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浙江專用物理 第3講機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用 一 重力做功和重力勢能1 重力做功的特點(diǎn)重力做功與 運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān) 只與始末位置的 高度差有關(guān) 2 重力做功與重力勢能變化的關(guān)系 1 定性關(guān)系 重力對(duì)物體做正功 重力勢能就 減少 重力對(duì)物體做負(fù)功 重力勢能就 增加 2 定量關(guān)系 重力對(duì)物體所做的功 等于物體重力勢能的 減少量 即WG Fp Ep1 Ep2 二 彈性勢能1 概念 物體由于發(fā)生 彈性形變而具有的能叫彈性勢能 2 大小 彈簧的彈性勢能大小與 勁度系數(shù)和 彈性形變量有關(guān) 彈簧勁度系數(shù)一定時(shí) 在彈性范圍內(nèi) 形變量越大 彈性勢能越大 Ep kx2 3 彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系 彈力做多少正功 彈性勢能就 減少多少 彈力做多少負(fù)功 彈性勢能就 增加多少 3 辨析 1 重力勢能的大小與零勢能參考面的選取有關(guān) 2 重力勢能的變化量與零勢能參考面的選取無關(guān) 3 被舉高的物體重力勢能一定不為零 三 機(jī)械能守恒定律1 機(jī)械能 動(dòng)能和 勢能統(tǒng)稱為機(jī)械能 即E Ek Ep 其中勢能包括 重力勢能和 彈性勢能 2 機(jī)械能守恒定律 1 內(nèi)容 在只有 重力或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi) 動(dòng)能與勢能可以相互轉(zhuǎn)化 而總的機(jī)械能保持不變 2 表達(dá)式 Ek1 Ep1 Ek2 Ep2或 Ek增 Ep減 或 EA增 EB減 3 守恒條件 只有重力做功或系統(tǒng)內(nèi)彈力做功 3 辨析 1 物體所受合外力為零 其機(jī)械能一定守恒 2 合外力做功為零 物體的機(jī)械能一定守恒 3 做勻速運(yùn)動(dòng)的物體其機(jī)械能一定守恒 1 下列敘述中正確的是 A 做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的機(jī)械能一定守恒B 做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的機(jī)械能可能守恒C 外力對(duì)物體做功為零 物體的機(jī)械能一定守恒D 系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈力做功時(shí) 系統(tǒng)的機(jī)械能一定守恒 1 答案BD做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體 若只有重力對(duì)它做功 機(jī)械能守恒 若重力以外的其他外力對(duì)物體做功的代數(shù)和不為零 則物體的機(jī)械能不守恒 故A錯(cuò)誤 B正確 外力對(duì)物體做功為零時(shí) 有兩種情況 若重力不做功 則其他力對(duì)物體做功的代數(shù)和為零 此時(shí)物體的機(jī)械能守恒 若重力做功 其他外力做功的代數(shù)和不為零 此時(shí)機(jī)械能不守恒 故C錯(cuò)誤 由機(jī)械能守恒的條件知D正確 2 一個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)過程的某個(gè)階段 克服重力做功為50J 在此過程中 下列的一些判斷中正確的是 A 物體的重力勢能減少了50JB 物體的重力勢能增加了50JC 物體的末位置比初位置高些D 重力做了50J的負(fù)功 2 答案BCD物體克服重力做功 是重力對(duì)物體做負(fù)功的另一種表述方式 由重力做功跟重力勢能變化的關(guān)系可知物體的重力勢能增加了50J 所以選項(xiàng)B C D正確 3 質(zhì)量為m的小球 從離桌面H高處由靜止下落 桌面離地高度為h 如圖所示 若以桌面為參考平面 那么小球落地時(shí)的重力勢能及整個(gè)過程中小球重力勢能的變化分別為 A mgh 減少mg H h B mgh 增加mg H h C mgh 減少mg H h D mgh 增加mg H h 3 答案C因?yàn)橐宰烂鏋閰⒖计矫?所以小球落地時(shí)的重力勢能為 mgh A B錯(cuò)誤 小球下落過程中重力做正功WG mg H h 重力勢能減少mg H h 所以C正確 D錯(cuò)誤 4 將一物體以速度v從地面豎直上拋 取地面為重力勢能參考平面 當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到某高度時(shí) 它的動(dòng)能恰為重力勢能的一半 不計(jì)空氣阻力 重力加速度為g 則這個(gè)高度為 A B C D 4 答案C由于物體運(yùn)動(dòng)過程除重力以外沒有其他作用力 所以物體的機(jī)械能守恒 令動(dòng)能等于重力勢能的一半時(shí)物體距離地面高為h 由機(jī)械能守恒定律可得mv2 mgh Ek 依題意有Ek Ep mgh 可解得h 5 如圖所示 一根輕彈簧下端固定 豎立在水平面上 其正上方A位置有一個(gè)小球 小球從靜止開始下落 在B位置接觸彈簧的上端 在C位置小球所受彈力大小等于重力 在D位置小球速度減小到零 小球下降階段下列說法中正確的是 C 從A C小球重力勢能的減少量大于小球動(dòng)能的增加量D 從A D小球重力勢能的減少量等于彈簧彈性勢能的增加量 A 在B位置小球動(dòng)能最大B 在C位置小球動(dòng)能最大 5 答案BCD小球動(dòng)能的增加用合外力做功來度量 