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2019-2020年高三第二次模擬考試理科數(shù)學含答案 高三數(shù)學（理科） xx.5 第Ⅰ卷（選擇題 共40分） 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知全集，集合，，那么 （A） （B） （C） （D） 2．在復平面內(nèi)，復數(shù)的對應點是，的對應點是，則 （A） （B） （C） （D） 3．在極坐標系中，圓心為，且過極點的圓的方程是 （A） （B） （C） （D） 4．如圖所示的程序框圖表示求算式“” 之值， 則判斷框內(nèi)可以填入 （A） （B） （C） （D） 5．設，，，則 （A） （B） （C） （D） 6．對于直線，和平面，，使成立的一個充分條件是 （A），∥ （B）∥， （C），， （D），， 7．已知正六邊形的邊長是，一條拋物線恰好經(jīng)過該六邊形的四個頂點，則拋物線的焦點到準線的距離是 （A） （B） （C） （D） 8．已知函數(shù)，其中表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)．若關于的方程有三個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題 共110分） 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分． 9．右圖是甲，乙兩組各名同學身高（單位：）數(shù)據(jù) 的莖葉圖．記甲，乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)依次為和， 則 ______． （填入：“”，“”，或“”） 10．的展開式中項的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答） 11．在△中，，，，則______；△的面積是______． 12．如圖，是半圓的直徑，在的延長線上，與半圓相切于點，．若，，則______． 13．在等差數(shù)列中，，，則______；設，則數(shù)列的前項和______． 14．已知正數(shù)滿足，，則的取值范圍是______． 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分13分） 如圖，在直角坐標系中，角的頂點是原點，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓于點，且．將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交單位圓于點．記． （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）分別過作軸的垂線，垂足依次為．記△ 的面積為，△的面積為．若，求角的值． 16．（本小題滿分13分） 某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下： 獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球．顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就要將獎盒中的球全部摸出才停止．規(guī)定摸到紅球獎勵10元，摸到白球或黃球獎勵5元，摸到黑球不獎勵． （Ⅰ）求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率； （Ⅱ）記為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望． 17．（本小題滿分14分） 如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側(cè)棱上一點．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示． （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）證明：∥平面； （Ⅲ）線段上是否存在點，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點，并求的長；若不存在，說明理由． 18．（本小題滿分13分） 如圖，橢圓的左頂點為，是橢圓上異于點的任意一點，點與點關于點對稱． （Ⅰ）若點的坐標為，求的值； （Ⅱ）若橢圓上存在點，使得，求的取值范圍． 19．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，其中． （Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值． 20．（本小題滿分13分） 已知集合是正整數(shù)的一個排列，函數(shù) 對于，定義：，，稱為的滿意指數(shù)．排列為排列的生成列；排列為排列的母列． （Ⅰ）當時，寫出排列的生成列及排列的母列； （Ⅱ）證明：若和為中兩個不同排列，則它們的生成列也不同； （Ⅲ）對于中的排列，定義變換：將排列從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項調(diào)至首項，其它各項順序不變，得到一個新的排列．證明：一定可以經(jīng)過有限次變換將排列變換為各項滿意指數(shù)均為非負數(shù)的排列． 北京市西城區(qū)xx高三二模試卷 高三數(shù)學（理科）參考答案及評分標準 xx.5 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．C； 7．B； 8．B． 二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9．； 10．； 11．，； 12．； 13．，； 14．． 注：11、13題第一空2分，第二空3分. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分. 15．