第5課時(shí)　雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.雙曲線9y2-16x2=144的漸近線方程為(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=43x B.x=43y C.y=43x D.x=43y 　　【解析】令9y2-16x2=0,可得漸近線方程為y=43x. 　　【答案】C 2.若雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,則r等于(　　). A.3　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.6 【解析】由題可知,雙曲線的漸近線方程為y=22x,圓的圓心為(3,0). 由題意得圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=|32+0|2+4=326=3. 【答案】A 3.對(duì)于方程x24-y2=1和x24-y2=λ(λ>0且λ≠1)所分別表示的雙曲線有如下結(jié)論: ①有相同的頂點(diǎn);②有相同的焦點(diǎn); ③有相同的離心率;④有相同的漸近線. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是(　　). A.①④ B.②④ C.③④ D.②③ 【解析】對(duì)于方程x24-y2=1,a=2,b=1,c=5;對(duì)于方程x24-y2=λ,a=2λ,b=λ,c=5λ.顯然a,b,c分別是a,b,c的λ倍,因此有相同的離心率和漸近線. 【答案】C 4.已知m,n為兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù),則方程mx-y+n=0與nx2+my2=mn所表示的曲線可能是(　　). 　　 【解析】由題意,方程可化為y=mx+n和x2m+y2n=1,B,D選項(xiàng)中,兩橢圓中m>0,n>0,但直線中m<0,矛盾;A選項(xiàng)中,雙曲線中n>0,m<0,但直線中m>0,矛盾;C選項(xiàng)中,雙曲線中m>0,n<0,直線中m>0,n<0,符合.故選C. 【答案】C 5.已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)分別為雙曲線E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則雙曲線E的離心率是　　　　. 【解析】假設(shè)點(diǎn)A在第一象限,點(diǎn)B在第四象限,則Ac,b2a,Bc,-b2a,所以|AB|=2b2a,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得離心率e=2或e=-12(舍去),所以雙曲線E的離心率為2. 【答案】2 6.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圓(x+c)2+y2=4c2與雙曲線C位于x軸上方的兩個(gè)交點(diǎn),且F1A∥F2B,則雙曲線C的離心率為　　　　. 【解析】 由雙曲線定義得AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因?yàn)镕1A∥F2B,所以cos∠F2F1A=-cos∠F1F2B, 再利用余弦定理得 4c2+4c2-(2a+2c)222c2c =-4c2+(2c-2a)2-4c222c(2c-2a), 化簡(jiǎn)得2e2-3e-1=0,又e>1,所以e=3+174. 【答案】3+174 7.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),離心率為2,一個(gè)焦點(diǎn)F是(-2,0). (1)求雙曲線的方程; (2)設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)F,Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M,若|MQ|=2|QF|,求直線l的方程. 【解析】(1)由題意可設(shè)所求的雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0), ∵e=ca=2,c=2,∴a=1,∴b=3, ∴所求的雙曲線方程為x2-y23=1. (2)∵直線l與y軸相交于點(diǎn)M且過(guò)焦點(diǎn)F(-2,0), ∴直線l的斜率一定存在. 設(shè)直線l的方程為y=k(x+2), 令x=0,得點(diǎn)M(0,2k). ∵|MQ|=2|QF|且M,Q,F三點(diǎn)共線于l,∴MQ=2QF或MQ=-2QF. 當(dāng)MQ=2QF時(shí),xQ=-43,yQ=23k,∴Q-43,23k. 又∵點(diǎn)Q在雙曲線x2-y23=1上,∴169-4k227=1,∴k=212. 當(dāng)MQ=-2QF時(shí), 同理可將點(diǎn)Q(-4,-2k)代入雙曲線方程, 得16-4k23=1,∴k=352, 故所求直線l的方程為y=212(x+2)或y=352(x+2). 拓展提升(水平二) 8.已知離心率為e的雙曲線和離心率為22的橢圓有相同的焦點(diǎn)F1,F2,P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn),若∠F1PF2=π3,則e等于(　　). A.62 B.52 C.52 D.3 【解析】由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=22c?|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=8c2,由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2, 從而解得|PF1||PF2|=43c2?(|PF1|-|PF2|)2=8c2-16c23?4a2=8c23?c2a2=32?e=62.故選A. 【答案】A 9.中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為53的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,則它的漸近線方程為(　　). A.y=54x　　　　　　 B.y=45x C.y=43x D.y=34x 【解析】∵ca=53,∴c2a2=a2+b2a2=259,∴b2a2=169, ∴ba=43,ab=34. 又∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上, ∴雙曲線的漸近線方程為y=abx, 故所求雙曲線的漸近線方程為y=34x. 【答案】D 10.已知雙曲線x22-y2b2=1(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2,其一條漸近線方程為y=x,點(diǎn)P(3,y0)在雙曲線上,則PF1PF2=　　　　　. 【解析】由漸近線方程為y=x知,b2=1, 即b=2, 因?yàn)辄c(diǎn)P(3,y0)在雙曲線上,所以y0=1. 當(dāng)y0=1時(shí),P(3,1),F1(-2,0),F2(2,0), 所以PF1PF2=0; 當(dāng)y0=-1時(shí),P(3,-1),PF1PF2=0. 【答案】0 11.已知雙曲線C:x24-y2=1,P是C上的任意一點(diǎn). (1)求證:點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù). (2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),求|PA|的最小值. 【解析】(1)設(shè)P(x1,y1)是C上任意一點(diǎn), 由題可知,雙曲線的兩條漸近線方程分別是x-2y=0和x+2y=0. 所以點(diǎn)P(x1,y1)到兩條漸近線的距離分別是|x1-2y1|5和|x1+2y1|5, 所以|x1-2y1|5|x1+2y1|5=|x12-4y12|5=45. 故點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù). (2)由點(diǎn)A的坐標(biāo)(3,0),得|PA|2=(x1-3)2+y12=(x1-3)2+x124-1=54x1-1252+45. 又點(diǎn)P在雙曲線上,所以|x1|≥2, 故當(dāng)x1=125時(shí),|PA|2的最小值為45, 即|PA|的最小值為255.