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突破38 電場強度計算的六種方法 方法1　利用合成法求電場強度 空間中的電場通常會是多個場源產(chǎn)生的電場的疊加，電場強度可以應用平行四邊形定則進行矢量計算，這是高考常考的考點。雖然電場強度的定義式為E＝，但公式E＝反映了某點場強與場源電荷的特性及該點到場源電荷的距離的關系，體現(xiàn)了電場的來源與本質(zhì)，高考常圍繞此公式出題。 【典例1】如圖所示，M、N為真空中兩根完全相同的均勻帶正電絕緣棒，所帶電荷量相同，且平行正對放置，兩棒中點分別為O1、O2，a、b、c、d、e為O1O2連線上的六等分點，a點處有一帶正電的固定點電荷．已知c處和d處的場強大小均為E0，方向相反，則b處的場強大小為(　　) A. E0 B. 13E09 C. 23E09 D. 49E09 【答案】D 【跟蹤短訓】 1．如圖在半徑為R的圓周上均勻分布著六個不同的點電荷，則圓心O處的場強大小和方向為 A. 2kqR2；由O指向F B. 4kqR2；由O指向F C. 2kqR2；由O指向C D. 4kqR2；由O指向C 【答案】B 【解析】由點電荷的場強公式可知，在A、B、C、E、F五個位置的點電荷在O點產(chǎn)生的場強大小為E=kqr2，在D位移的點電荷在O產(chǎn)生的場強大小為E=3kqr2，電場強度是矢量，求合場強應用平行四邊形定則，作出電場強度的示意圖，如圖所示： 最終O點的合場強為EO=E3+E4=4kqr2，方向由O指向F，故選B. 2.在真空中有兩個點電荷Q1＝＋3.010－8 C和Q2＝－3.010－8 C，它們相距0.1 m，A點與兩個點電荷的距離均為0.1 m。試求A點的場強。 【答案】　2.7104 N/C　方向與Q1Q2連線平行指向右 【解析】　Q1、Q2在A點產(chǎn)生的場強如題圖所示。 方法2　利用補償法求電場強度 求解電場強度，常用的方法是根據(jù)題設條件建立物理模型，如果這個模型是一個完整的標準模型，則容易解決。但有時由題設條件建立的模型不是完整的標準模型，假設為模型A，這時需要補充一些條件，由這些補充條件建立另一個容易求解的模型B，并能與模型A恰好組成一個完整的標準模型，使得求解模型A的問題變?yōu)榍蠼庖粋€完整的標準模型與模型B的差值問題。 將有缺口的帶電圓環(huán)補全為圓環(huán)”或?qū)⑶蛎嫜a全為球面，從而化難為易如圖丁所示將金屬絲彎成半徑為r的圓弧，但在AB之間留有寬度為d的間隙，且d遠遠小于r將電荷量為Q的止電荷均勻分布于金屬絲上,設原缺口環(huán)所帶電荷的線密度為,則補上的那一小段金屬絲帶電荷量Q=pd，則整個完整的金屬絲AB在O處的場強為零，Q在O處的場強E=，因O處的合場強為零，則金屬絲AB在O點的場強E=-，負號兩者方向相反，背向圓心向左 【典例2】均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場。如圖所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點，＝＝2R。已知M點的場強大小為E，則N點的場強大小為(　　) A.－E　　　　　　　 B. C.－E D.＋E 【答案】　A 【跟蹤短訓】 1．均勻帶電的球體在球外空間產(chǎn)生的電場等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場。如圖所示，在半球體上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球半徑為R，MN為通過半球頂點與球心O的軸線，在軸線上有A、B兩點，A、B關于O點對稱，AB=4R。已知A點的場強大小為E，則B點的場強大小為 A. kq2R2+E B. kq2R2-E C. kq4R2+E D. kq4R2-E 【答案】B 【解析】若將帶電量為2q的球面放在O處，均勻帶電的球殼在A、B點所產(chǎn)生的電場為E0=2kq(2R)2=kq2R2，由題知當半球面產(chǎn)生的場強為E，則B點的場強為E=E0-E。