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2019-2020年高中物理 第4章 勻速圓周運動 第1節(jié) 勻速圓周運動快慢的描述教學(xué)案 魯科版必修2 1．勻速圓周運動的特點：任意相等時間內(nèi)通過的弧長(或角度)相等；線速度方向沿圓周的切線方向。 2．描述勻速圓周運動的物理量有線速度(v)、角速度(ω)、周期(T)[或頻率(f)]、轉(zhuǎn)速(n)，其關(guān)系式是v＝，ω＝，v＝ωr，ω＝2πn。 3．利用關(guān)系式分析線速度、角速度或周期的變化時，要用控制變量的思想，在皮帶傳動或齒輪傳動的情況下，各輪邊緣線速度相等，同一輪子上各點角速度相等。 一、勻速圓周運動 1．定義 在任意相等時間內(nèi)通過的弧長都相等的圓周運動。 2．性質(zhì) 勻速圓周運動速度大小不變，但方向時刻改變，故勻速圓周運動是變速運動，也是最簡單的一種圓周運動。 二、描述圓周運動的物理量 物理量 線速度(v) 角速度(ω) 周期(T) 頻率(f) 轉(zhuǎn)速(n) 定義 做勻速圓周運動的物體通過的弧長s與所用時間t的比值 做勻速圓周運動的物體，半徑轉(zhuǎn)過的角度φ與所用時間t的比值 做勻速圓周運動的物體運動一周所用的時間 單位時間內(nèi)完成圓周運動的次數(shù) 單位時間內(nèi)的轉(zhuǎn)動次數(shù) 大小 v＝ ω＝ T＝＝ f＝ n＝f＝ 單位 m/s rad/s s Hz r/s 方向 矢量，沿圓周的切線方向 矢量(其方向中學(xué)階段不研究) 標(biāo)量 標(biāo)量 標(biāo)量 1．自主思考——判一判 (1)勻速圓周運動是速度不變的運動。() (2)勻速圓周運動的加速度等于零。() (3)線速度是位移與發(fā)生這段位移所用時間的比值。() (4)角速度是標(biāo)量，沒有方向。() (5)勻速圓周運動的周期相同，角速度大小及轉(zhuǎn)速都相同。(√) 2．合作探究——議一議 (1)勻速圓周運動中的“勻速”與以前所學(xué)的勻速直線運動中的“勻速”含義相同嗎？ 提示：不相同。勻速圓周運動中的“勻速”是指“勻速率”。 (2)“由v＝ωr可得v∝r，由ω＝可得ω∝?！边@樣理解對嗎？ 提示：不對，應(yīng)用控制變量方法討論。 (3)打籃球的同學(xué)可能玩過轉(zhuǎn)籃球，讓籃球在指尖旋轉(zhuǎn)，展示自己的球技。如圖411所示，若籃球正繞指尖所在的豎直軸旋轉(zhuǎn)，那么籃球上不同高度的各點的角速度相同嗎？線速度相同嗎？ 圖411 提示：籃球上各點的角速度是相同的。但由于不同高度的各點轉(zhuǎn)動時的圓心、半徑不同，由v＝ωr可知不同高度的各點的線速度不同。 描述圓周運動的各物理量的關(guān)系 1．描述圓周運動的各物理量間的關(guān)系 2．物理量之間關(guān)系的理解 (1)角速度、周期、轉(zhuǎn)速之間關(guān)系的理解：物體做勻速圓周運動時，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、轉(zhuǎn)速三個物理量，只要其中一個物理量確定了，其余兩個物理量也唯一確 定了。 (2)線速度與角速度關(guān)系的理解：由v＝ωr知，r一定時，v∝ω；v一定時，ω∝；ω一定時，v∝r。 [特別提醒] (1)角速度ω、線速度v、半徑r之間的關(guān)系是瞬時對應(yīng)關(guān)系。 (2)公式v＝ωr適用于所有的圓周運動；關(guān)系式T∝ 適用于具有周期性運動的情況。 [典例]　做勻速圓周運動的物體，在10 s內(nèi)沿半徑為20 m的圓周運動了100 m，試求該物體做勻速圓周運動時： (1)線速度的大??； (2)角速度的大??； (3)周期的大小。 [思路點撥]　明確線速度的定義及線速度與角速度、角速度與周期的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵。 [解析]　(1)由線速度的定義式得v＝＝ m/s＝10 m/s。 (2)由v＝ωr得ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。 (3)由ω＝得T＝＝ s＝4π s。 [答案]　(1)10 m/s　(2)0.5 rad/s　(3)4π s 物體在做勻速圓周運動時(設(shè)其軌道半徑為r)，我們可以用多個物理量如線速度v(速率)、角速度ω、周期T等來描述物體運動的快慢。這些物理量之間有如下關(guān)系：v＝ωr，ω＝＝2πf。 　　　　 1．關(guān)于做勻速圓周運動物體的線速度、角速度、周期之間的關(guān)系，下列說法中正確的是(　　) A．線速度大的角速度一定大 B．線速度大的周期一定小 C．角速度大的半徑一定小 D．角速度大的周期一定小 解析：選D　由v＝ωr得ω＝，故只有當(dāng)半徑r一定時，角速度ω才與線速度v成正比；只有當(dāng)線速度v一定時，角速度ω才與半徑r成反比，選項A、C錯誤；由v＝知，只有當(dāng)半徑r一定時，線速度v才與周期T成反比，選項B錯誤；由ω＝知，角速度ω與周期T成反比，即角速度大的周期一定小，選項D正確。 2．(多選)A、B兩個質(zhì)點，分別做勻速圓周運動，在相同的時間內(nèi)它們通過的路程之比sA∶sB＝2∶3，轉(zhuǎn)過的角度之比φA∶φB＝3∶2，則下列說法正確的是(　　) A．它們的半徑之比rA∶rB＝2∶3 B．它們的半徑之比rA∶rB＝4∶9 C．它們的周期之比TA∶TB＝2∶3 D．它們的頻率之比fA∶fB＝2∶3 解析：選BC　A、B兩個質(zhì)點，在相同的時間內(nèi)通過的路程之比sA∶sB＝2∶3，即通過的弧長之比為2∶3，所以vA∶vB＝2∶3；相同的時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度之比φA∶φB＝3∶2，由ω＝，得ωA∶ωB＝3∶2，又v＝rω，所以rA∶rB＝∶＝＝＝4∶9，故A錯誤，B正確；由T＝，得TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶3，故C正確；又T＝，所以fA∶fB＝TB∶TA＝3∶2，故D錯誤。 3．地球繞太陽公轉(zhuǎn)的運動可以近似地看做勻速圓周運動。地球距太陽約1.5108 km，地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角速度是多大？線速度是多大？ 解析：地球繞太陽公轉(zhuǎn)周期為 T＝1年＝1365243 600 s≈3107 s 故角速度ω＝＝ rad≈210－7 rad/s 線速度v＝ωr＝210－71.51011 m/s＝3104 m/s。 答案：210－7 rad/s　3104 m/s 常見三種轉(zhuǎn)動裝置 裝置 特點 同軸轉(zhuǎn)動 (1)角速度相同，即ωA＝ωB (2)周期相同，即TA＝TB (3)線速度與半徑成正比，即＝ 皮帶傳動 (1)線速度大小相等，即vA＝vB (2)周期與半徑成正比，即＝ (3)角速度與半徑成反比，即＝ 齒輪傳動 (1)線速度大小相等，即vA＝vB (2)周期與半徑成正比，即＝ (3)角速度與半徑成反比，即＝ [典例]　如圖412所示的皮帶傳動裝置中，右邊兩輪固定在一起同軸轉(zhuǎn)動，圖中A、B、C三輪的半徑關(guān)系為3rA＝2rC＝4rB，設(shè)皮帶不打滑，求三輪邊緣上的點A、B、C的線速度之比、角速度之比、周期之比。 圖412 [思路點撥]　解答本題時應(yīng)注意以下兩點： (1)皮帶傳動的兩輪邊緣上各點的線速度大小相等； (2)同軸轉(zhuǎn)動的兩輪上所有點的角速度相等。 [解析]　由題意可知，A、B兩輪由皮帶傳動，皮帶不打滑，故vA＝vB，B、C在同一輪軸上，同軸轉(zhuǎn)動，故ωB＝ωC。由v＝ωr得vB∶vC＝rB∶rC＝2∶4＝1∶2，所以vA∶vB∶vC＝1∶1∶2；由ω＝得ωA∶ωB＝rB∶rA＝3∶4，所以ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4；由ω＝可知，周期與角速度成反比，即TA∶TB∶TC＝4∶3∶3。 [答案]　vA∶vB∶vC＝1∶1∶2　ωA∶ωB∶ωC＝3∶4∶4　TA∶TB∶TC＝4∶3∶3 求解傳動問題的方法 (1)分清傳動特點：傳動問題是圓周運動中一種常見題型，常見的傳動裝置有如下特點。 ①皮帶傳動(輪子邊緣的線速度大小相等)； ②同軸轉(zhuǎn)動(各點角速度相等)； ③齒輪傳動(相接觸兩個輪子邊緣的線速度大小相等)。 (2)確定半徑關(guān)系：根據(jù)裝置中各點位置確定半徑關(guān)系或根據(jù)題意確定半徑關(guān)系。 (3)用“通式”表達比例關(guān)系。 ①繞同一軸轉(zhuǎn)動的各點角速度ω、轉(zhuǎn)速n和周期T相等，而各點的線速度v＝ωr，即v∝r； ②在皮帶不打滑的情況下，傳動皮帶和皮帶連接的輪子邊緣各點線速度的大小相等，不打滑的摩擦傳動兩輪邊緣上各點線速度大小也相等，而角速度ω＝，即ω∝； ③齒輪傳動與皮帶傳動具有相同的特點。 　　　　 1．(多選)如圖413所示為某一皮帶傳動裝置，主動輪的半徑為r1，從動輪的半徑為r2。已知主動輪做順時針轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為n，轉(zhuǎn)動過程中皮帶不打滑。下列說法正確的是(　　) 圖413 A．從動輪做順時針轉(zhuǎn)動　　 　B．從動輪做逆時針轉(zhuǎn)動 C．從動輪的轉(zhuǎn)速為n D．從動輪的轉(zhuǎn)速為n 解析：選BC　由于皮帶是交叉?zhèn)鲃?，所以主動輪做順時針轉(zhuǎn)動時，從動輪做逆時針轉(zhuǎn)動，選項A錯誤，B正確；皮帶輪邊緣上各點的線速度大小相等，又v1＝ω1r1＝2nπr1，v2＝ω2r2＝2n′πr2，則由v1＝v2得n′＝n，選項C正確，D錯誤。 2.圖414是一個玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三個點。當(dāng)陀螺繞垂直于地面的軸線以角速度ω穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時，下列表述正確的是(　　) 圖414 A．a(chǎn)、b和c三點的線速度大小相等 B．a(chǎn)、b和c三點的角速度相等 C．a(chǎn)、b的角速度比c的大 D．c的線速度比a、b的大 解析：選B　a、b、c三點為共軸轉(zhuǎn)動，故角速度相等，B正確，C錯誤；又由題圖知，三點的轉(zhuǎn)動半徑ra＝rb＞rc，根據(jù)v＝rω知，va＝v b＞vc，故A、D錯誤。 3．如圖415所示，A、B兩個齒輪的齒數(shù)分別是z1、z2，各自固定在過O1、O2的軸上。其中過O1的軸與電動機相連接，此軸轉(zhuǎn)速為n1，求： 圖415 (1)A、B兩齒輪的半徑r1、r2之比； (2)B齒輪的轉(zhuǎn)速n2。 解析：(1)在齒輪傳動裝置中，各齒輪在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的“齒”是相同的，因此齒輪的齒數(shù)與周長成正比，故r1∶r2＝z1∶z2。 (2)在齒輪傳動進行時，每個嚙合的齒輪邊緣處線速度大小相等，因此齒輪傳動滿足齒輪轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比，即＝，所以n2＝。 