《高三數(shù)學一輪復習 第十二篇 復數(shù)、算法、推理與證明 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法課件(理).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數(shù)學一輪復習 第十二篇 復數(shù)、算法、推理與證明 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法課件(理).ppt（38頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第4節(jié)直接證明與間接證明 數(shù)學歸納法 知識鏈條完善 考點專項突破 解題規(guī)范夯實 知識鏈條完善把散落的知識連起來 教材導讀 1 綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系 提示 1 分析法的特點是從 未知 看 需知 逐步靠攏 已知 其逐步推理 實際上是尋求它成立的充分條件 2 綜合法的特點是從 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 實際上是尋找它成立的必要條件 3 分析法易于探索解題思路 綜合法易于過程表述 在應用中視具體情況擇優(yōu)選之 2 用反證法證明問題的一般步驟有哪些 提示 1 反設 否定結論 假定所要證的結論不成立 而結論的反面成立 2 歸謬 推導矛盾 將 反設 作為條件 由此出發(fā) 經過正確的推理導出矛盾 與已知條件 已知的公理 定義 定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾 3 定論 肯定結論 矛盾產生的原因在于 反設 的謬誤 既然結論的反面不成立 從而肯定了結論成立 3 數(shù)學歸納法兩個步驟有什么關系 提示 數(shù)學歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想 第一步是遞推的基礎 第二步是遞推的依據(jù) 兩個步驟缺一不可 否則就會導致錯誤 第一步中 驗算n n0中的n0不一定為1 根據(jù)題目要求 有時可為2或3等 知識梳理 1 直接證明 1 綜合法定義 利用已知條件和某些數(shù)學定義 公理 定理等 經過一系列的推理論證 最后推導出的證明方法 2 分析法定義 從要證明的結論出發(fā) 逐步尋求使它成立的充分條件 直至最后 把要證明的結論歸結為 已知條件 定理 定義 公理等 為止的證明方法 2 間接證明 反證法一般地 假設原命題 即在原命題的條件下 結論不成立 經過正確的推理 最后得出矛盾 因此說明 從而證明了 這樣的證明方法叫做反證法 所要證明的結論成立 判定一個明顯成立的條件 不成立 假設錯誤 原命題成立 3 數(shù)學歸納法一般地 證明一個與正整數(shù)n有關的命題 可按下列步驟進行 1 歸納奠基 證明當n取第一個值n0 n0 N 時命題成立 2 歸納遞推 假設時命題成立 證明當時命題也成立 只要完成這兩個步驟 就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立 上述證明方法叫做數(shù)學歸納法 n k k n0 k N n k 1 夯基自測 1 命題 對于任意角 cos4 sin4 cos2 的證明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 過程應用了 A 分析法 B 綜合法 C 綜合法 分析法結合使用 D 間接證法 解析 在證明過程中使用了大量的公式和結論 有平方差公式 同角的關系式 所以在證明過程中 使用了綜合法的證明方法 B 解析 應選擇分析法 B 3 用反證法證明命題 若a b N ab可被5整除 那么a b中至少有一個能被5整除 時 假設的內容應該是 A a b都能被5整除 B a b都不能被5整除 C a b不都能被5整除 D a能被5整除 解析 至少有一個 的反面應是 一個都沒有 故應選B B 答案 2k 答案 b 考點專項突破在講練中理解知識 考點一 綜合法 反思歸納 1 綜合法是 由因導果 的證明方法 它是一種從已知到未知 從題設到結論 的邏輯推理方法 即從題設中的已知條件或已證的真實判斷 命題 出發(fā) 經過一系列的中間推理 最后導出所要求證結論的真實性 2 綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理 