解得E=kq2R2-E，故選B。 2．已知均勻帶電圓盤在圓外平面內(nèi)產(chǎn)生的電場與一個位于圓心的、等電量的同種點電荷產(chǎn)生的電場相同。如圖所示，電荷總量為Q的電荷均勻分布在半徑為R的圓盤上，在過圓心O的直線上有A、B兩點，O與B，B與A的距離均為R，現(xiàn)以OB為直徑在盤內(nèi)挖掉一個小圓盤，若靜電力常量為k，則剩余部分在A處的場強大小為： A. kQ4R2 B. kQ9R2 C. 5kQ36R2 D. 13kQ36R2 【答案】C 方法三 等效法 在保證效果相同的前提條件下，將復雜的物理情景變換為簡單的或熟悉的情景.如圖甲所示，一個點電荷+q與一個很大的薄金屬板形成電場，可以等效為如圖乙所示的兩個異種等量點電荷形成的電場 【典例3】經(jīng)過探究，某同學發(fā)現(xiàn)：點電荷和無限大的接地金屬平板間的電場（如圖甲所示）與等量異種點電荷之間的電場分布（如圖乙所示）完全相同．圖丙中點電荷q到MN的距離OA為L，AB是以電荷Q為圓心、L為半徑的圓上的一條直徑，則B點電場強度的大小是（　?。? A. B. C. D. 【答案】C 故選：C． 【跟蹤短訓】 已知一個點電荷與足夠大的金屬板所形成的電場與等量異種點電荷連線的中垂線一側(cè)的電場分布相同。如圖所示，在真空中的某豎直平面內(nèi)固定一塊足夠大的接地金屬板MN，在MN右側(cè)與其相距2d處的P點放置一個所帶電荷量為Q的正點電荷，從P點作平面的垂線，O點為垂足，A點為OP連線的中點，B點為OP延長線上的一點，PB=d。關于各點的電場強度，下列說法正確的是 ( ) A. O點電場強度大小為kQ4d2 B. A點電場強度大小為kQd2 C. B點電場強度大小為k24Q25d2 D. A、B兩點電場強度大小相等，方向相反 【答案】C 【解析】A、金屬板右側(cè)的電場的電場線分布與等量異種電荷的電場線分布分別如圖甲、乙所示： 點睛：常見電場的電場線分布及等勢面的分布要求我們能熟練掌握，并要注意沿電場線的方向電勢是降低的，同時注意等量異號電荷形成電場的對稱性。 方法四 對稱法 【典例4】已知無限大的均勻帶電面可產(chǎn)生垂直于該面的勻強電場（正的帶電面場強方向背離該面、負的帶電面場強方向指向該面），場強大小E=2πkσ，式中k為靜電力常量，σ為電荷面密度（單位面積的帶電量）?，F(xiàn)有如圖所示的兩個平行且可視為無限大的均勻帶電面A和B，電荷的面密度分別為σ和-2σ（σ為正的常數(shù)），間距為d，空間中有C、D兩點，CD連線垂直于帶電面，C點到A面距離與D點到B面的距離均為d2，A面接地。關于C、D兩點的場強大小和電勢高低，下列說法中正確的是 A. EC=ED B. EC>ED C. φ C=φD D. φ C>φD 【答案】AD 【解析】設A面產(chǎn)生電場的場強大小為EA=E0，由題意得B面產(chǎn)生電場的場強大小為EB=2E0，在C點EC=EB-EA=E0，方向垂直指向A面。同理在D點ED=EB-EA=E0，方向垂直指向B面，故A正確，B錯誤。根據(jù)對稱性，UCA=-UBD，又根據(jù)AB板間的場強方向指向B板，固有φA＞φB，因此φC＞φD，故C錯誤，D正確。故選AD。 【跟蹤短訓】 1.下列選項中的各絕緣直桿大小相同,所帶電荷量已在圖中標出,且電荷均勻分布,各直桿間彼此絕緣.坐標原點O處電場強度最大的是() 【答案】B 【解析】設帶電桿在O點產(chǎn)生的場強大小為E. 所以坐標原點O處電場強度最大的是B. 所以B選項是正確的. 2．如圖所示，一帶電荷量為+Q的均勻細棒，在過中點垂直于細樣的直線上有a、b、d三點，a和b、b和c、c和d之間的距離均為L，在a處有一電荷量為-Q的固定點電荷。已知d點處的電場強度為零，靜電力常量為k，則b點處的電場強度大小為 A. kQ9L2 B. 10kQ9L2 C. 2kQL2 D. kQL2 【答案】B 【解析】電荷量為-Q的點電荷在d處產(chǎn)生電場強度為E=kQ9L2 ，方向向左 在d點處的場強為零，根據(jù)電場的疊加原理可知細棍與-Q在d處產(chǎn)生電場強度大小相等，方向相反， 3．