)題可難住了許多優(yōu)秀學(xué)生，經(jīng)過(guò)探索，筆者發(fā)現(xiàn)本題用Cauchy不等式來(lái)求解較為方便簡(jiǎn)捷，現(xiàn)介紹如下： 解一：原不等式可變形為 u = = 對(duì)此運(yùn)用Cauchy不等式及二元均值不等式及已知條件得 ≥ 等式成立的條件是 且，所以 ，但x、y異號(hào). 這一解法的優(yōu)越性在于過(guò)程簡(jiǎn)捷，思路自然簡(jiǎn)單明了. 本題還可以用無(wú)窮遞鎖等比數(shù)列以及不等式證明. 證明：由題設(shè)知道，故由無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和的公式知道 本題可能來(lái)源與如下一個(gè)問(wèn)題的退化情形：本題的歷史淵源—本題昨天的表現(xiàn)形式—本題的籍貫： 命題的延伸1：設(shè)，求函數(shù) 的最小值. 這是《數(shù)學(xué)教學(xué)》xx年第5期數(shù)學(xué)問(wèn)題解答欄540題，原作者給出的解答有很高的技巧性，通過(guò)配湊獲得解決，是一種不太自然的想法，下面用Cauchy不等式給出一種較好的解法. 解：根據(jù)Cauchy不等式及三元均值不等式知 通過(guò)上面的解法可以看出，本題的減元情形就是上述競(jìng)賽題的表現(xiàn)形式. 本題還可以用構(gòu)造等比數(shù)列的方法證明，《數(shù)理天地》xx.10. 23頁(yè) 實(shí)際上，本題還可以推廣為 命題的延伸2：，求的最小值.