考點二 分析法 證明 因為m 0 所以1 m 0 所以要證原不等式成立 只需證明 a mb 2 1 m a2 mb2 即證m a2 2ab b2 0 即證 a b 2 0 而 a b 2 0顯然成立 故原不等式得證 反思歸納 1 分析法是 執(zhí)果索因 的證明方法 它是從結論入手 由此逐步推出保證此結論成立的充分條件 而當這些判斷恰恰都是已證的命題 定義 公理 定理 法則 公式等 或要證命題的已知條件時命題得證 2 用分析法證明數(shù)學問題時 要注意書寫格式的規(guī)范性 常常用 要證 欲證 即要證 就要證 等分析到一個明顯成立的結論 再說明所要證明的數(shù)學問題成立 反證法 考點三 反思歸納 1 當一個命題的結論是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出現(xiàn)時 宜用反證法來證 2 利用反證法進行證明時 一定要對所要證明的結論進行否定性的假設 并以此為條件進行歸謬 得到矛盾 則原命題成立 數(shù)學歸納法 考點四 2 猜想f n 與g n 的大小關系 并給出證明 反思歸納 1 利用數(shù)學歸納法可以證明與n有關的命題 也可以解決與正整數(shù)n有關的探索性問題 其基本模式是 歸納 猜想 證明 證明的關鍵是假設當n k k N k n0 時命題成立 由歸納假設推證n k 1時命題成立 2 證明n k 1 k N k n0 時命題成立的常用技巧 分析n k 1時命題與n k時命題形式的差別 確定證明目標 證明恒等式時常用乘法公式 因式分解 添拆項配方等 證明不等式常用分析法 綜合法 放縮法等 備選例題 例1 2014高考北京卷 對于數(shù)對序列P a1 b1 a2 b2 an bn 記T1 P a1 b1 Tk P bk max Tk 1 P a1 a2 ak 2 k n 其中max Tk 1 P a1 a2 ak 表示Tk 1 P 和a1 a2 ak兩個數(shù)中最大的數(shù) 1 對于數(shù)對序列P 2 5 4 1 求T1 P T2 P 的值 解 1 T1 P 2 5 7 T2 P 1 max T1 P 2 4 1 max 7 6 8 2 記m為a b c d四個數(shù)中最小的數(shù) 對于由兩個數(shù)對 a b c d 組成的數(shù)對序列P a b c d 和P c d a b 試分別對m a和m d兩種情況比較T2 P 和T2 P 的大小 3 在由五個數(shù)對 11 8 5 2 16 11 11 11 4 6 組成的所有數(shù)對序列中 寫出一個數(shù)對序列P使T5 P 最小 并寫出T5 P 的值 只需寫出結論 解 2 T2 P max a b d a c d T2 P max c d b c a b 當m a時 T2 P max c d b c a b c d b 因為a b d c d b 且a c d c b d 所以T2 P T2 P 當m d時 T2 P max c d b c a b c a b 因為a b d c a b 且a c d c a b 所以T2 P T2 P 所以無論m a還是m d T2 P T2 P 都成立 3 數(shù)對 4 6 11 11 16 11 11 8 5 2 的T5 P 最小 T1 P 10 T2 P 26 T3 P 42 T4 P 50 T5 P 52 例3 是否存在常數(shù)a b c使等式1 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c對一切正整數(shù)n成立 證明你的結論 解題規(guī)范夯實把典型問題的解決程序化 正確選用合理的數(shù)學證明方法 典例 函數(shù)f x x2 2x 3 定義數(shù)列 xn 如下 x1 2 xn 1是過兩點P 4 5 Qn xn f xn 的直線PQn與x軸交點的橫坐標 1 證明 2 xn xn 1 3 2 求數(shù)列 xn 的通項公式 答題模板 第一步 使用數(shù)學歸納法證明第一問 先驗證n 1時結論成立 第二步 在歸納假設下 證明當n k 1時結論也成立 根據(jù)數(shù)學歸納法原理作出命題對一切正整數(shù)都成立的結論 第三步 通過構造輔助數(shù)列的方法解決第二問 第四步 把問題轉化為等比數(shù)列的通項 并求出其通項公式 第五步 把輔助數(shù)列的通項公式轉化為所求數(shù)列的通項公式