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第十一單元 選考4部分 第67講　坐標系 課前雙擊鞏固 1.平面直角坐標系中的伸縮變換 設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換φ:x=λx,λ>0,y=μy,μ>0的作用下,點P(x,y)對應到點P(x,y),稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換. 2.極坐標系 (1)設M是平面內一點,極點O與點M的距離|OM|叫作點M的　　　　,記為ρ.以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫作點M的　　　　,記為θ.有序數(shù)對(ρ,θ)叫作點M的極坐標,記作M(ρ,θ). (2)極坐標與直角坐標的關系:把直角坐標系的原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,設M是平面內任意一點,它的直角坐標是(x,y),極坐標是(ρ,θ),則它們之間的關系為x=　　　　,y=ρsin θ,由此得ρ2=　　　　,tan θ=　　　　(x≠0). 3.常用簡單曲線的極坐標方程 曲線 圖形 極坐標方程 圓心在極點, 半徑為r的圓 ρ=r 圓心為(r,0), 半徑為r的圓 ρ=2rcos θ 圓心為r,π2, 半徑為r的圓 ρ=2rsin θ (0≤θ<π) 過極點,傾 斜角為α的 直線 θ=α(ρ∈R)或θ= π+α(ρ∈R) 過點(a,0), 與極軸垂 直的直線 ρcos θ=a 過點a,π2, 與極軸平行的 直線 ρsin θ=a 課堂考點探究 探究點一　平面直角坐標系中的伸縮變換 1 (1)曲線C:x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換x=2x,y=y得到曲線C,則曲線C的方程為　　　　. (2)曲線C經(jīng)過伸縮變換x=2x,y=3y后所得曲線的方程為x2+y2=1,則曲線C的方程為　　　　. [總結反思] 平面上的曲線y=f(x)在變換φ:x=λx,λ>0,y=μy,μ>0的作用下所得曲線方程的求法是將x=xλ,y=yμ代入y=f(x),得yμ=fxλ,整理之后得到y(tǒng)=h(x),即為所求變換之后曲線的方程.平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換來表示.在伸縮變換x=λx,λ>0,y=μy,μ>0的作用下,直線仍然變成直線,拋物線仍然變成拋物線,雙曲線仍然變成雙曲線,圓可以變成橢圓,橢圓也可以變成圓. 式題 (1)在同一平面直角坐標系中,已知伸縮變換φ:x=3x,2y=y,則點A13,-2經(jīng)過變換后所得的點A的坐標為　　　　. (2)雙曲線C:x2-y264=1經(jīng)過伸縮變換φ:x=3x,2y=y后所得曲線C的焦點坐標為　　　　　　. 探究點二　極坐標與直角坐標的互化 2 在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的直角坐標方程為(x-3)2+(y-2)2=4,直線C2的直角坐標方程為y=33x,以O為極點,x軸非負半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程; (2)若直線C2與曲線C1交于P,Q兩點,求|OP||OQ|的值. [總結反思] (1)直角坐標方程化為極坐標方程時,將x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化簡即可;(2)極坐標方程化為直角坐標方程時常先通過變形,構造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,再進行整體代換.其中方程的兩邊同乘(或同除以)ρ及方程兩邊同時平方是常用的變形方法.但對方程進行變形時,方程必須同解,因此應注意對變形過程的檢驗. 式題 [2017大慶實驗中學月考] 已知曲線C的極坐標方程為ρ2=9cos2θ+9sin2θ,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系. (1)求曲線C的直角坐標方程; (2)A,B為曲線C上兩個點,若OA⊥OB,求1|OA|2+1|OB|2的值. 探究點三　簡單曲線的極坐標方程及應用 3 [2017全國卷Ⅱ] 在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρcos θ=4. (1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM||OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程; (2)設點A的極坐標為2,π3,點B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值. [總結反思] 曲線的極坐標方程問題通?？上壤没セ睫D化為直角坐標系中的相關問題再求解,然后再次利用互化公式即可得相關結論.極坐標方程化為直角坐標方程,只需將ρcos θ和ρsin θ分別換成x和y即可. 式題 [2017黃岡中學三模] 在平面直角坐標系xOy中,直線C1:3x+y-4=0,曲線C2:x=cosφ,y=1+sinφ(φ為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標系. (1)求C1,C2的極坐標方程; (2)若曲線C3的極坐標方程為θ=αρ>0,0<α<π2,且曲線C3分別交C1,C2于A,B兩點,求|OB||OA|的最大值. 第68講　參數(shù)方程 課前雙擊鞏固 1.參數(shù)方程的定義 一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)x=f(t),y=g(t)(*),并且對于t的每一個允許值,由方程組(*)所確定的點M(x,y)都在這條曲線上,那么方程(*)就叫作這條曲線的　　　　,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫作參變數(shù),簡稱　　　　. 