答案：(1)r1∶r2＝z1∶z2　(2)n2＝ 1．(多選)做勻速圓周運動的物體，下列不變的物理量是 (　　) A．速度　　　　　　　　　 B.速率 C.角速度 D.周期 解析：選BCD　物體做勻速圓周運動時，速度的大小雖然不變，但它的方向在不斷變化，選項B、C、D正確。 2．關(guān)于勻速圓周運動的線速度v、角速度ω和半徑r，下列說法正確的是(　　) A．若r一定，則v與ω成正比 B．若r一定，則v與ω成反比 C．若ω一定，則v與r成反比 D．若v一定，則ω與r成正比 解析：選A　根據(jù)v＝ωr知，若r一定，則v與ω成正比；若ω一定，則v與r成正比；若v一定，則ω與r成反比。故只有選項A正確。 3．甲、乙兩物體都做勻速圓周運動，其質(zhì)量之比為1∶2，轉(zhuǎn)動半徑之比為1∶2，在相等時間里甲轉(zhuǎn)過60，乙轉(zhuǎn)過45，則它們的線速度之比為(　　) A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16 解析：選B　由題意知甲、乙兩物體的角速度之比ω1∶ω2＝60∶45＝4∶3，故兩物體的線速度之比v1∶v2＝(ω1r)∶(ω22r)＝2∶3，B項正確。 4．靜止在地球上的物體都要隨地球一起轉(zhuǎn)動，下列說法正確的是(　　) A．它們的運動周期都是相同的 B．它們的線速度都是相同的 C．它們的線速度大小都是相同的 D．它們的角速度是不同的 解析：選A　如圖所示，地球繞自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時，地球上所有點的周期及角速度都是相同的(除極點外)。地球表面物體做圓周運動的平面是物體所在緯線平面，其圓心分布在整條自轉(zhuǎn)軸上，不同緯度處的物體做圓周運動的半徑是不同的，只有同一緯度處的物體轉(zhuǎn)動半徑相等，線速度的大小才相等，但即使物體的線速度大小相等，方向也各不相同。 5.如圖1所示，A、B是兩個摩擦傳動的靠背輪，A是主動輪，B是從動輪，它們的半徑RA＝2RB，a和b兩點在輪的邊緣，c和d在各輪半徑的中點，下列判斷正確的是(　　) 圖1 A．va＝2vb B.ωb＝2ωa C．vc＝va D．ωb＝ωc 解析：選B　由于A、B兩輪之間通過摩擦傳動，故A、B兩輪邊緣的線速度大小相同，故va＝vb，故A錯誤。根據(jù)v＝ωR可得ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝RB∶RA＝1∶2，即ωb＝2ωa，又由于a與c在同一個圓上，故ωa＝ωc，則ωb＝2ωc，由v＝ωR得va∶vc＝2∶1，即va＝2vc，故B正確，C、D錯誤。 6．汽車在公路上行駛一般不打滑，輪子轉(zhuǎn)一周，汽車向前行駛的距離等于車輪的周長。某國產(chǎn)轎車的車輪半徑約為30 cm，當(dāng)該型號的轎車在高速公路上行駛時，速率計的指針指在120 km/h上，可估算此時該車車輪的轉(zhuǎn)速為(　　) A．1 000 r/s B．1 000 r/min C．1 000 r/h D．2 000 r/s 解析：選B　由題意得v＝120 km/h＝ m/s，r＝0.3 m，又v＝2πnr，得n＝≈18 r/s≈1 000 r/min。 7．變速自行車靠變換齒輪組合來改變行駛速度。如圖2是某一變速車齒輪轉(zhuǎn)動結(jié)構(gòu)示意圖，圖中A輪有48齒，B輪有42齒，C輪有18齒，D輪有12齒，則(　　) 圖2 A．該車可變換兩種不同擋位 B．該車可變換五種不同擋位 C．當(dāng)A輪與D輪組合時，兩輪的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4　 D．