《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 基本初等函數(shù)學(xué)案 理.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 基本初等函數(shù)學(xué)案 理.doc（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第二講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用
考點(diǎn)一 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)
1．指數(shù)與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算公式
(1)aman＝am＋n，
(2)(am)n＝amn，
(3)(ab)m＝ambm.其中，a>0，b>0.
(4)loga(MN)＝logaM＋logaN，
(5)loga＝logaM－logaN，
(6)logaMn＝nlogaM，
(7)alogaN＝N，
(8)logaN＝.其中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
2．指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分0
1兩種情況：當(dāng)a>1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng)0b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
[解析] 由已知得c＝log23，∵log23>log2e>1，b＝ln2<1，∴c>a>b，故選D.
[答案] D
3．(2018山東濰坊一模)若函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以是( )
[解析] 因函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上為減函數(shù)，故01或x<－1}，x>1時(shí)函數(shù)y＝loga(|x|－1)的圖象可以通過(guò)函數(shù)y＝logax的圖象向右平移1個(gè)單位得到，故選D.
[答案] D
4．(2018江西九江七校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
[解析] 由題意得x2－ax－3a>0在區(qū)間(－∞，－2]上恒成立且函數(shù)y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上遞減，則≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4,4)．
[答案] [－4,4)
[快速審題] 看到指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，想到指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；看到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)，想到它們的圖象和性質(zhì)．
基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧
(1)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值，當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時(shí)，要注意分a>1和01時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)00和α<0兩種情況的不同．
考點(diǎn)二 函數(shù)的零點(diǎn)
1．函數(shù)的零點(diǎn)及其與方程根的關(guān)系
對(duì)于函數(shù)f(x)，使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
2．零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根．
角度1：確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或其存在范圍
[解析] 當(dāng)x≤0時(shí)，
由f(x)＝0，即x2＋2017x－2018＝0，
得(x－1)(x＋2018)＝0，
解得x＝1(舍去)或x＝－2018；
當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)g(x)＝x－2，h(x)＝lnx，如圖，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，
由圖可知，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)在x>0時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，故選C.
[答案] C
[快速審題] 看到函數(shù)的零點(diǎn)，想到求方程的根或轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)．
角度2：應(yīng)用零點(diǎn)求參數(shù)的值(范圍)
[解析] 在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖，而函數(shù)y＝mx－恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)與函數(shù)y＝lnx的圖象相切的直線為l1，切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，lnx0)．因?yàn)閥＝lnx的導(dǎo)函數(shù)y′＝，所以圖中y＝lnx的切線l1的斜率為k＝，則＝，解得x0＝，所以k＝.又圖中l(wèi)2的斜率為，故當(dāng)方程f(x)＝mx－恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
[答案]
[探究追問(wèn)] 將例2中“方程f(x)＝mx－恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”改為“方程f(x)＝m恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，結(jié)果如何？
[解析] 在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖．函數(shù)y＝m恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)與函數(shù)y＝1－x2的圖象相切的直線為l1，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,1－x)，因?yàn)閥＝1－x2(x≤1)的導(dǎo)函數(shù)y′＝－2x0，所以切線l1斜率k＝－2x0，則－2x0＝，解得x0＝或x0＝2(舍)．所以直線l1的斜率為－1，結(jié)合圖可知，當(dāng)方程f(x)＝m恰有三個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－1,0)．
[答案] (－1,0)
(1)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法
(2)利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或范圍)的3種方法
[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]
1．[角度1]已知函數(shù)f(x)＝－log2x.在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
[解析] 易知f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)．∵f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－2<0，∴選項(xiàng)中包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4)．
[答案] C
2．[角度2]已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
[解析] f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝k的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如圖所示．
當(dāng)－10，函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是________．
[解析] 設(shè)g(x)＝f(x)－ax＝
方程f(x)＝ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解即函數(shù)y＝g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即y＝g(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，滿足條件的y＝g(x)的圖象有以下兩種情況：
情況一：
則∴40，則|lnt|＝3，解得t＝e3或t＝e－3，
若x≤0，則2x＋1＝e3或2x＋1＝e－3，
解得x＝(舍)或x＝；
若x>0，則|lnx|＝e3或|lnx|＝e－3，
解得x＝ee3或e－e3或ee－3或e－e－3，故一共有5個(gè)根，選C.
[答案] C
2．(2018安徽馬鞍山一模)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．[1,2] B．(1,2)
C．(－2，－1) D．[－2，－1]
[解析] 函數(shù)f(x)＝的圖象如圖：
關(guān)于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即[f(x)＋a][f(x)－1]＝0有7個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，易知f(x)＝1有3個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，∴f(x)＝－a必須有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由函數(shù)f(x)的圖象可知－a∈(1,2)，∴a∈(－2，－1)．故選C.