2.直線、圓、橢圓的參數(shù)方程 曲線 參數(shù)方程 過點M(x0,y0),傾斜角為α的直線l x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t為參數(shù)) 圓心在點M0(x0,y0),半徑為R的圓 x=x0+Rcosθ,y=y0+Rsinθ(θ為參數(shù)) 圓心在原點,半徑為R的圓 x=Rcosθ,y=Rsinθ(θ為參數(shù)) 橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0) x=acosφ,y=bsinφ(φ為參數(shù)) 3.直線的參數(shù)方程的標準形式的應用 過點M0(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t是參數(shù)). 若M1,M2是l上的兩點,其對應的參數(shù)分別為t1,t2,則: (1)M1,M2兩點的坐標分別是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α,y0+t2sin α); (2)|M1M2|=|t1-t2|,|M0M1||M0M2|=|t1t2|; (3)若線段M1M2的中點M所對應的參數(shù)為t,則t=t1+t22,中點M到定點M0的距離|MM0|=|t|=|t1+t2|2; (4)若M0為線段M1M2的中點,則t1+t2=0. 課堂考點探究 探究點一　曲線的參數(shù)方程 1 在平面直角坐標系xOy中,過點A(a,2a)的直線l的傾斜角為π6,點P(x,y)為直線l上的動點,且|AP|=t.圓C以C(2a,2a)為圓心,2為半徑,Q(x,y)為圓C上的動點,且CQ與x軸正方向所成的角為θ. (1)分別以t,θ為參數(shù),求出直線l和圓C的參數(shù)方程; (2)當直線l和圓C有公共點時,求a的取值范圍. [總結反思] 幾種常見曲線的參數(shù)方程: (1)直線的參數(shù)方程. 過點P(x0,y0)且傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t為參數(shù)). (2)圓的參數(shù)方程. 若圓心為點M0(x0,y0),半徑為r,則圓的參數(shù)方程為x=x0+rcosθ,y=y0+rsinθ(θ為參數(shù)). (3)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的參數(shù)方程為x=acosθ,y=bsinθ(θ為參數(shù)). (4)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的參數(shù)方程為x=acosθ,y=btanθ(θ為參數(shù)). (5)拋物線y2=2px(p>0)的參數(shù)方程為x=2pt2,y=2pt(t為參數(shù)). 式題 [2017長沙二模] 在平面直角坐標系中,已知直線l的參數(shù)方程為x=1+s,y=1-s(s為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為x=t+2,y=t2(t為參數(shù)),若直線l與曲線C相交于A,B兩點,求|AB|. 探究點二　參數(shù)方程與普通方程的互化 2 [2017臨汾三模] 在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=3sinα-cosα,y=3-23sinαcosα-2cos2α(α為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρsinθ-π4=22m. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程; (2)若曲線C1與曲線C2有公共點,求實數(shù)m的取值范圍. [總結反思] (1)消去參數(shù)的方法一般有三種: ①利用解方程的技巧求出參數(shù)的表達式,然后代入消去參數(shù); ②利用三角恒等式消去參數(shù); ③根據(jù)參數(shù)方程本身的結構特征,靈活選用一些方法,從整體上消去參數(shù). (2)在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使兩種方程中的x,y的取值范圍保持一致. 式題 [2017湖北六校二聯(lián)] 已知直線l:x=1+12t,y=36t(t為參數(shù)),曲線C1:x=cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù)). (1)設l與C1相交于A,B兩點,求|AB|; (2)若把曲線C1上各點的橫坐標縮短為原來的12,縱坐標縮短為原來的32,得到曲線C2,設點P是曲線C2上的一個動點,求它到直線l的距離的最大值. 探究點三　直線的參數(shù)方程 3 [2017雅安三診] 平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=3cosα,y=sinα(α為參數(shù)),在以原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為ρsinθ-π4=2. (1)求曲線C的普通方程和直線l的傾斜角; (2)設點P(0,2),直線l和曲線C交于A,B兩點,求|PA|+|PB|. [總結反思] (1)直線的參數(shù)方程有多種形式,只有標準形式中的參數(shù)才具有幾何意義,即參數(shù)t的絕對值表示對應的點到定點的距離. (2)根據(jù)直線的參數(shù)方程的標準形式中t的幾何意義,有如下常用結論: ①若直線與圓錐曲線相交,交點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則弦長l=|t1-t2|; ②若定點M0(標準形式中的定點)是線段M1M2(點M1,M2對應的參數(shù)分別為t1,t2,下同)的中點,則t1+t2=0; ③設線段M1M2的中點為M,則點M對應的參數(shù)為tM=t1+t22. 