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二項(xiàng)式定理 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. (1+1x2)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為( ) A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 （正確答案）C 解：(1+1x2)(1+x)6展開式中： 若(1+1x2)=(1+x-2)提供常數(shù)項(xiàng)1，則(1+x)6提供含有x2的項(xiàng)，可得展開式中x2的系數(shù)： 若(1+1x2)提供x-2項(xiàng)，則(1+x)6提供含有x4的項(xiàng)，可得展開式中x2的系數(shù)： 由(1+x)6通項(xiàng)公式可得C6rxr． 可知r=2時(shí)，可得展開式中x2的系數(shù)為C62=15． 可知r=4時(shí)，可得展開式中x2的系數(shù)為C64=15． (1+1x2)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為：15+15=30． 故選C． 直接利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可． 本題主要考查二項(xiàng)式定理的知識(shí)點(diǎn)，通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題． 2. (x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為( ) A. -80 B. -40 C. 40 D. 80 （正確答案）C 【分析】 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． (2x-y)5的展開式的通項(xiàng)公式：Tr+1=?5r(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)r?5rx5-ryr.令5-r=2，r=3，解得r=3.令5-r=3，r=2，解得r=2.即可得出． 【解答】 解：(2x-y)5的展開式的通項(xiàng)公式：Tr+1=?5r(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)r?5rx5-ryr． 令5-r=2，r=3，解得r=3． 令5-r=3，r=2，解得r=2． ∴(x+y)(2x-y)5的展開式中的x3y3系數(shù)=22(-1)3C53+231?52=40． 故選C． 3. 在x2-13xn的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為( )． A. -7 B. 7 C. -28 D. 28 （正確答案）B 【分析】 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題.利用二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，列出方程求出n；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項(xiàng)． 【解答】 解：依題意，n2+1=5， ∴n=8． 二項(xiàng)式為x2-13x8，其展開式的通項(xiàng)Tk+1=(-1)k(12)8-kC8kx8-4k3 令8-4k3=0解得k=6． 故常數(shù)項(xiàng)為C86(x2)2(-13x)6=7． 故選B． 4. (1-2x)(1-x)5的展開式中x的系數(shù)為( ) A. 10 B. -10 C. -20 D. -30 （正確答案）D 解：(1-2x)(1-x)5=(1-2x)(1-5x+?52x2-?53x3+…)， 展開式中x3的系數(shù)為-?53-2?52=-30． 故選：D． 由(1-2x)(1-x)5=(1-2x)(1-5x+?52x2-?53x3+…)，即可得出． 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 5. 若的(x2+a)(x-1x)10展開式中x6的系數(shù)為-30，則常數(shù)a=( ) A. -4 B. -3 C. 2 D. 3 （正確答案）C 解：(x-1x)10展開式的通項(xiàng)公式為： Tr+1=C10r?x10-r?(-1x)r=(-1)r?C10r?x10-2r； 令10-2r=4，解得r=3，所以x4項(xiàng)的系數(shù)為-C103=-120； 令10-2r=6，解得r=2，所以x6項(xiàng)的系數(shù)為C102=45； 所以(x2+a)(x-1x)10的展開式中x6的系數(shù)為：-120+45a=-30， 解得a=2． 故選：C． 根據(jù)題意求出(x-1x)10展開式中含x4項(xiàng)、x6項(xiàng)的系數(shù)，得出(x2+a)(x-1x)10的展開式中x6的系數(shù)，列出方程求出a的值． 本題考查了利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題問題，是基礎(chǔ)題． 6. (2+x)(1-2x)5展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為( ) A. 30 B. 70 C. 90 D. -150 （正確答案）B 解：∵(1-2x)5展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C5r?(-2x)r， ∴(2+x)(1-2x)5展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為2C52?(-2)2+C51?(-2)=70， 故選：B． 先求得(1-2x)5展開式的通項(xiàng)公式，可得(2+x)(1-2x)5展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)． 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題． 7. 已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為( ) A. 212 B. 211 C. 210 D. 29 （正確答案）D 解：已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等， 可得Cn3=Cn7，可得n=3+7=10． (1+x)10的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為：12210=29． 故選：D． 直接利用二項(xiàng)式定理求出n，然后利用二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果即可． 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的形狀的應(yīng)用，考查基本知識(shí)的靈活運(yùn)用以及計(jì)算能力． 8. 若(1+2x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，則a0+a1+a2+…+a7的值為( ) A. -2 B. -3 C. 253 D. 126 （正確答案）C 解：∵(1+2x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8， ∴a8=2?C77?(-2)7=-256． 令x=1得：(1+2)(1-2)7=a0+a1+a2+…+a7+a8=-3， ∴a1+a2+…+a7=-3-a8=-3+256=253． 故選：C 利用二項(xiàng)式定理可知，對已知關(guān)系式中的x賦值1即可求得a1+a2+…+a8的值． 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求得a8的值是關(guān)鍵，考查賦值法的應(yīng)用，屬于中檔題． 