A C小球受的合外力一直向下 對(duì)小球做正功 使動(dòng)能增加 C D小球受的合外力一直向上 對(duì)小球做負(fù)功 使動(dòng)能減少 所以B正確 從A C小球重力勢能的減少量等于小球動(dòng)能的增加量與彈簧彈性勢能的增加量之和 所以C正確 A D兩位置動(dòng)能均為零 重力做的正功等于彈力做的負(fù)功 所以D正確 重難一機(jī)械能是否守恒的判斷只要滿足下列條件之一 機(jī)械能一定守恒 1 物體只受重力 只發(fā)生動(dòng)能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化 如自由落體運(yùn)動(dòng) 拋體運(yùn)動(dòng)等 2 只有系統(tǒng)內(nèi)彈力做功 只發(fā)生動(dòng)能和彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化 如在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)的物體碰到一個(gè)彈簧 和彈簧相互作用的過程中 對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說 機(jī)械能守恒 3 物體既受重力 又受彈力 只有重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功 只發(fā)生動(dòng)能 彈性勢能 重力勢能的相互轉(zhuǎn)化 如自由下落的物體落到豎直的彈簧上 和彈簧相互作用的過程中 對(duì)物體和彈簧組成的系統(tǒng)來說 機(jī)械能守恒 4 除受重力 或系統(tǒng)內(nèi)彈力 外 還受其他力 但其他力不做功 或其他力做功的代數(shù)和為零 如物體在沿斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下運(yùn)動(dòng) 其拉力的大小與摩擦力的大小相等 在此運(yùn)動(dòng)過程中 其機(jī)械能守恒 典例1如圖所示 一輕彈簧固定于O點(diǎn) 另一端系一重物 將重物從與懸點(diǎn)O在同一水平面且彈簧保持原長的A點(diǎn)無初速地釋放 讓它自由擺下 不計(jì)空氣阻力 在重物由A點(diǎn)擺向最低點(diǎn)B的過程中 重物的重力勢能減小 重物的重力勢能增大 重物的機(jī)械能不變 重物的機(jī)械能減小 說法正確的是 A B C D 解析重物由A點(diǎn)下擺到B點(diǎn)的過程中 彈簧被拉長 彈簧對(duì)重物做了負(fù)功 根據(jù)功能關(guān)系知 重物的機(jī)械能減小 正確 錯(cuò)誤 同時(shí) 重物高度下降 重力勢能減小 正確 錯(cuò)誤 故選C 答案C 1 1下列物體中 機(jī)械能守恒的是 A 被平拋的物體 不計(jì)空氣阻力 B 被勻速吊起的集裝箱C 光滑曲面上自由運(yùn)動(dòng)的物體D 物體以4g 5的加速度豎直向上做減速運(yùn)動(dòng) 答案AC解析物體做平拋運(yùn)動(dòng) 不計(jì)空氣阻力 或沿光滑曲面自由運(yùn)動(dòng)時(shí) 都只有重力做功 機(jī)械能守恒 所以選項(xiàng)A C正確 物體豎直向上做勻速運(yùn)動(dòng)和以4g 5的加速度豎直向上做減速運(yùn)動(dòng)時(shí) 除重力以外都有其他外力做功 機(jī)械能不守恒 所以選項(xiàng)B D錯(cuò)誤 重難二應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的解題思路1 明確研究對(duì)象 即哪些物體參與了動(dòng)能和勢能的相互轉(zhuǎn)化 選擇合適的初態(tài)和末態(tài) 2 分析物體的受力并分析各個(gè)力做功的情況 看是否符合機(jī)械能守恒的條件 只有符合條件才能應(yīng)用機(jī)械能守恒定律 3 正確選擇守恒定律的表達(dá)式列方程 可分過程列式 也可對(duì)全過程列式 4 求解結(jié)果并說明物理意義 典例2一探險(xiǎn)隊(duì)員在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝 山溝的一側(cè)豎直 另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀 此隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè) 以速度v0沿水平方向跳向另一側(cè)坡面 如圖所示 以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxy 已知 山溝豎直一側(cè)的高度為2h 坡面的拋物線方程為y x2 探險(xiǎn)隊(duì)員的質(zhì)量為m 人視為質(zhì)點(diǎn) 忽略空氣阻力 重力加速度為g 1 求此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能 2 此人水平跳出的速度為多大時(shí) 他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最小 動(dòng)能的最小值為多少 解析 1 設(shè)該隊(duì)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 在坡面上落點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x 縱坐標(biāo)為y 由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和已知條件得x v0t 2h y gt2 根據(jù)題意有y 由機(jī)械能守恒知落到坡面時(shí)的動(dòng)能為mv2 m mg 2h y 聯(lián)立 式得mv2 m 2 