式題 [2017鷹潭一模] 在直角坐標系xOy中,過點P32,32作傾斜角為α的直線l與曲線C:x2+y2=1相交于不同的兩點M,N. (1)寫出直線l的參數(shù)方程; (2)求1|PM|+1|PN|的取值范圍. 探究點四　圓、圓錐曲線的參數(shù)方程及應用 4 在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosα,y=2+tsinα(t為參數(shù),0≤α<π),以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=6sin θ. (1)求曲線C的直角坐標方程; (2)若點P(1,2),設曲線C與直線l交于點A,B,求1|PA|+1|PB|的最小值. [總結反思] 解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關的綜合問題時,要注意普通方程與參數(shù)方程的互化,主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關的最值、范圍等問題. 式題 在直角坐標系xOy中,已知曲線C1:x=-4+cost,y=3+sint(t為參數(shù)),C2:x=8cosθ,y=3sinθ(θ為參數(shù)).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系. (1)將C1,C2的方程化為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線; (2)若C1上的點P對應的參數(shù)t=π2,Q為C2上的動點,求PQ的中點M到直線C3:ρ(cos θ-2sin θ)=7距離的最小值. 第69講　不等式的性質及絕對值不等式 課前雙擊鞏固 1.不等式的性質 (1)如果a>b,那么　　　　;如果bb?bb,b>c,那么　　　　,即a>b,b>c?　　　　. (3)如果a>b,那么a+c>　　　　,即a>b?a+c>　　　　. 推論:如果a>b,c>d,那么　　　　,即a>b,c>d?　　　　. (4)如果a>b,c>0,那么ac>　　　　;如果a>b,c<0,那么ac<　　　　. (5)如果a>b>0,那么an　　　　bn(n∈N,n≥2). (6)如果a>b>0,那么na　　　nb(n∈N,n≥2). 2.基本不等式 (1)如果a,b∈R,那么a2+b2　　　　,當且僅當　　　　時,等號成立. (2)如果a>0,b>0,那么a+b2　　　　,當且僅當　　　　時,等號成立. (3)如果a>0,b>0,那么a+b2稱為a,b的　　　　平均,ab稱為a,b的　　　　平均. (4)如果a>0,b>0,c>0,那么a+b+c3　　　　　　　,當且僅當　　　　　　時,等號成立. (5)對于n個正數(shù)a1,a2,…,an,它們的算術平均不小于它們的幾何平均,即　　　　　　　　　,當且僅當a1=a2=…=an時,等號成立. 3.絕對值不等式 (1)如果a,b是實數(shù),那么|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當　　　　時,等號成立. (2)如果a,b,c是實數(shù),那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當且僅當　　　　　時,等號成立. 課堂考點探究 探究點一　絕對值三角不等式的應用 1 [2017湖南長郡中學二模] 若對于實數(shù)x,y,有|x+y+1|≤13,y-13≤23,求證:23x+1≤79. [總結反思] (1)對絕對值三角不等式定理|a|-|b|≤|ab|≤|a|+|b|中取等號的條件要深刻理解,特別是用此定理求函數(shù)的最值時,要檢驗等號是否能取到.該定理可以強化為||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|,它經(jīng)常用于證明含絕對值的不等式. (2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函數(shù)的最值問題時,利用絕對值三角不等式更方便. 式題 若x,y滿足|x-3y|<12,|x+2y|<16,求證:|x|<310. 探究點二　絕對值不等式的解法 2 [2017內蒙古包鋼一中一模] 已知函數(shù)f(x)=|x+2|-|2x-2|. (1)解不等式f(x)≥-2; (2)設g(x)=x-a,若對任意x∈[a,+∞),都有 g(x)≥f(x),求a的取值范圍. [總結反思] 常見的絕對值不等式的解法: (1)利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想. (2)對形如|x+a||x-b|≥c(≤c)這種不等式問題,常用“零點分段討論法”去掉絕對值符號化為若干個不等式組問題求解,其一般步驟為:①求零點;②劃分區(qū)間,去絕對值符號;③分別解去掉絕對值符號之后的不等式;④取每個結果的并集. (3)通過構造函數(shù),利用函數(shù)的圖像求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想. 式題 [2017沈陽東北育才學校九模] 已知函數(shù)f(x)=|2x+1|-|x|+a. (1)若a=-1,解不等式f(x)≥0; (2)若方程f(x)=2x有三個不同的解,求a的取值范圍. 探究點三　絕對值不等式的證明與應用 3 [2017武漢三模] 設函數(shù)f(x)=x+8m+|x-2m|(m>0). (1)求證:f(x)≥8恒成立; (2)求使得不等式f(1)>10成立的實數(shù)m的取值范圍. [總結反思] 含有絕對值的不等式的證明方法: ①去掉絕對值符號(|x|≤a?-a≤x≤a(a>0),|x|>a?x>a或x<-a(a>0))再證明; ②利用絕對值不等式的性質(||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|)來證明. 