9. (x2+1)(1x-2)5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是( ) A. 5 B. -10 C. -32 D. -42 （正確答案）D 解：由于(1x-2)5的通項(xiàng)為Tr+1=C5r(1x)5-r(-2)r=C5r(-2)rxr-52， 故(x2+1)(1x-2)5的展開式的常數(shù)項(xiàng)是x2C51(-2)1x-2+1C55(-2)5x0=-42， 故選：D． 由于(1x-2)5的通項(xiàng)為C5r?(1x)5-r?(-2)r，可得(x2+1)(1x-2)5的展開式的常數(shù)項(xiàng)． 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題． 10. (x-2x)5的展開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)是( ) A. -10 B. -5 C. 5 D. 10 （正確答案）A 解：(x-2x)5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5rx5+r2(-2)r， 令5+r2=3得r=1， 故展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)是C51(-2)=-10， 故選：A． 利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為3求出展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù) 本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，它是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具． 11. 在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n)，則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( ) A. 45 B. 60 C. 120 D. 210 （正確答案）C 解：(1+x)6(1+y)4的展開式中，含x3y0的系數(shù)是：C63?C40=20.f(3,0)=20； 含x2y1的系數(shù)是C62?C41=60，f(2,1)=60； 含x1y2的系數(shù)是C61?C42=36，f(1,2)=36； 含x0y3的系數(shù)是C60?C43=4，f(0,3)=4； ∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120． 故選：C． 由題意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，項(xiàng)的系數(shù)，求和即可． 本題考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力． 12. 若(x-3x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和為1024，則展開式中x的系數(shù)為( ) A. 15 B. 10 C. -15 D. -10 （正確答案）C 解：(x-3x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和與(x+3x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和相等． 對(x+3x)n，令x=1，則其展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和=4n． ∴4n=1024，解得n=5． ∴(x-3x)5的通項(xiàng)公式Tr+1=?5r(x)5-r(-3x)r=(-3)r?5rx52-3r2， 令52-3r2=1，解得r=1． ∴展開式中x的系數(shù)=-3?51=-15． 故選：C． (x-3x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對值之和與(x+3x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和相等.對(x+3x)n，令x=1，則其展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和=4n.解得n，再利用通項(xiàng)公式即可得出． 本題考查了二項(xiàng)式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. (2x+x)5的展開式中，x3的系數(shù)是______ .(用數(shù)字填寫答案) （正確答案）10 解：(2x+x)5的展開式中，通項(xiàng)公式為：Tr+1=?5r(2x)5-r(x)r=25-rC5r?x5-r2， 令5-r2=3，解得r=4 ∴x3的系數(shù)2C54=10． 故答案為：10． 利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為3，求出r，即可求出展開式中x3的系數(shù)． 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 14. 若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0+a2+a4= ______ ． （正確答案）121 解：令x=1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5=35； 再令x=-1，則a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1， ∴a0+a2+a4=35-12=121， 故答案為：121． 在所給的式子中，分別令x=1、x=-1，可得則a0+a2+a4的值． 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題． 15. 若(x2-13x)a的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是______． （正確答案）7 【分析】 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，要注意系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.根據(jù)題意，x2-13xa的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則a=8，可得x2-13x8的二項(xiàng)展開式，令24-4r3=0，解得r=6，將其代入二項(xiàng)展開式，可得答案． 【解答】 解：根據(jù)題意，x2-13xa的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大， 則a=8， 則x2-13x8的二項(xiàng)展開式為： Tr+1=C8rx28-r-13xr=-1r128-rC88-rx24-4r3， 令24-4r3=0，解得r=6． 則其常數(shù)項(xiàng)為7． 故答案為7． 16. (2x2+x-1)5的展開式中，x3的系數(shù)為______ ． （正確答案）-30 解：∵(2x2+x-1)5=[(2x2+x)-1]5展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1=C5r?(2x2+x)5-r?(-1)r， 當(dāng)r=0或1時(shí)，二項(xiàng)式(2x2+x)5-r展開式中無x3項(xiàng)； 當(dāng)r=2時(shí)，二項(xiàng)式(2x2+x)5-r展開式中x3的系數(shù)為1； 當(dāng)r=3時(shí)，二項(xiàng)式(2x2+x)5-r展開式中x3的系數(shù)為4； 當(dāng)r=4或5時(shí)，二項(xiàng)式(2x2+x)5-r，展開式中無x3項(xiàng)； ∴所求展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為1C52+4(-C53)=-30． 故答案為：-30． 先求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)公式，討論r的值，即可求得x3項(xiàng)的系數(shù)． 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．