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：由三角函數(shù)定義，得 ，． ………………2分 因為 ，， 所以 ． …………3分 所以 ． ………………5分 （Ⅱ）解：依題意得 ，． 所以 ， ………………7分 ． ……………9分 依題意得 ， 整理得 ． ………………11分 因為 ， 所以 ， 所以 ， 即 ． ………………13分 16．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：設“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件， ………………1分 則 ， 故1名顧客摸球3次停止摸獎的概率為． ………………4分 （Ⅱ）解：隨機變量的所有取值為． ………………5分 ， ， ， ， ． ………………10分 所以，隨機變量的分布列為: ………………11分 ． ………………13分 17．（本小題滿分14分） 【方法一】 （Ⅰ）證明：由俯視圖可得，， 所以 ． ………………1分 又因為 平面， 所以 ， ………………3分 所以 平面． ………………4分 （Ⅱ）證明：取上一點，使，連結(jié)，． ………………5分 由左視圖知 ，所以 ∥，．…………6分 在△中，易得，所以 ．又 ， 所以， ． 又因為 ∥，，所以 ∥，． 所以四邊形為平行四邊形，所以 ∥．………………8分 因為 平面，平面， 所以 直線∥平面． ………………9分 （Ⅲ）解：線段上存在點，使與所成角的余弦值為．證明如下：……10分 因為 平面，，建立如圖所示的空間直角坐標系． 所以 ． 設 ，其中． ………………11分 所以，． 要使與所成角的余弦值為，則有 ，……………12分 所以 ，解得 或，均適合．…………13分 故點位于點處，此時；或中點處，此時，有與所成角的余弦值為． ………………14分 【方法二】 （Ⅰ）證明：因為平面，，建立如圖所示 的空間直角坐標系． 在△中，易得，所以 ， 因為 ， 所以， ． 由俯視圖和左視圖可得： ． 所以 ，． 因為 ，所以． ………………2分 又因為 平面，所以 ， ………………3分 所以 平面． ………………4分 （Ⅱ）證明：設平面的法向量為，則有 因為 ，， 所以 取，得． ………………6分 因為 ， 所以 ． ………………8分 因為 平面， 所以 直線∥平面． ………………9分 （Ⅲ）解：線段上存在點，使與所成角的余弦值為．證明如下：………10分 設 ，其中． ………………11分 所以 ，． 要使與所成角的余弦值為，則有 ，…………12分 所以 ，解得或，均適合． ………13分 故點位于點處，此時；或中點處，此時，有與所成角的余弦值為． ………………14分 18．（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：依題意，是線段的中點， 因為，， 所以 點的坐標為．………………2分 由點在橢圓上， 所以 ， ………………4分 解得 ． ………………5分 （Ⅱ）解：設，則 ，且． ① ………………6分 因為 是線段的中點， 所以 ． ………………7分 因為 ， 所以 ． ② ………………8分 由 ①，② 消去，整理得 ． ………………10分 所以 ， ………………12分 當且僅當 時，上式等號成立． 所以 的取值范圍是． ………………13分 19.（本小題滿分14分） （Ⅰ）解：的定義域為， 且 ． ……………2分 當時，，， 所以曲線在點處的切線方程為 ， 即 ． ………………4分 （Ⅱ）解：方程的判別式為． （?。┊敃r，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間 上的最小值是；最大值是． ………………6分 （ⅱ）當時，令，得 ，或． 和的情況如下： ↗ ↘ ↗ 故的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為． ………………8分 ① 當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間 上的最小值是；最大值是． ………………10分 ② 當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以在區(qū)間上的最小值是 ．………………11分 因為 ， 所以 當時，在區(qū)間上的最大值是；當時，在區(qū)間上的最大值是． ………………12分 ③ 當時，，此時在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以在區(qū)間上的最小值是；最大值是．………………14分 綜上， 當時，在區(qū)間上的最小值是，最大值是； 當時，在區(qū)間上的最小值是，最大值是； 當時，在區(qū)間上的最小值是，最大值是； 當時，在區(qū)間上的最小值是，最大值是． 20.（本小題滿分13分） （Ⅰ）解：當時，排列的生成列為； ………………2分 排列的母列為． ………………3分 （Ⅱ）證明：設的生成列是；的生成列是與． 從右往左數(shù)，設排列與第一個不同的項為與，即：，，，，． 顯然 ，，，，下面證明：． ………………5分 由滿意指數(shù)的定義知，的滿意指數(shù)為排列中前項中比小的項的個數(shù)減去比大的項的個數(shù)． 由于排列的前項各不相同，設這項中有項比小，則有項比大，從而． 同理，設排列中有項比小，則有項比大，從而． 因為 與是個不同數(shù)的兩個不同排列，且， 所以 ， 從而 ． 所以排列和的生成列也不同． ………………8分 （Ⅲ）證明：設排列的生成列為，且為中從左至右第一個滿意指數(shù)為負數(shù)的項，所以 ． ………………9分 進行一次變換后，排列變換為，設該排列的生成列為． 所以 ． ………………11分 因此，經(jīng)過一次變換后，整個排列的各項滿意指數(shù)之和將至少增加． 因為的滿意指數(shù)，其中， 所以，整個排列的各項滿意指數(shù)之和不超過， 即整個排列的各項滿意指數(shù)之和為有限數(shù)， 所以經(jīng)過有限次變換后，一定會使各項的滿意指數(shù)均為非負數(shù)． ……13分