4.2 實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)建模 基礎(chǔ)鞏固 1．在我國(guó)大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長(zhǎng)10.4 ，專家預(yù)測(cè)經(jīng)過(guò)x年可能增長(zhǎng)為原來(lái)的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖像大致為(　　)． 2．下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型是(　　)． x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A．一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型 C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型 3．生產(chǎn)一定數(shù)量商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，它可以表示為商品數(shù)量的函數(shù)，現(xiàn)知一企業(yè)生產(chǎn)某種商品的數(shù)量為x件時(shí)的成本函數(shù)為c(x)＝20＋2x＋(萬(wàn)元)，若售出一件商品收入是20萬(wàn)元，那么該企業(yè)為獲取最大利潤(rùn)，應(yīng)生產(chǎn)這種商品的數(shù)量為(　　)． A．18件 B．36件 C．22件 D．9件 4．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的關(guān)系式為y＝5x＋4 000，而手套出廠價(jià)格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為(　　)． A．200副 B．400副 C．600副 D．800副 5．在國(guó)內(nèi)投寄信，每封信不超過(guò)20克重付郵資80分，每封信超過(guò)20克重而不超過(guò)40克重付郵資160分，將每封信的應(yīng)付郵資(分)表示成為信重x(0＜x≤40)克的函數(shù)，其表達(dá)式為f(x)＝________. 6．“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過(guò)廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線的．已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系 (a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為.那么精明的商人為了取得最大廣告效應(yīng)，投入廣告費(fèi)應(yīng)為_(kāi)_______． 7．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t (小時(shí))成正比．藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題： (1)從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_______； (2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)________小時(shí)，學(xué)生才能回到教室． 能力提升 8．某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需要增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)＝其中x是儀器的月產(chǎn)量． (1)將利潤(rùn)y(元)表示為月產(chǎn)量x(臺(tái))的函數(shù)； (2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？(總收益＝總成本＋利潤(rùn)) 9．某城市有甲、乙兩家乒乓球俱樂(lè)部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同．甲俱樂(lè)部每張球臺(tái)每小時(shí)5元；乙家按月計(jì)費(fèi)，一個(gè)月中30小時(shí)以內(nèi)(含30小時(shí))每張球臺(tái)90元，超過(guò)30小時(shí)的部分每張球臺(tái)每小時(shí)2元．小張準(zhǔn)備下個(gè)月從這兩家中的一家租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)，其活動(dòng)時(shí)間不少于15小時(shí)，也不超過(guò)40小時(shí)． (1)設(shè)在甲俱樂(lè)部租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為f(x)元(15≤x≤40)，在乙俱樂(lè)部租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)x小時(shí)的收費(fèi)為g(x)元(15≤x≤40)．試求f(x)和g(x)． (2)問(wèn)：小張選擇哪家俱樂(lè)部比較合算？為什么？ 參考答案 1．D　點(diǎn)撥：設(shè)原來(lái)的荒漠化土地面積為a，則ay＝a(1＋10.4 )x，即y＝1.104x(x≥0)． 2．A　點(diǎn)撥：作散點(diǎn)圖可知，由題中數(shù)據(jù)確定的點(diǎn)近似分布在一條直線上，故選A. 3．A　點(diǎn)撥：y＝20x－c(x)＝20x－20－2x－x2＝－x2＋18x－20. ∴x＝18時(shí)，y有最大值． 4．D　點(diǎn)撥：要使該廠不虧本，需日出廠總價(jià)不小于日生產(chǎn)總成本．設(shè)日產(chǎn)手套x副，則10x－y≥0，即10x－(5x＋4 000)≥0，解得x≥800，所以，日產(chǎn)手套至少為800副． 5． 點(diǎn)撥：根據(jù)題意知當(dāng)每封信重x(克)時(shí)滿足： (1)0＜x≤20時(shí)，應(yīng)付郵資f(x)＝80(分)； (2)20＜x≤40時(shí)，應(yīng)付郵資f(x)＝160(分)． ∴所求函數(shù)應(yīng)分段定義， 即f(x)＝ 6．　點(diǎn)撥：令(t＞0)，則A＝t2. ∴D＝at－t2＝. ∴當(dāng)，即時(shí)，D取最大值． 7．(1) (2)0.6 點(diǎn)撥：(1)因?yàn)樗幬镝尫胚^(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比，則設(shè)函數(shù)為y＝ t( ＞0)，將點(diǎn)(0.1,1)代入y＝ x，可得 ＝10，所以y＝10t；又因?yàn)樗幬镝尫磐戤吅?，y與t的函數(shù)關(guān)系式為，將點(diǎn)(0.1,1)代入，得a＝0.1，故所求的函數(shù)關(guān)系式為) (2)由，得t＝0.6， 即至少需要經(jīng)過(guò)0.6小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室． 8．解：(1)由題設(shè)，總成本為20 000＋100x， 則 (2)當(dāng)0≤x≤400時(shí)，y＝(x－300)2＋25 000， 當(dāng)x＝300時(shí)，ymax＝25 000； 當(dāng)x＞400時(shí)，y＝60 000－100x是減函數(shù)， 則y＜60 000－100400＝20 000＜25 000. 所以，當(dāng)x＝300時(shí)，有最大利潤(rùn)25 000元． 9．解：(1)由題意得f(x)＝5x(15≤x≤40)， 若在乙俱樂(lè)部租一張球臺(tái)開(kāi)展活動(dòng)， 當(dāng)15≤x≤30時(shí)，g(x)＝90； 當(dāng)30＜x≤40時(shí)，g(x)＝90＋2(x－30)＝2x＋30， ∴g(x)＝ (2)由f(x)＝g(x)，得或 即x＝18或x＝10(舍去)． 當(dāng)15≤x＜18時(shí)，f(x)－g(x)＝5x－90＜0， ∴f(x)＜g(x)，則此時(shí)選甲俱樂(lè)部； 當(dāng)x＝18時(shí)，f(x)＝g(x)，則此時(shí)可以選甲俱樂(lè)部也可以選乙俱樂(lè)部； 當(dāng)18＜x≤30時(shí)，f(x)－g(x)＝5x－90＞0， ∴f(x)＞g(x)，則此時(shí)選乙俱樂(lè)部； 當(dāng)30＜x≤40時(shí)，f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)＝3x－30＞0， ∴f(x)＞g(x)，則此時(shí)選乙俱樂(lè)部． 綜上所述：當(dāng)15≤x＜18時(shí)，選甲俱樂(lè)部； 當(dāng)x＝18時(shí)，可以選甲俱樂(lè)部也可以選乙俱樂(lè)部； 當(dāng)18＜x≤40時(shí)，選乙俱樂(lè)部．