當(dāng)A輪與D輪組合時，兩輪的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1　 解析：選C　由題意知，A輪通過鏈條分別與C、D連接，自行車可有兩種速度，B輪分別與C、D連接，又可有兩種速度，所以該車可變換四種擋位；當(dāng)A與D組合時，兩輪邊緣線速度大小相等，A轉(zhuǎn)一圈，D轉(zhuǎn)4圈，即＝，選項C對。 8．為了測定子彈的飛行速度，在一根水平放置的軸桿上固定兩個薄圓盤A、B，盤A、B平行且相距2 m，軸桿的轉(zhuǎn)速為3 600 r/min，子彈穿過兩盤留下兩彈孔a、b，測得兩彈孔所在半徑的夾角θ＝30，如圖3所示。則該子彈的速度可能是(　　) 圖3 A．360 m/s B．720 m/s C．1 440 m/s D．108 m/s 解析：選C　子彈從A盤運動到B盤的過程中，B盤轉(zhuǎn)過的角度θ＝2πn＋(n＝0,1,2，…)，B盤轉(zhuǎn)動的角速度ω＝＝2πf＝2πn＝2π rad/s＝120π rad/s，子彈在A、B盤間運動的時間等于B盤轉(zhuǎn)動的時間，即＝，所以v＝＝ m/s(n＝0,1,2，…)，n＝0時，v＝1 440 m/s；n＝1時，v≈110.77 m/s；n＝2時，v＝57.6 m/s；…故C正確。 9.兩個小球固定在一根長為L的桿的兩端，繞桿上的O點做圓周運動，如圖4所示，當(dāng)小球1的速度為v1時，小球2的速度為v2，則轉(zhuǎn)軸O到小球2的距離為(　　) 圖4 A. B. C. D. 解析：選B　設(shè)小球1、2做圓周運動的半徑分別為r1、r2，則v1∶v2＝ωr1∶ωr2＝r1∶r2，又因r1＋r2＝L，所以小球2到轉(zhuǎn)軸O的距離r2＝，B正確。 10．甲沿著半徑為R的圓周跑道勻速跑步，乙沿著半徑為2R的圓周跑道勻速跑步，在相同的時間內(nèi)，甲、乙各自跑了一圈，他們的角速度和線速度的大小分別為ω1、ω2和v1、v2，則(　　) A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2 C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2 解析：選C　由于甲、乙在相同時間內(nèi)各自跑了一圈，v1＝，v2＝，v1＜v2，由v＝rω，得ω＝，ω1＝＝，ω2＝，ω1＝ω2，故C正確。 11．一汽車發(fā)動機的曲軸每分鐘轉(zhuǎn)2 400周，求： (1)曲軸轉(zhuǎn)動的周期與角速度； (2)距轉(zhuǎn)軸r＝0.2 m點的線速度。 解析：(1)由于曲軸每秒鐘轉(zhuǎn)＝40(周)，周期T＝ s；而每轉(zhuǎn)一周為2π rad，因此曲軸轉(zhuǎn)動的角速度ω＝2π40 rad/s ＝80π rad/s。 (2)已知r＝0.2 m，因此這一點的線速度v＝ωr ＝80π0.2 m/s＝16π m/s。 答案：(1) s　80π rad/s　(2)16π m/s 12.如圖5所示，小球A在光滑的半徑為R的圓形槽內(nèi)做勻速圓周運動，當(dāng)它運動到圖中a點時，在圓形槽中心O點正上方h處，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平拋出，結(jié)果恰好在a點與A球相碰，求： 圖5 (1)B球拋出時的水平初速度。 (2)A球運動的線速度最小值。 解析：(1)小球B做平拋運動，其在水平方向上做勻速直線運動，則R＝v0t① 在豎直方向上做自由落體運動，則h＝gt2② 由①②得v0＝＝R。 (2)設(shè)相碰時，A球轉(zhuǎn)了n圈，則A球的線速度 vA＝＝＝2πRn 當(dāng)n＝1時，其線速度有最小值，即 vmin＝2πR。 答案：(1)R　(2)2πR