一半徑為R的半球面均勻帶有正電荷Q,電荷Q在球心O處產(chǎn)生物的場強大小E0=kQ2R2,方向如圖所示.把半球面分為表面積相等的上、下兩部分,如圖甲所示,上、下兩部分電荷在球心O處產(chǎn)生電場的場強大小分別為E1、E2;把半球面分為表面積相等的左、右兩部分,如圖乙所示,左、右兩部分電荷在球心O處產(chǎn)生電場的場強大小分別為E3、E4.則( ) A. E1>kQ4R2 B. E2=kQ4R2 C. E312EO=12kQ2R2=kQ4R2，而E2<12EO=12kQ2R2=kQ4R2 ，故A正確，B錯誤；對圖乙，半球面分為表面積相等的左、右兩部分，是由于左右兩個半個球殼在同一點產(chǎn)生的場強大小相等，則根據(jù)電場的疊加可知：左側(cè)部分在O點產(chǎn)生的場強與右側(cè)電荷在O點產(chǎn)生的場強大小相等，即E3=E4．由于方向不共線，由合成法則可知，E3>12EO=12kQ2R2=kQ4R2，故CD錯誤，故選A. 方法5　利用微元法求電場強度 微元法就是將研究對象分割成若干微小的單元，或從研究對象上選取某一“微元”加以分析，從而實現(xiàn)化曲為直，再應用點電荷場強公式E＝k來計算電場強度。 【典例5】如圖所示，均勻帶電圓環(huán)所帶電荷量為Q，半徑為R，圓心為O，P為垂直于圓環(huán)平面的對稱軸上的一點，OP＝L，試求P點的場強。 【答案】　 【跟蹤短訓】 1．如圖所示，16個電荷量均為+q(q>0)的小球(可視為點電荷)，均勻分布在半徑為R的圓周上若將圓周上P點的一個小球的電荷量換成-2q，則圓心 0點處的電場強度為 A. 2kqR2，方向沿半徑向左 B. 2kqR2，方向沿半徑向右 C. 3kqR2，方向沿半徑向左 D. 3kqR2，方向沿半徑向右 【答案】D 2．如圖所示，均勻帶電的半圓環(huán)在圓心O點產(chǎn)生的電場強度為E、電勢為φ,把半圓環(huán)分成AB、BC、CD三部分。下列說法正確的是 A. BC部分在O點產(chǎn)生的電場強度的大小為E2 B. BC部分在O點產(chǎn)生的電場強度的大小為E3 C. BC部分在O點產(chǎn)生的電勢為φ2 D. BC部分在O點產(chǎn)生的電勢為φ3 【答案】AD 【解析】如圖所示，B、C兩點把半圓環(huán)等分為三段。 3．在豎直平面內(nèi)固定一半徑為R=0.3m的金屬細圓環(huán)，質(zhì)量為m=310-5kg的金屬小球(視為質(zhì)點)通過長為L=0.5m的絕緣細線懸掛在圓環(huán)的最高點．小球帶電荷量為q=2.510-6C時，發(fā)現(xiàn)小球在垂直圓環(huán)平面的對稱軸上某點A處于平衡狀態(tài)，如圖所示．已知靜電力常量k=9.0109N?m2/C2. 求： （1）細線的拉力F的大?。? （2）小球所在處的電場強度E的大??？ （3）金屬細圓環(huán)不能等效成點電荷來處理，試應用微元法推導圓環(huán)帶電量Q表達式？（用字母R、L、k、E表示） 【答案】(1) 510-4N (2) 160N/C (3) Q=5EL24k或Q=EL3kL2-R2 【解析】由幾何關系：cosθ=RL=35，sinθ=L2-R2L=45 ,tanθ=43 ① （1）對小球受力分析可知：F=mgcosθ ② Q=5EL24k或Q=EL3kL2-R2 ⑦ 點睛：因E=kQr2只能適用于真空中的點電荷，故本題采用了微元法求得圓環(huán)在小球位置的場強，應注意體會該方法的使用．庫侖力的考查一般都是結(jié)合共點力的平衡進行的，應注意正確進行受力分析． 方法6　利用靜電平衡求電場強度 處于靜電場中的導體在達到靜電平衡時，導體內(nèi)部的電場強度為零。其本質(zhì)是感應電荷的電場強度與外加電場的電場強度疊加后為零，即有E感＋E外＝0。 【典例6】金屬球殼A放在點電荷Q周圍，將發(fā)生靜電感應現(xiàn)象，求感應電荷在球心處的場強大小。 【答案】