[答案] C
專題跟蹤訓(xùn)練(十一)
一、選擇題
[解析]
[答案] C
[解析]
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為，
即所求交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在區(qū)間為，故選B.
[答案] B
3．(2018孝感一模)若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
[解析] 依題意并結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知，即
解得0時(shí)，F(xiàn)(x)＝x[x＋(a－1)]，
∵函數(shù)F(x)有2個(gè)零點(diǎn)，∴1－a>0，∴a<1.故選C.
[答案] C
5．(2018湖南十三校二模)函數(shù)f(x)＝lnx＋ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( )
A. B.
C．(1，e) D．(e，＋∞)
[解析] 函數(shù)f(x)＝lnx＋ex在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)最多只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x→0＋時(shí)，f(x)→－∞.
∴函數(shù)f(x)＝lnx＋ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選A.
[答案] A
6．(2018河南鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋m與函數(shù)g(x)＝－ln－3x的圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. B.
C. D．[2－ln2,2]
[解析] 由已知，得方程x2＋m＝ln＋3x，∴m＝－lnx＋3x－x2在上有解．
設(shè)f(x)＝－lnx＋3x－x2，
求導(dǎo)，得f′(x)＝－＋3－2x＝－
＝－
∵≤x≤2，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1.
當(dāng)f′(x)>0時(shí)，0時(shí)，f(2)＝4a＋4a＋1＝8a＋1，f(－3)＝3a＋1.∴f(2)>f(－3)，即f(x)max＝f(2)＝8a＋1＝4，∴a＝；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)max＝f(－1)＝a－2a＋1＝－a＋1＝4，∴a＝－3.綜上所述，a＝或a＝－3
[答案] 或－3
9．某租賃公司擁有汽車100輛．當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出．當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未出租的車將會(huì)增加一輛．租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元，要使租賃公司的月收益最大，則每輛車的月租金應(yīng)定為_(kāi)_______元．
[解析] 設(shè)每輛車的月租金為x(x>3000)元，則租賃公司月收益為y＝(x－150)－50，整理得y＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050.
所以當(dāng)x＝4050時(shí)，y取最大值為307050，即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大為307050元．
[答案] 4050
三、解答題
10．(2018唐山一中期末)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性與奇偶性；
(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解] (1)∵f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex＋x，
∴f′(x)>0對(duì)任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函數(shù)．
又∵f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函數(shù)．
(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函數(shù)和奇函數(shù)，則
f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x∈R都成立，
?f(x2－t2)≥f(t－x)對(duì)一切x∈R都成立，
?x2－t2≥t－x對(duì)一切x∈R都成立，
?t2＋t≤x2＋x＝2－對(duì)一切x∈R都成立，
?t2＋t≤(x2＋x)min＝－?t2＋t＋
＝2≤0，
又2≥0，∴2＝0，
∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對(duì)一切x∈R都成立．
11．(2018江西三校聯(lián)考)食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用給人民群眾的健康帶來(lái)一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬(wàn)元，搭建甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入P(單位：萬(wàn)元)、種黃瓜的年收入Q(單位：萬(wàn)元)與投入a(單位：萬(wàn)元)滿足P＝80＋4，Q＝a＋120，設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬(wàn)元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬(wàn)元)．
(1)求f(50)的值；
(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？
[解] (1)依題意f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，其中
所以20≤x≤180.
故f(50)＝－50＋4＋250＝277.5.
(2)由(1)知f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)，
令＝t，則2≤t≤6，
y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
因此當(dāng)t＝8時(shí)，函數(shù)取得最大值282，此時(shí)x＝128，
故投入甲大棚128萬(wàn)元，乙大棚72萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，最大總收益是282萬(wàn)元．
12．(2018江西吉安一中摸底)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程[f(x)]2＋f(x)＋t＝0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
[解] 原問(wèn)題等價(jià)于[f(x)]2＋f(x)＝－t有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
即直線y＝－t與y＝[f(x)]2＋f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)．
當(dāng)x≥0時(shí)，y＝[f(x)]2＋f(x)＝e2x＋ex為增函數(shù)，在x＝0處取得最小值2，其圖象與直線y＝－t最多只有一個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)x<0時(shí)，y＝[f(x)]2＋f(x)＝[lg(－x)]2＋lg(－x)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，其在(－∞，0)上先減后增，最小值為－.
所以要使函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，只需－t≥2，解得t≤－2.
2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第二講 基本初等函數(shù)學(xué)案 理.doc
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