專(zhuān)題24 相交線與平行線 閱讀與思考 在同一平面內(nèi)，兩條不同直線有兩種位置關(guān)系：相交或平行. 當(dāng)兩條直線相交或兩條直線分別與第三條直線相交，就產(chǎn)生對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角等位置關(guān)系角，善于從相交線中識(shí)別出以上不同名稱(chēng)的角是解相關(guān)問(wèn)題的基礎(chǔ)，把握對(duì)頂角有公共頂點(diǎn)，而同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角沒(méi)有公共頂點(diǎn)且有一條邊在截線上，這是識(shí)圖的關(guān)鍵． 兩直線平行的判定方法和重要性質(zhì)是我們研究平行線問(wèn)題的主要依據(jù)． 1．平行線的判定 (1)同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行； (2)平行于同一直線的兩條直線平行； (3)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行． 2．平行線的性質(zhì) (1)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線和這條直線平行； (2)兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)； (3)如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它和另一條也垂直. 熟悉以下基本圖形： 例題與求解 【例1】 (1) 如圖①，AB∥DE，∠ABC＝，∠CDE＝，則∠BCD＝__________. （安徽省中考試題） (2) 如圖②，已知直線AB∥CD，∠C＝，∠A＝，則∠E＝___________. （浙江省杭州市中考試題） D E C A B 圖1 解題思路：作平行線，運(yùn)用內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的特征進(jìn)行求解. 【例2】如圖，平行直線AB，CD與相交直線EF，GH相交，圖中的同旁?xún)?nèi)角共有( )． A．4對(duì) B．8對(duì) C．12對(duì) D．16對(duì) （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 解題思路：每一個(gè)“三線八角”基本圖形都有兩對(duì)同旁?xún)?nèi)角，從對(duì)原圖進(jìn)行分解入手． 例2題圖 例3題圖 【例3】 如圖，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC//ED，CE是∠ACB的平分線，求證：∠EDF＝∠BDF. （天津市競(jìng)賽試題） 解題思路：綜合運(yùn)用垂直定義、角平分線、平行線的判定與性質(zhì)，由于圖形復(fù)雜，因此，證明前注意分解圖形． 【例4】 如圖，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠FCF＝∠ECD.求證：∠AFC＝∠AEC. （湖北省武漢市競(jìng)賽試題） 解題思路：分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作平行線，利用平行線的性質(zhì)找角之間的關(guān)系. F A B C 1 D E 2 例4題圖 例5題圖 【例5】如圖，已知∠1＝ ∠2，∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F. 解題思路：從角出發(fā)，導(dǎo)出兩直線的位置關(guān)系，再推出新的角的關(guān)系，新的兩直線的位置關(guān)系，是解這類(lèi)問(wèn)題的基本思路. 【例6】(1)已知平面內(nèi)有4條直線a，b，c和d，直線a，b和c相交于一點(diǎn)，直線b，c和d也相交于一點(diǎn)，試確定這4條直線共有多少個(gè)交點(diǎn)？并說(shuō)明你的理由． (2)作第5條直線e與(1)中的直線d平行. 說(shuō)明：以這5條直線的交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段有多少條？ （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 解題思路：(1)先設(shè)直線a，b，c的交點(diǎn)為P，直線b，c，d的交點(diǎn)為Q，證得P與Q實(shí)為同一點(diǎn)，得出結(jié)論． (2)繪出圖形，幫助解答，注意平行線的性質(zhì). 能力訓(xùn)練 A級(jí) 1．在同一平面內(nèi)有，，…，十條直線，如果//，⊥，//，⊥，//，⊥，…，那么與的位置關(guān)系是____________. 2．如圖，已知AE∥BD，∠1＝，∠2＝，則∠C＝__________． （湖南省常德市中考試題） 3．如圖，直線a，b都與直線c相交，下列命題中，能判斷a∥b的條件是_____________（把你認(rèn)為正確的序號(hào)填在橫線上） ①∠1＝∠2； ②∠3＝∠6； ③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝． （陜西省中考試題） 4. 