式題 [2017宣城二調] 已知f(x)=|ax-1|,若實數(shù)a>0,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}. (1)求a的值; (2)若f(x)+f(-x)3<|k|存在實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍. 第70講　不等式的證明、柯西不等式與均值不等式 課前雙擊鞏固 1. 證明不等式的常用方法 (1)比較法 ①求差比較法:a>b?a-b>0,ab,只要證明　　　　即可,這種方法稱為求差比較法. ②求商比較法:a>b>0?ab>1且a>0,b>0,因此當a>0,b>0時要證明a>b,只要證明ab>1即可,這種方法稱為求商比較法. (2)分析法 從所要證明的　　　　出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實,從而得出要證的命題成立,這種證明方法稱為分析法,即“執(zhí)果索因”的證明方法. (3)綜合法 從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質等,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立,這種證明方法稱為綜合法,即“由因尋果”的方法. (4)放縮法 證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,簡化不等式,從而達到證明的目的,這種方法稱為放縮法. (5)反證法的步驟 ①作出否定　　　　的假設; ②進行推理,導出　　　　; ③否定　　　　,肯定　　　　. 2. 柯西不等式 (1)二維形式的柯西不等式 ①柯西不等式的代數(shù)形式:設a1,a2,b1,b2均為實數(shù),則(a12+a22)(b12+b22)≥　　　　(當且僅當a1b2=a2b1時,等號成立). ②柯西不等式的向量形式:設α,β為平面上的兩個向量,則|α||β|≥|αβ|,當且僅當β是零向量或存在實數(shù)k,使α=kβ時,等號成立. ③二維形式的三角不等式:設x1,y1,x2,y2∈R,那么x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+(y1-y2)2,當且僅當x1y2=x2y1時,等號成立. (2)一般形式的柯西不等式 設a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實數(shù),則(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,當且僅當bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個實數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)時,等號成立. 課堂考點探究 探究點一　柯西不等式的應用 1 已知x,y,z是正實數(shù),且滿足x+2y+3z=1. (1)求1x+1y+1z的最小值; (2)求證:x2+y2+z2≥114. [總結反思] 對于若干個單項式的平方和,因為其符合柯西不等式(a2+b2+…+c2)(m2+n2+…+p2)≥(am+bn+…+cp)2,所以只要補足另一個平方和多項式,便可利用柯西不等式來求最值. 式題 [2017長沙雅禮中學二模] 已知關于x的不等式|x+a|0),ba+ab≥2(ab>0),ba+ab≤-2(ab<0)等. (2)用分析法證明不等式時,不要把“逆求”錯誤地作為“逆推”,分析的過程是尋求結論成立的充分條件,而不一定是充要條件,同時要正確使用“要證”“只需證”這樣的“關鍵詞”. 式題 [2017武漢二調] 若正實數(shù)a,b滿足a+b=12,求證:a+b≤1. 第十一單元　選修4部分 1.課時安排 第67講　坐標系 考試說明 1. 了解坐標系的作用,了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. 2. 了解極坐標的基本概念,會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置,能進行極坐標和直角坐標的互化. 3. 能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 2. (1)極徑　極角　(2)ρcos θ　x2+y2　yx 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] (1)將x=x2,y=y代入曲線C的方程得x24+y2=1;(2)根據(jù)題意,將x=2x,y=3y代入變換后所得曲線的方程,即可得曲線C的方程. (1)x24+y2=1　(2)4x2+9y2=1　[解析] (1)因為x=2x,y=y,所以x=x2,y=y,代入曲線C的方程得C:x24+y2=1. (2)根據(jù)題意,曲線C經(jīng)過伸縮變換x=2x,y=3y后所得曲線的方程為x2+y2=1, 則(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1, 所以曲線C的方程為4x2+9y2=1. 變式題　(1)(1,-1)　(2)(-5,0),(5,0)　[解析] (1)設A(x,y),由伸縮變換φ:x=3x,2y=y,得到x=3x,y=12y.由于點A的坐標為13,-2,于是x=313=1,y=12(-2)=-1, ∴A的坐標為(1,-1). (2)設曲線C上任意一點P(x,y),將x=13x,y=2y代入x2-y264=1,得x29-4y264=1,化簡得x29-y216=1,即為曲線C的方程,知C仍是雙曲線,其焦點坐標分別為(-5,0),(5,0). 例2　[思路點撥] (1)將圓的標準方程化為一般方程,把x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入圓的一般方程和直線的直角坐標方程并化簡即可;(2)將直線的極坐標方程代入圓的極坐標方程,利用|OP||OQ|=|ρ1ρ2|即可. 