第4節(jié)隨機(jī)事件的概率 知識(shí)鏈條完善 考點(diǎn)專項(xiàng)突破 易混易錯(cuò)辨析 知識(shí)鏈條完善把散落的知識(shí)連起來(lái) 教材導(dǎo)讀 1 事件A發(fā)生的頻率與概率之間有何關(guān)系 提示 事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的 事件A發(fā)生的概率是客觀存在的常數(shù) 在大量的隨機(jī)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率在事件A發(fā)生的概率附近波動(dòng) 頻率是概率的近似值 概率是頻率的穩(wěn)定值 2 互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系如何 提示 兩事件互斥不一定對(duì)立 但兩事件對(duì)立一定互斥 知識(shí)梳理 1 事件的相關(guān)概念 1 必然事件 在一定條件下 發(fā)生的事件 2 不可能事件 在一定條件下 發(fā)生的事件 3 隨機(jī)事件 在一定條件下 可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件 一定會(huì) 一定不會(huì) 頻數(shù) 2 概率對(duì)于給定的隨機(jī)事件A 如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加 事件A發(fā)生的頻率fn A 穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上 把這個(gè)常數(shù)記作P A 稱為事件A的概率 簡(jiǎn)稱為A的概率 B A 不可能 不可能 4 概率的幾個(gè)基本性質(zhì) 1 概率的取值范圍 2 必然事件的概率P E 1 3 不可能事件的概率P F 0 4 互斥事件概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥 則P A B 若事件B與事件A互為對(duì)立事件 則P A 1 P B 重要結(jié)論 1 在無(wú)法具體求得某個(gè)事件的概率值時(shí) 可以用該事件發(fā)生的頻率值代替概率值 2 計(jì)算事件的概率時(shí) 把該事件表達(dá)為若干個(gè)互斥事件之和 利用互斥事件的概率加法公式計(jì)算 如果事件較為復(fù)雜 則可以使用互為對(duì)立事件的兩個(gè)事件的概率之和為1求解 0 P A 1 P A P B 夯基自測(cè) A A 3 一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次 事件 至少有一次中靶 的對(duì)立事件是 解析 至少有一次的對(duì)立面是一次也沒有 答案 兩次均沒有中靶 4 設(shè)A B為兩個(gè)事件 若A B互斥 則P A P B 1 若A B對(duì)立 則P A P B 1 解析 A B互斥時(shí) P A P B 1 等號(hào)為A B對(duì)立時(shí)成立 答案 5 若P A B P A P B 則事件A B是事件 若P A B P A P B 1 則事件A B是事件 解析 根據(jù)事件及其概率之間的關(guān)系 結(jié)合集合運(yùn)算與事件的關(guān)系可得 答案 互斥對(duì)立 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識(shí) 考點(diǎn)一 隨機(jī)事件的概念 例1 下列事件不是隨機(jī)事件的是 A 明天下雨 B 購(gòu)買一瓶飲料里面有獎(jiǎng) C 某次列車晚點(diǎn) D 魚兒離不開水解析 其中A B C中的事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生 是隨機(jī)事件 選項(xiàng)D中描述的是一個(gè)確定性規(guī)律 不是隨機(jī)事件 故選D 反思?xì)w納在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是隨機(jī)事件 這是判斷隨機(jī)事件的標(biāo)準(zhǔn) 即時(shí)訓(xùn)練 下列事件 某地1月1日刮西北風(fēng) 當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí) x 0 某人上午9時(shí)到達(dá)車站 立即乘車前往目的地 一個(gè)音樂茶話會(huì)的上座率超過90 其中是隨機(jī)事件的序號(hào)是 解析 事件 均可能發(fā)生也可能不發(fā)生 故是隨機(jī)事件 事件 一定發(fā)生 是必然事件 答案 考點(diǎn)二 概率的統(tǒng)計(jì)定義 例2 下表是使用計(jì)算機(jī)模擬拋擲硬幣時(shí)正面出現(xiàn)的次數(shù)的頻率的統(tǒng)計(jì)表 據(jù)此表格 估計(jì)拋擲一枚硬幣時(shí)正面向上的概率是 解析 可以看出隨著試驗(yàn)次數(shù)的逐步增加 正面向上的次數(shù)的頻率越來(lái)越穩(wěn)定在0 5附近 據(jù)此估計(jì)拋擲一枚硬幣時(shí)正面向上的概率是0 5 答案 0 5 反思?xì)w納概率是頻率的穩(wěn)定值 