將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個(gè)頂點(diǎn)恰好落在另一張矩形紙片的一邊上，則∠1＋∠2__________. （山東省煙臺(tái)市中考試題） 5．下面四個(gè)命題中正確的是( )． A．相等的兩個(gè)角是對(duì)頂角 B．和等于的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角 C．連結(jié)兩點(diǎn)的最短線是過(guò)這兩點(diǎn)的直線 D．兩條直線相交所成的四個(gè)角都相等，則這兩條直線互相垂直 （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 6．下列命題 ①兩條相交直線組成的四個(gè)角相等，則這兩直線垂直． ②兩條相交直線組成的四個(gè)角中，若有一個(gè)直角，則四角都相等． ③兩條直線相交，一角的兩鄰補(bǔ)角相等，則這兩直線垂直． ④兩條直線相交，一角與其鄰補(bǔ)角相等，則這兩直線垂直． 其中正確的有( )． A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 7．如圖，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么圖中與∠BFE相等的角(不包括∠BFE)的個(gè)數(shù)是( )． A.2 B．4 C．5 D．6 （山東省菏澤地區(qū)中考試題） 8．如圖，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，點(diǎn)C在AE上，點(diǎn)F在DG上，設(shè)與∠ɑ相等的角的個(gè)數(shù)為m（不包括∠a本身），與∠互補(bǔ)的角的個(gè)數(shù)為n．若a≠，則m＋n的值是( )． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 9．如圖，已知AB∥ED，∠NCB＝，CM平分∠BCE，CN⊥CM，求∠B的度數(shù)． 10.如圖，已知E是AB，CD外一點(diǎn)，∠D＝∠B＋∠E，求證：AB∥CD. 11.平面上有10條直線，無(wú)任何3條交于一點(diǎn)，要使它們出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)，怎樣安排才能辦到？ （吉林省競(jìng)賽試題） 12.如圖，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求證：AB//GF. （重慶市競(jìng)賽試題） B級(jí) 1. 如圖，∠A＝，∠1＝∠2，則∠ADC的度數(shù)是___________. 2．如圖，直線a∥b，那么的度數(shù)是____________. （五城市聯(lián)賽試題） 3．如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D，C的位置，若∠EFB＝，則∠AED＝__________. （山東省中考試題） 4．如圖，已知DE∥BC，∠2＝，∠1＝，那∠EBA的度數(shù)是_____________. 第4題圖 第5題圖 5. 如圖，直線∥，∠4－∠3＝∠3－∠2＝∠2一∠3＝d＞0．其中∠3＜，∠1＝，則∠4最大可能的整數(shù)值是( )． A. 1070 B．1080 C．1090 D．1100 6. 如圖，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，則∠BAC＋∠ACE＋∠CEH等于( )． A．1800 B．2700 C．3600 D．4500 (北京市競(jìng)賽試題） 7．如圖，兩直線AB，CD平行，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ ( )． A．6300 B. 7200 C．8000 D. 9000 （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 第6題圖 第7題圖 8．兩條直線a，b互相平行，直線a上順次有10個(gè)點(diǎn)A1，A2…，A10，直線b上順次有9個(gè)點(diǎn)B1，B2，…，B3，將a上每一個(gè)點(diǎn)與b上每一個(gè)點(diǎn)相連可得線段．若沒(méi)有三條線段相交于同一點(diǎn)，則這些線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ) A. 90 B.1620 C.6480 D.xx 9．如圖，已知兩條平行線AB，CD被直線EF所截，交點(diǎn)分別為G，H，P為HD上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線交HF于O點(diǎn)，求證：∠HOP＝∠AGF－∠HPO. 10．如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，MF∥AD.求FC的長(zhǎng)． (xx年“《數(shù)學(xué)周報(bào)》”杯競(jìng)賽試題) 11．