解:(1)曲線C1的直角坐標方程為(x-3)2+(y-2)2=4, 即x2+y2-23x-4y+3=0, 把x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入,得ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ+3=0, 則C1的極坐標方程為ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ+3=0. ∵直線C2的直角坐標方程為y=33x, ∴直線C2的極坐標方程為θ=π6(ρ∈R). (2)設P(ρ1,θ),Q(ρ2,θ),將θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ+3=0,得ρ2-5ρ+3=0,∴ρ1ρ2=3, ∴|OP||OQ|=|ρ1ρ2|=3. 變式題　解:(1)由ρ2=9cos2θ+9sin2θ,得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9, 將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入, 得曲線C的直角坐標方程是x29+y2=1. (2)因為ρ2=9cos2θ+9sin2θ,所以1ρ2=cos2θ9+sin2θ, 由OA⊥OB,設A(ρ1,α),則B點的坐標可設為ρ2,απ2, 所以1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α9+sin2α+sin2α9+cos2α=19+1=109. 例3　[思路點撥] (1)設P(ρ,θ)(ρ>0),利用已知條件得出M點坐標,根據(jù)|OM||OP|=16列方程可得C2的極坐標方程,再將極坐標方程化為直角坐標方程; (2)設B(ρB,α)(ρB>0),由|OA|=2,ρB=4cos α,即可求出△OAB面積的最大值. 解:(1)設P的極坐標為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0). 由題設知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=4cosθ. 由|OM||OP|=16得C2的極坐標方程為ρ=4cos θ(ρ>0), 因此C2的直角坐標方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設點B的極坐標為(ρB,α)(ρB>0).由題設知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面積 S=12|OA|ρBsin∠AOB=4cos αsinα-π3=2sin2α-π3-32≤2+3. 當α=-π12時,S取得最大值2+3, 所以△OAB面積的最大值為2+3. 變式題　解:(1)∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴C1的極坐標方程為3ρcos θ+ρsin θ-4=0. ∵x=cosφ,y=1+sinφ,∴x2+(y-1)2=1,又x=ρcos θ,y=ρsin θ, ∴(ρcos θ)2+(ρsin θ-1)2=1,即ρ2-2ρsin θ=0,∴C2的極坐標方程為ρ=2sin θ. (2)設A(ρ1,α),B(ρ2,α),則ρ1=43cosα+sinα,ρ2=2sin α, 則|OB||OA|=ρ2ρ1=142sin α(3cos α+sin α)=142sin2α-π6+1,又0<α<π2,∴當α=π3時,|OB||OA|取得最大值34. 【備選理由】例1主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化,意在考查基本運算能力,轉化與化歸思想、方程思想與數(shù)形結合思想;例2主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化,綜合性較強. 1 [配例2使用] 在極坐標系中,已知曲線C:ρ=22sinθ-π4,P為曲線C上的動點,定點Q1,π4. (1)將曲線C的極坐標方程化成直角坐標方程; (2)求P,Q兩點間的最短距離. 解:(1)在極坐標系中,曲線C:ρ=22sinθ-π4=2sin θ-2cos θ, ∴ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ, ∴曲線C的直角坐標方程為x2+y2=2y-2x,即(x+1)2+(y-1)2=2. (2)易知Q的直角坐標為22,22,∵曲線C的圓心為(-1,1),半徑為2,點Q在圓C外, ∴|PQ|min=22+12+22-12-2=3-2. 2 [配例3使用] [2017深圳一模] 在平面直角坐標系中,直線l過點P(2,3)且傾斜角為α,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ-π3,直線l與曲線C相交于A,B兩點. (1)求曲線C的直角坐標方程; (2)若|AB|=13,求直線l的傾斜角α的值. 解:(1)∵ρ=4cosθ-π3,∴ρ=4cos θcosπ3+sin θsinπ3=2(cos θ+3sin θ), ∴ρ2=2(ρcos θ+3ρsin θ),∴x2+y2=2x+23y, ∴曲線C的直角坐標方程為(x-1)2+(y-3)2=4. (2)當α=π2時,直線l的方程為x=2,∴|AB|=23≠13,不符合題意. 當α≠π2時,設tan α=k,則l的方程為y-3=k(x-2),即kx-y-2k+3=0, ∴圓心C(1,3)到直線kx-y-2k+3=0的距離d=|k-3-2k+3|k2+1=|k|k2+1, 由d2+|AB|22=4,得k2k2+1+134=4,解得k=3, ∴tan α=3,∵α∈[0,π),∴α=π3或2π3. 第68講　參數(shù)方程 考試說明 1. 了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義. 2. 能選擇適當參數(shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1. 