可以根據(jù)大量的試驗(yàn)中的頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率 概率是一個(gè)確定的值 這個(gè)值是客觀存在的 但在我們沒有辦法求出這個(gè)值時(shí) 就可以使用大量重復(fù)試驗(yàn)中的頻率值估計(jì)概率值 即時(shí)訓(xùn)練 的前n位小數(shù)中數(shù)字6出現(xiàn)的頻率如下表 則數(shù)字6出現(xiàn)的概率的估計(jì)值是 解析 根據(jù)表格可以看出數(shù)字6在 的各位小數(shù)數(shù)字中出現(xiàn)的頻率接近常數(shù)0 1 并在其附近擺動(dòng) 故數(shù)字6出現(xiàn)的概率的估計(jì)值是0 1 答案 0 1 互斥事件和對(duì)立事件的概率 考點(diǎn)三 例3 將兩顆骰子投擲一次 求 1 向上的點(diǎn)數(shù)之和是8的概率 2 向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于8的概率 反思?xì)w納在概率計(jì)算題中將隨機(jī)事件表示為一些互斥事件的和是一種重要的解題技能 這種表示不但可以使得解題過程表達(dá)清晰 還能有效地優(yōu)化解題思路 避免錯(cuò)誤 備選例題 2 假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同 并將頻率視為概率 求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490萬(wàn)千瓦時(shí)或超過530萬(wàn)千瓦時(shí)的概率 例2 某商場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售中 購(gòu)滿100元商品得1張獎(jiǎng)券 多購(gòu)多得 1000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位 設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè) 一等獎(jiǎng)10個(gè) 二等獎(jiǎng)50個(gè) 設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng) 一等獎(jiǎng) 二等獎(jiǎng)的事件分別為A B C 求 1 P A P B P C 2 1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率 3 1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率 易混易錯(cuò)辨析用心練就一雙慧眼 事件的互斥與對(duì)立關(guān)系不清致誤 典例 判斷下列給出的每對(duì)事件 是否為互斥事件 是否為對(duì)立事件 并說(shuō)明理由 從撲克牌40張 紅桃 黑桃 方塊 梅花點(diǎn)數(shù)從1 10各10張 中 任取一張 1 抽出紅桃 與 抽出黑桃 2 抽出紅色牌 與 抽出黑色牌 3 抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù) 與 抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9 解 1 是互斥事件 不是對(duì)立事件 原因是 從40張撲克牌中任意抽取一張 抽出紅桃 和 抽出黑桃 是不可能同時(shí)發(fā)生的 所以是互斥事件 但是 不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生 這是由于還可能抽出 方塊 或者 梅花 因此 兩者不是對(duì)立事件 2 既是互斥事件 又是對(duì)立事件 原因是 從40張撲克牌中 任意抽取一張 抽出紅色牌 與 抽出黑色牌 兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生 但其中必有一個(gè)發(fā)生 所以它們既是互斥事件 又是對(duì)立事件 3 不是互斥事件 當(dāng)然不可能是對(duì)立事件 原因是 從40張撲克牌中任意抽取一張 抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù) 與 抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9 這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生 如抽得點(diǎn)數(shù)為10 因此 兩者不是互斥事件 當(dāng)然不可能是對(duì)立事件 易錯(cuò)提醒 1 不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件 必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件叫做對(duì)立事件 要主抓定義 2 兩個(gè)事件互斥不一定對(duì)立 對(duì)立一定互斥 即不互斥就一定不對(duì)立 3 如果用集合來(lái)表示兩個(gè)事件 互斥事件的兩個(gè)集合交集是空集 如果其并集是全集則這兩個(gè)互斥事件就是對(duì)立事件 在解答與兩個(gè)事件有關(guān)的問題時(shí)一定要仔細(xì)斟酌 全面考慮 防止出現(xiàn)錯(cuò)誤