平面上有七條兩兩不平行的直線，試證：其中必有直線的交角小于260． （莫斯科八年級(jí)競(jìng)賽試題） 12．⑴如圖①，MA1∥NA2，則∠A1＋∠A2＝_________. 如圖②，MA1∥NA3，則∠A1＋∠A2＋∠A3＝_________. 如圖③，MA1∥NA4，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝_________. 如圖④，MA1∥NA5，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝_________. 從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)?jiān)趫D②，圖③，圖④中選一個(gè)證明你的結(jié)論. A6 An A5 A4 A2 A1 M N A2 （第21題） A1 M N A3 A2 A1 M N A3 A4 A2 A1 M N A3 A5 A4 A2 A1 M N A3 圖① 圖② 圖③ 圖④ 圖⑤ （2） 如圖5，，則 . （3） 利用上述結(jié)論解決問(wèn)題：如圖已知，和的平分線相交于F，，求的度數(shù). F E B A C D 圖⑥ 專(zhuān)題24 相交線與平行線 例1 （1）40 過(guò)點(diǎn) C 作CF∥AB，則∠BCF＝∠ABC＝80．∠DCF＝180—140＝40，∴∠BCD＝80－40=40. （2）90 過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，∴AB∥CD，∴EM∥CD，∠AEM=180—25=155. ∠CEM=180—115=65，∴∠E=∠AE—∠CEM=155-65=90. 例2 D 提示：原圖可分解為8個(gè)基本圖形. 例3 提示：由DF∥CE得，∠BDF=∠BCE，∠FDE=∠DEC，AC∥DE，得∠DEC=∠ECA. 例4 過(guò)E作EM∥AB.∴AB∥于CD，∴EM∥CD. ∴∠AEC=∠AEM+∠CEM=∠EAB+∠ECD.同理：∠AFC=∠FAB+∠FCD.∴∠AEC=∠FAB+∠FCD+∠EAF+∠ECF=∠AFC+∠EAB+14+∠ECD=∠AFC+∠AEC.故∠AFC=∠AEC. 例5 提示：先證BD∥CE，再證DF∥BC. 例6 （1）直線a，b，c，d共有1個(gè)交點(diǎn)，理由如下：設(shè)直線a，b，c的交點(diǎn)為P，直線b，c，d的交點(diǎn)為Q.這意味著點(diǎn)P和點(diǎn)Q都是直線b和c的交點(diǎn).而兩條不同直線至多有一個(gè)交點(diǎn).因此P和Q必為同一個(gè)點(diǎn).即4條直線a，b，c和d相交于同一個(gè)點(diǎn).因此這4條直線只有一個(gè)交點(diǎn). (2)不妨設(shè)（1）中交點(diǎn)為O.因?yàn)樽鞯牡?條直線e與（1）中的直線d平行，所以直線e和直線d沒(méi)有公共點(diǎn)，因此這些e不過(guò)點(diǎn)O.而直線a，b，c與直線e必然都相交. 如圖所示. 設(shè)直線e與直線a，b，c分別相交于點(diǎn)A，B，C.這時(shí)有A，B，C，O共四個(gè)不同的點(diǎn).可以連出OA，OB，OC，AB，AC，BC共6條不同的線段. A級(jí) 1. // 2.20 3.①②③④ 4.90 5.D 6.B 7.C 8.D 提示：m=5，n=6，m+n=5+6=11. 9.60 10.提示：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB. 11如圖所示. 12.作CK∥FG，延長(zhǎng)GF，CD交于H點(diǎn)，則∠1+∠2=∠ABC，故∠ABC+∠BCK=180，即CK∥AB，AB∥GF. B級(jí) 1.1202.723.504.305.C 提示：∠2=50+d，∠3=50+2d，∠4=50+3d，又∵∠3=50+2d<90，∴d<20，∠4=50+3d<110.故∠4的最大整數(shù)值為109. 6.B 7.D 8.B 提示：由題意知每一個(gè)交點(diǎn)由a上兩點(diǎn)和b上兩點(diǎn)所確定.在a上取兩點(diǎn)有種情況，在b上取兩點(diǎn)有種情況，故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為45*36=1620個(gè). 9.提示：過(guò)點(diǎn)O作CD的平行線. 10.如圖，設(shè)N是AC的中點(diǎn)，連接MN，則MN∥AB. 又MF∥AD，∴∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN. ∴FN=MN=AB. 因此FC=FN+NC=AB+12AC=(AB+AC）=（7+11）=9. 11.提示：在平面上任取一點(diǎn)O，將已知的七條直線平移過(guò)點(diǎn)O，它們把以O(shè)為圓心的圓周角分成14個(gè)彼此相鄰的角a?,a?,……，。其中的每一個(gè)都和原來(lái)某兩條直線交角中的一個(gè)相等，假設(shè)12.(1)180 360 540 720 證明略.（2）（n-1）180 （3）過(guò)F作FG∥AB，則AB∥FG∥CD. 則∠BFD=（∠ABE+∠CDE），又∠ABE+∠CDE+∠E=360，得∠ABE+∠CDE=220，故∠BFD=110