參數(shù)方程　參數(shù) 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] (1)依據(jù)直線的參數(shù)方程和圓的參數(shù)方程的概念可直接寫出它們的參數(shù)方程;(2)將圓C的參數(shù)方程化為普通方程,再將直線l的參數(shù)方程代入,利用Δ≥0即可求出a的取值范圍. 解:(1)依題意,直線l的參數(shù)方程為 x=a+tcosπ6,y=2a+tsinπ6(t為參數(shù)),即x=a+32t,y=2a+12t(t為參數(shù)). 圓C的參數(shù)方程為x=2a+2cosθ,y=2a+2sinθ(θ為參數(shù)). (2)將圓C的參數(shù)方程化為普通方程得(x-2a)2+(y-2a)2=2, 將直線l的參數(shù)方程代入,得32t-a2+12t2=2, 整理得t2-3at+a2-2=0,因為直線l和圓C有公共點, 所以Δ=(-3a)2-4(a2-2)≥0,解得-22≤a≤22. 變式題　解:直線l的普通方程為x+y=2,曲線C的普通方程為y=(x-2)2(y≥0), 聯(lián)立兩方程得x2-3x+2=0,求得兩交點的坐標分別為(1,1),(2,0),所以|AB|=2. 例2　[思路點撥] (1)由題意知y=3-23sin αcos α-2cos2α=3sin2α-23sin αcos α+cos2α=(3sin α-cos α)2,將x整體代入即可得y=x2,根據(jù)x=3sin α-cos α=2sinα-π6,可知-2≤x≤2.將ρsinθ-π4=22m展開可得ρsin θ-ρcos θ=m,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,可得y-x=m. (2)聯(lián)立C1,C2的直角坐標方程,可得m=x2-x,-2≤x≤2,求x2-x的范圍可得實數(shù)m的取值范圍. 解:(1)由曲線C1的參數(shù)方程為x=3sinα-cosα,y=3-23sinαcosα-2cos2α(α為參數(shù)),可得其直角坐標方程為y=x2(-2≤x≤2), 由曲線C2的極坐標方程為ρsinθ-π4=22m,可得其直角坐標方程為x-y+m=0. (2)聯(lián)立曲線C1與曲線C2的方程,可得x2-x-m=0, ∴m=x2-x=x-122-14, ∵-2≤x≤2,曲線C1與曲線C2有公共點,∴-14≤m≤6. 變式題　解:(1)l的普通方程為y=33(x-1),C1的普通方程為x2+y2=1,由y=33(x-1),x2+y2=1,得l與C1的交點為A(1,0),B-12,-32,則|AB|=3. (2)C2的參數(shù)方程為x=12cosθ,y=32sinθ(θ為參數(shù)),設點P的坐標是12cosθ,32sinθ,從而點P到直線l的距離d=12cosθ-32sinθ-12=102sin(θ-φ)+12,故當sin(θ-φ)=1時,d取得最大值,最大值為104+12. 例3　[思路點撥] (1)由x=3cosα,y=sinα消去參數(shù)α,求得曲線C的普通方程.由ρsinθ-π4=2,得ρsin θ-ρcos θ=2,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得y=x+2,從而求得直線l的傾斜角. (2)由(1)知,點P(0,2)在直線l上,可得直線l的參數(shù)方程為x=22t,y=2+22t(t為參數(shù)),代入x29+y2=1并化簡,得5t2+182t+27=0,利用韋達定理結合參數(shù)的幾何意義求得|PA|+|PB|的值. 解:(1)由x=3cosα,y=sinα消去參數(shù)α,得x29+y2=1, 即曲線C的普通方程為x29+y2=1. 由ρsinθ-π4=2,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*) 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(*),化簡得y=x+2,所以直線l的傾斜角為π4. (2)由(1)知,點P(0,2)在直線l上,可得直線l的參數(shù)方程為x=tcosπ4,y=2+tsinπ4(t為參數(shù)),即x=22t,y=2+22t(t為參數(shù)), 代入x29+y2=1并化簡,得5t2+182t+27=0,Δ=(182)2-4527=108>0,設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=-1825<0,t1t2=275>0,所以t1<0,t2<0, 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=1825. 變式題　解:(1)∵直線l過點P32,32且傾斜角為α, ∴直線l的參數(shù)方程為x=32+tcosα,y=32+tsinα(t為參數(shù)). (2)把x=32+tcosα,y=32+tsinα代入x2+y2=1, 得t2+(3cos α+3sin α)t+2=0, ∵直線l與曲線C:x2+y2=1相交于不同的兩點M,N, ∴Δ=(3cos α+3sin α)2-8>0,即sin2α+π6>23,又α∈[0,π), ∴630,設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=-2(cosα-sinα),t1t2=-7. 又直線l過點P(1,2),結合t的幾何意義得 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=32-4sin2α≥32-4=27. 故1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=32-4sin2α|-7|≥277,所以所求的最小值為277. 