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2019-2020年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 找規(guī)律（一） 　　這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。 　　按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如， (1) 1，2，3，4，5，6，… (2) 1，2，4，8，16，32； (3) 1，0，0，1，0，0，1，… (4) 1，1，2，3，5，8，13。 　　一個數(shù)列中從左至右的第n個數(shù)，稱為這個數(shù)列的第n項。如，數(shù)列(1)的第3項是3，數(shù)列(2)的第3項是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項記作an。 　　數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個，如數(shù)列(2)(4)，也可以是無限多個，如數(shù)列(1)(3)。 　　許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。 　　數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項=前項+1，或第n項an＝n。 　　數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項=前項2，或第n項 　　數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復始地出現(xiàn)。 　　數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項起，每項等于它前面兩項的和，即 　　a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5， 　　a6=3+5=8，a7=5+8=13。 　　常見的較簡單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類： 　　第一類是數(shù)列各項只與它的項數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。 　　第二類是前后幾項為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。 　　第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復雜些，我們用后面的例3、例4來作一些說明。 例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)4，7，10，13，( )，… (2)84，72，60，( )，( )； (3)2，6，18，( )，( )，… (4)625，125，25，( )，( )； (5)1，4，9，16，( )，… (6)2，6，12，20，( )，( )，… 解：通過對已知的幾個數(shù)的前后兩項的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn) (1)的規(guī)律是：前項+3=后項。所以應填16。 (2)的規(guī)律是：前項-12=后項。所以應填48，36。 (3)的規(guī)律是：前項3=后項。所以應填54，162。 (4)的規(guī)律是：前項5=后項。所以應填5，1。 (5)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為 　　1=11， 4=22， 9=33， 16=44， 　　所以應填55=25。 (6)的規(guī)律是：數(shù)列各項依次為 　　2=12，6=23，12=34，20=45， 　　所以，應填 56=30， 67=42。 　　說明：本例中各數(shù)列的每一項都只與它的項數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項分別可以表示為 (1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n； (3)an＝23n-1；(4)an＝55-n；(5)an＝n2；(6)an＝n(n+1)。 　　這樣表示的好處在于，如果求第100項等于幾，那么不用一項一項地計算，直接就可以算出來，比如數(shù)列(1)的第100項等于3100+1=301。本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項，當然沒有必要計算大于5的項數(shù)了。 例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)1，2，2，3，3，4，( )，( )； (2)( )，( )，10，5，12，6，14，7； (3) 3，7，10，17，27，( )； (4) 1，2，2，4，8，32，( )。 解：通過對各數(shù)列已知的幾個數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。 (1)把數(shù)列每兩項分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應填4，5。 (2)把后面已知的六個數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7的次序知，應填8，4。 (3)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的和等于后面一項，故應填( 17+27=)44。 (4)這個數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項的乘積等于后面一項，故應填(832=)256。 例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)18，20，24，30，( )； (2)11，12，14，18，26，( )； (3)2，5，11，23，47，( )，( )。 解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項-前項)組成一新數(shù)列2，4，6，…其規(guī)律是“依次加2”，因為6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故 　　a5=8+30=38。 (2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，…按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。 (3)觀察數(shù)列前、后項的關(guān)系，后項=前項2+1，所以 　　a6=2a5+1＝247+1＝95， 　　a7＝2a6+1＝295+1=191。 例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內(nèi)填上合適的數(shù)： (1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )； (2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。 解：(1)數(shù)列的第1，3，5，…項組成一個新數(shù)列12，17， 22，…其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項就是27；數(shù)列的第2，4，6，…項組成一個新數(shù)列15，30，45，…其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項就是60。故應填27，60。 (2)如(1)分析，由奇數(shù)項組成的新數(shù)列2，5，8，…中，8后面的數(shù)應為11；由偶數(shù)項組成的新數(shù)列8，6，4，… 中，4后面的數(shù)應為2。故應填11，2。 練習5 　　 　　按其規(guī)律在下列各數(shù)列的( )內(nèi)填數(shù)。 　　1.56，49，42，35，( )。 　　2.11， 15， 19， 23，( )，… 　　3.3，6，12，24，( )。 　　4.2，3，5，9，17，( )，… 　　5.1，3，4，7，11，( )。 　　6.1，3，7，13，21，( )。 　　7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。 　　8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。 　　9.2，5，10，17，26，( )。 　　10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。 　　11.數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17。 (1)如果其中缺少一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？應補在何處？ (2)如果其中多了一個數(shù)，那么這個數(shù)是幾？為什么？ 附送： 2019-2020年三年級數(shù)學 奧數(shù)講座 找規(guī)律（二） 　　這一講主要介紹如何發(fā)現(xiàn)和尋找圖形、數(shù)表的變化規(guī)律。 例1 觀察下列圖形的變化規(guī)律，并按照這個規(guī)律將第四個圖形補充完整。 分析與解：觀察前三個圖，從左至右，黑點數(shù)依次為4，3，2個，并且每個圖形依次按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，所以第四個圖如右圖所示。 　　觀察圖形的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數(shù)量、大小及各組成部分的相對位置入手，從中找出變化規(guī)律。 例2 在下列各組圖形中尋找規(guī)律，并按此規(guī)律在“？”處填上合適的數(shù)： 　　 　　 解：(1)觀察前兩個圖形中的數(shù)可知，大圓圈內(nèi)的數(shù)等于三個小圓圈內(nèi)的數(shù)的乘積的一半，故 　　第三個圖形中的“？”=5382=60； 　　第四個圖形中的“？”=(212)32=7。 (2)觀察前兩個圖形中的已知數(shù)，發(fā)現(xiàn)有 　　10=8+5-3， 8=7+4-3， 　　即三角形里面的數(shù)的和減去三角形外面的數(shù)就是中間小圓圈內(nèi)的數(shù)。故 　　第三個圖形中的“？”=12+1-5=8； 　　第四個圖形中的“？”=7+1-5=3。 例3 尋找規(guī)律填數(shù)： 　　 解：(1)考察上、下兩數(shù)的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那個“？”=35-16=19，下面那個“？”=18+16=34。 (2)從左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，…知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，…知，9下面的“？”=14。 例4 尋找規(guī)律在空格內(nèi)填數(shù)： 　　 　　 解：(1)因為前兩圖中的三個數(shù)滿足： 　　256=464，72=612， 　　所以，第三圖中空格應填1215=180；第四圖中空格應填16913=13。第五圖中空格應填2247=32。 (2)圖中下面一行的數(shù)都是上一行對應數(shù)的3倍，故43下面應填433=129；87上面應填873=29。 例5在下列表格中尋找規(guī)律，并求出“？”： 　　 解：(1)觀察每行中兩邊的數(shù)與中間的數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。 (2)觀察每列中三數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)1+32=7，7+22=11，所以，？=4+52=14。 例6 尋找規(guī)律填數(shù)： (1) (2) 解：(1)觀察其規(guī)律知 (2)觀察其規(guī)律知： 　　觀察比較圖形、圖表、數(shù)列的變化，并能從圖形、數(shù)量間的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這種能力對于同學們今后的學習將大有益處。 練習 　　尋找規(guī)律填數(shù)： 　　 　　 　　 　　 　　　 　　6.下圖中第50個圖形是△還是○？ 　　○△○○○△○○○△○…