式可以改寫為v2 3gh v2最小的條件為 式中的平方項(xiàng)等于0 由此得v0 此時(shí)v2 3gh 則最小動(dòng)能為 mgh 答案 1 m 2 mgh 2 1在豎直平面內(nèi) 一根光滑金屬桿彎成如圖所示形狀 相應(yīng)的曲線方程為y 2 5cos 單位 m 式中k 1m 1 將一光滑小環(huán)套在該金屬桿上 并從x0 0處以v0 5m s的初速度沿桿向下運(yùn)動(dòng) 取重力加速度g 10m s2 求 1 當(dāng)小環(huán)運(yùn)動(dòng)到x1 m時(shí)的速度大小 2 該小環(huán)在x軸方向能運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)處的橫坐標(biāo)x2 答案 1 5m s 2 m解析 1 當(dāng)x1 m時(shí) y1 2 5m當(dāng)x0 0時(shí) y0 1 25m從x0 0到x1 m過程對(duì)小環(huán)用機(jī)械能守恒定律有 m mgy0 m mgy1解得v1 5m s 2 小環(huán)運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)處 其速度為零 從x0 0到x2處用機(jī)械能守恒定律有 m mgy0 mgy2 得y2 0代入y2 2 5cos kx2 得x2 m 多個(gè)物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題處理方法對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用機(jī)械能守恒定律要注意 1 合理選取系統(tǒng) 判斷是哪個(gè)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 2 清楚系統(tǒng)內(nèi)各部分機(jī)械能 動(dòng)能 勢能 的變化情況 典例如圖 一根不可伸長的柔軟輕繩跨過光滑定滑輪 繩兩端各系一小球a和b a球質(zhì)量為m 靜置于地面 b球質(zhì)量為3m 用手托住 高度為h 此時(shí)輕繩剛好拉緊 從靜止開始釋放b后 a可能達(dá)到的最大高度為 A hB 1 5hC 2hD 2 5h 解析從b開始釋放到b落地的過程中 a b系統(tǒng)機(jī)械能守恒 所以 3m m gh 3m m v2 v b落地后 a做豎直上拋運(yùn)動(dòng) 上升高度h 所以a可能達(dá)到的最大高度為h h 1 5h 故選B 答案B 針對(duì)訓(xùn)練1如圖所示 一固定的楔形木塊 其斜面的傾角為 30 另一邊與水平地面垂直 頂端有一個(gè)定滑輪 跨過定滑輪的細(xì)線兩端分別與物塊A和B連接 A的質(zhì)量為4m B的質(zhì)量為m 開始時(shí)將B按在地面上不動(dòng) 然后放開手 讓A沿斜面下滑而B上升 物塊A與斜面間無摩擦 當(dāng)A沿斜面下滑距離s時(shí) 細(xì)線突然斷了 求物塊B上升的最大高度H 設(shè)B不會(huì)與定滑輪相碰 解析設(shè)細(xì)線斷前一瞬間A和B速度的大小為v A沿斜面下滑距離s的過程中 A的高度降低了ssin B的高度升高了s 物塊A和B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒 物塊A機(jī)械能的減少量等于物塊B機(jī)械能的增加量 即4mgssin 4mv2 mgs mv2細(xì)線斷后 物塊B做豎直上拋運(yùn)動(dòng) 物塊B機(jī)械能守恒 設(shè)此后物塊B繼續(xù)上升的最大高度為h 有mgh mv2聯(lián)立解得h 答案s 故物塊B上升的最大高度為H s h s s 針對(duì)訓(xùn)練2如圖所示 長度相同的三根輕桿構(gòu)成一個(gè)正三角形支架 在A處固定質(zhì)量為2m的小球 B處固定質(zhì)量為m的小球 支架懸掛在O點(diǎn) 可繞與支架所在平面相垂直的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 開始時(shí)OB與地面相垂直 放手后開始運(yùn)動(dòng) 在不計(jì)任何阻力的情況下 下列說法正確的是 A A球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度為零B A球機(jī)械能的減少量等于B球機(jī)械能的增加量C B球向左擺動(dòng)所能到達(dá)的最高位置應(yīng)高于A球開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度D 當(dāng)支架從左向右回?cái)[時(shí) A球一定能回到起始高度 答案BCD解析因A球質(zhì)量大 處的位置高 圖中三角形支架處于不穩(wěn)定狀態(tài) 釋放后支架就會(huì)向左擺動(dòng) 擺動(dòng)過程中只有小球受的重力做功 故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 選項(xiàng)B正確 選項(xiàng)D也正確 A球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí) 若設(shè)支架邊長是L A球下落的高度是L B球上升的高度也是L 有2mg L mg L mgL的重力勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能 因而此時(shí)A球速度不為零 選項(xiàng)A錯(cuò) 當(dāng)A球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí) 有向左運(yùn)動(dòng)的速度 還要繼續(xù)左擺 B球仍要繼續(xù)上升 因此B球能達(dá)到的最高位置比A球的最高位置要高 選項(xiàng)C正確