變式題　解:(1)∵曲線C1的參數(shù)方程為x=-4+cost,y=3+sint(t為參數(shù)),∴其普通方程為(x+4)2+(y-3)2=1, ∴C1為圓心是(-4,3),半徑是1的圓. ∵曲線C2的參數(shù)方程為x=8cosθ,y=3sinθ(θ為參數(shù)),∴其普通方程為x264+y29=1, ∴C2為中心是坐標原點,焦點在x軸上,長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓. (2)由t=π2,得P(-4,4),設Q(8cos θ,3sin θ),故M-2+4cos θ,2+32sin θ, ρ(cos θ-2sin θ)=7可化為x-2y=7, 故M到C3的距離d=55|4cos θ-3sin θ-13|=55|5cos(θ+φ)-13|其中tan φ=34, 從而當cos(θ+φ)=1時,d取得最小值,為855. 【備選理由】例1考查了圓的參數(shù)方程與普通方程的轉化,直線與圓相交求弦長;例2考查了直線的參數(shù)方程與普通方程,圓的極坐標方程與直角坐標方程的轉化,直線參數(shù)方程的應用;例3考查了曲線的極坐標方程與參數(shù)方程的轉化,以及曲線參數(shù)方程的應用;例4考查了曲線參數(shù)方程與極坐標方程之間的轉化,以及曲線極坐標方程的應用.以上幾題覆蓋了曲線參數(shù)方程與極坐標方程的幾種常見組合,是對例題的補充. 1 [配例2使用] [2017珠海調研] 已知在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2+2cosφ,y=2sinφ(φ為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρsinθ+π4=22. (1)求曲線C的極坐標方程; (2)求直線l被曲線C截得的弦長. 解:(1)曲線C的普通方程為(x-2)2+y2=4, 即x2+y2-4x=0,將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,化簡得ρ=4cos θ,∴曲線C的極坐標方程是ρ=4cos θ. (2)∵直線l的直角坐標方程為x+y-4=0, 聯(lián)立x2+y2-4x=0,x+y-4=0,得直線l與曲線C的交點坐標為(2,2),(4,0), ∴所求弦長為(2-4)2+(2-0)2=22. 2 [配例3使用] 已知直線l的參數(shù)方程為x=2+22t,y=1+22t(t為參數(shù)),以直角坐標系xOy的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=42sinθ+π4. (1)求直線l的普通方程與圓C的直角坐標方程; (2)設圓C與直線l交于A,B兩點,若P點的直角坐標為(2,1),求||PA|-|PB||的值. 解:(1)易得直線l的普通方程為y=x-1. 因為曲線C的極坐標方程為ρ=42sinθ+π4=4sin θ+4cos θ,即ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ, 所以圓C的直角坐標方程為x2+y2-4x-4y=0(或寫成(x-2)2+(y-2)2=8). (2)點P(2,1)在直線l上,且在圓C內,把x=2+22t,y=1+22t代入x2+y2-4x-4y=0,得t2-2t-7=0, 設A,B兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t1+t2=2,t1t2=-7<0,即t1,t2異號, 所以||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=2. 3 [配例4使用] 在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:ρ2=151+2cos2θ,直線l:2ρsinθ+π3=3. (1)判斷曲線C與直線l的位置關系,寫出直線l的參數(shù)方程; (2)設直線l與曲線C的兩個交點分別為A,B,求|AB|的值. 解:(1)曲線C的直角坐標方程為x25+y215=1,直線l的直角坐標方程為3x+y=3,與y軸的交點為P(0,3),將P(0,3)代入橢圓方程左邊得0+15<1,故點P(0,3)在橢圓的內部,所以直線l與曲線C相交.直線l的參數(shù)方程為x=-12t,y=3+32t(t為參數(shù)). (2)由(1)知直線l的參數(shù)方程為x=-12t,y=3+32t(t為參數(shù)),曲線C的直角坐標方程為x25+y215=1,將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程,得3-12t2+3+32t2=15,即t2+2t-8=0,設點A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2,則t2+t1=-2,t2t1=-8, 所以|AB|=(t2+t1)2-4t2t1=(-2)2-4(-8)=6. 4 [配例4使用] [2018岳陽一中月考] 直角坐標系xOy中,直線l:x=t,y=-3t(t為參數(shù)),曲線C1:x=cosφ,y=1+sinφ(φ為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=-2cos θ+23sin θ. (1)分別求曲線C1的極坐標方程和曲線C2的直角坐標方程; (2)設直線l交曲線C1于O,A兩點,交曲線C2于O,B兩點,求|AB|. 解:(1)曲線C1:x=cosφ,y=1+sinφ(φ為參數(shù)),化為普通方程是x2+(y-1)2=1,展開可得x2+y2-2y=0, 可得其極坐標方程為ρ2-2ρsin θ=0,即ρ=2sin θ. 曲線C2的極坐標方程為ρ=-2cos θ+23sin θ, 即ρ2=ρ(-2cos θ+23sin θ),化為直角坐標方程是x2+y2=-2x+23y. (2)直線l:x=t,y=-3t(t為參數(shù)),化為普通方程是y=-3x,可得其極坐標方程是θ=2π3(ρ∈R), ∴|OA|=2sin2π3=3,|OB|=-2cos2π3+23sin2π3=-2-12+2332=4, ∴|AB|=|OB|-|OA|=4-3. 第69講　不等式的性質及絕對值不等式 考試說明 1. 理解絕對值的幾何意義,并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件: |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R); |a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R). 2. 會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-c|+|x-b|≥a. 【課前雙基鞏固】 知識聚焦 1. (1)bb　(2)a>c　a>c (3)b+c　b+c　a+c>b+d　a+c>b+d (4)bc　bc　(5)>　(6)> 2. (1)≥2ab　a=b　(2)≥ab　a=b (3)算術　幾何　(4)≥3abc　a=b=c (5)a1+a2+…+ann≥na1a2…an 3. (1)ab≥0　(2)(a-b)(b-c)≥0 【課堂考點探究】 例1　[思路點撥] 借助絕對值三角不等式進行證明. 證明:23x+1=23x+32=23x+y+1-y+13+16≤23|x+y+1|+y-13+16≤2313+23+16=79,所以23x+1≤79. 變式題　證明:由絕對值三角不等式的性質得 |x|=15|2(x-3y)+3(x+2y)|≤15[|2(x-3y)|+|3(x+2y)|]<15212+316=310. 例2　[思路點撥] (1)分類討論,去掉絕對值,分別求得不等式f(x)≥-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f(x)的圖像,數(shù)形結合求得滿足x∈[a,+∞)時g(x)≥f(x)的a的取值范圍. 解:(1)f(x)=x-4,x≤-2,3x,-2-2時,令-x+4=x-a,得x=2+a2, ∴a≥2+a2,即a≥4. 綜上,a≤-2或a≥4. 變式題　解:(1)當a=-1時,不等式f(x)≥0可化為|2x+1|-|x|-1≥0, ∴x<-12,-(2x+1)-(-x)-1≥0或-12≤x<0,(2x+1)-(-x)-1≥0或x≥0,(2x+1)-x-1≥0,解得x≤-2或x≥0, ∴不等式f(x)≥0的解集為(-∞,-2]∪[0,+∞). (2)由f(x)=2x得a=2x+|x|-|2x+1|, 令g(x)=2x+|x|-|2x+1|, 則g(x)=3x+1x<-12,-x-1-12≤x<0,x-1(x≥0),作出函數(shù)y=g(x)的圖像,如圖所示,易知A-12,-12,B(0,-1), 結合圖像知,當-110,分1-2m≥0和1-2m<0兩種情況進行討論,分別求解不等式再取并集即可. 解:(1)證明:由m>0,得f(x)=x+8m+|x-2m|≥x+8m-(x-2m)=8m+2m=8m+2m≥28m2m=8,當且僅當8m=2m且x+8m(x-2m)≤0,即m=2且-4≤x≤4時取等號,所以f(x)≥8恒成立. (2)f(1)=1+8m+|1-2m|(m>0). 當1-2m<0,即m>12時,f(1)=1+8m-(1-2m)=8m+2m, 由f(1)>10,得8m+2m>10,化簡得m2-5m+4>0,解得m<1或m>4,所以124. 當1-2m≥0,即010,得2+8m-2m>10,此不等式在00,所以-2a≤x≤4a, 因為不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}, 所以-2a=-1,4a=2,解得a=2. (2)因為f(x)+f(-x)3=|2x-1|+|2x+1|3≥|(2x-1)-(2x+1)|3=23, 所以要使f(x)+f(-x)3<|k|存在實數(shù)解,只需|k|>23, 解得k>23或k<-23, 所以實數(shù)k的取值范圍是-∞,-23∪23,+∞. 【備選理由】這里選用的三個例題,涉及求絕對值不等式的解、由解集求參數(shù)、不等式的證明,以及不等式恒成立等問題,希望通過練習提高學生的解題能力. 1 [配例1使用] 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2. (1)解不等式|g(x)|<5; (2)若對任意x1∈R,都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求實數(shù)a的取值范圍. 解:(1)由||x-1|+2|<5得-5<|x-1|+2<5, 所以-7<|x-1|<3,得-22時,原不等式等價于(x-2)+(x+4)≥x2+4x+3, 即x2+2x+1≤0,解得x=-1,∴x∈?. 綜上可知,不等式f(x)≥g(x)的解集是{x|-5≤x≤-2+7}. (2)∵|x-2|+|x+4|≥|x-2-x-4|=6, 且f(x)≥|1-5a|恒成立, ∴6≥|1-5a|,即-6≤1-5a≤6, ∴-1≤a≤75,∴a的取值范圍是-1,75. 3 [配例3使用] [2017深圳二調] 已知函數(shù)f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|,a∈R. (1)若f(a)≤2|1-a|,求實數(shù)a的取值范圍; (2)若關于x的不等式f(x)≤1存在實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍. 解:(1)因為f(a)≤2|1-a|,所以|1-a|+|a-a2|≤2|1-a|, 即(|a|-1)|1-a|≤0. 當a=1時,不等式成立; 當a≠1時,|1-a|>0,則|a|-1≤0,解得-1≤a<1. 綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是{a|-1≤a≤1}. (2)若關于x的不等式f(x)≤1存在實數(shù)解,則只需f(x)min≤1, 又f(x)=|x+1-2a|+|x-a2|≥|(x+1-2a)-(x-a2)|=(a-1)2, 所以(a-1)2≤1,解得0≤a≤2, 所以實數(shù)a的取值范圍是{a|0≤a≤2}. 第70講　不等式的證明、柯西不等式與均值不等式 考試說明 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析