七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專題26 奇偶分析試題 (新版)新人教版.doc
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26 奇偶分析 閱讀與思考 整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù),一個(gè)整數(shù)要么是奇數(shù),要么是偶數(shù),因此奇偶性是一個(gè)整數(shù)的固有屬性,即奇數(shù)≠偶數(shù). 由于奇偶性是整數(shù)的固有屬性,因此可以說(shuō)奇偶性是整數(shù)的一種不變性,通過(guò)分析整數(shù)的奇偶性來(lái)解決問(wèn)題的方法叫奇偶分析. 運(yùn)用奇偶分析解題,常常要用到奇數(shù)和偶數(shù)的基本性質(zhì): 1.奇數(shù)≠偶數(shù). 2.奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù),偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù),偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和為偶數(shù),若干個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù). 3.若干個(gè)奇數(shù)之積是奇數(shù),偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù). 4.若是整數(shù),則與,,(為自然數(shù))有相同的奇偶性. 5.設(shè),是整數(shù),則,,,都有相同的奇偶數(shù). 6.偶數(shù)的平方是4的倍數(shù),奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1. 例題與求解 【例1】 數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列規(guī)律是:前兩個(gè)數(shù)是1,從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始,每一個(gè)數(shù)是它前面兩個(gè)數(shù)的和,這個(gè)數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列,在斐波那契數(shù)列的前2 004個(gè)數(shù)中共有____個(gè)偶數(shù). (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 解題思路:本例關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的各項(xiàng)奇偶性的規(guī)律. 【例2】 如果,,都是正整數(shù),且,是奇數(shù),則是( ). A.只當(dāng)為奇數(shù)時(shí),其值為奇數(shù) B.只當(dāng)為偶數(shù)時(shí),其值為奇數(shù) C.只當(dāng)為3的倍數(shù)時(shí),其值為奇數(shù) D.無(wú)論為任意正整數(shù)時(shí),其值均為奇數(shù) (五城市聯(lián)賽試題) 解題思路:直接運(yùn)用奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)作出選擇. 【例3】 能否找到自然數(shù)和,使. (“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題) 解題思路:假設(shè)存在自然數(shù)和,使等式成立,則,從,的奇偶性展開(kāi)推理. 【例4】 在6張紙片的正面分別寫(xiě)上整數(shù)1,2,3,4,5,6,打亂次序后,將紙片翻過(guò)來(lái),在它們的反面也隨意寫(xiě)上1~6這6個(gè)整數(shù),然后計(jì)算每張紙片正面與反面所寫(xiě)數(shù)字之差的絕對(duì)值,得出6個(gè)數(shù),請(qǐng)你證明:所得的6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的. (北京市競(jìng)賽試題) 解題思路:從反面入手,即設(shè)這6個(gè)數(shù)兩兩都不相等,利用與=1,2,3,4,5,6的奇偶性相同,引入字母進(jìn)行推理證明. 【例5】 表甲是一個(gè)英文字母電子顯示盤,每一次操作可以使某一行4個(gè)字母同時(shí)改變,或者使某一列4個(gè)字母同時(shí)改變,改變的規(guī)則是:按照英文字母表的順序,每個(gè)英文字母變成它下一個(gè)字母(即A變成B,B變成C…最后字母Z變成A).問(wèn):能否經(jīng)過(guò)若干次操作,使表甲變成表乙?如果能,請(qǐng)寫(xiě)出變化過(guò)程,如不能,說(shuō)明理由. S O B R K B D S T Z E P H E X G H O C N R T B S A D V X C F Y A 表甲 表乙 (“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題) 解題思路:表甲與表乙看上去沒(méi)有規(guī)律,似乎不太容易將表甲變?yōu)楸硪遥梢栽囈辉嚕?,看是否能成功?如果是不能,就?yīng)找出不能的理由,解題的關(guān)鍵是如何將問(wèn)題“數(shù)字化”,挖掘操作變化過(guò)程中的不變量或不變性. 【例6】 設(shè),,…為+1或-1,并且 .證明能被4整除. 解題思路:應(yīng)用整數(shù)的奇偶性解題,常需變化角度去考察問(wèn)題,從而化難為易. 能力訓(xùn)練 1.若按奇偶分類,則是______數(shù). 2.已知是質(zhì)數(shù),是奇數(shù),且,則_______. (江蘇省競(jìng)賽試題) 3.若質(zhì)數(shù),滿足,則的值為_(kāi)___________. (河北省競(jìng)賽試題) 4.在12,22,32,…,952這95個(gè)數(shù)中,十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____________個(gè). (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 5.將1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字排成一排,最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù),且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除,那么,滿足要求的排法有( )種. A.2 B.3 C.4 D.5 6.設(shè),為整數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論 (1)若是偶數(shù),則是偶數(shù) (2)若是偶數(shù),則是奇數(shù) (3)若是奇數(shù),則是偶數(shù) (4)若是奇數(shù),則是奇數(shù) 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ( ). A.0 B.2 C.4 D.1或3 (“五羊杯”競(jìng)賽試題) 7.如果,,是三個(gè)任意整數(shù),那么,,( ). A.都不是整數(shù) B.至少有兩個(gè)是整數(shù) C.至少有一個(gè)是整數(shù) D.都是正數(shù) (“T1杯”全國(guó)競(jìng)賽試題) 8.將1 000到1 997這998個(gè)自然數(shù)任意排成一行,然后依次地求出三個(gè)相鄰數(shù)的和,在這些和中,奇數(shù)的個(gè)數(shù)至多有( ). A.499個(gè) B.496個(gè) C.996個(gè) D.995個(gè) 9.設(shè),,…是1,2,3,…,1999的一個(gè)排列,求證:為偶數(shù). 10.在黑板上記上數(shù)1,2,3,…,1 974,允許擦去任意兩個(gè)數(shù),且寫(xiě)上它們的和或差.重復(fù)這樣的操作手續(xù),直至在黑板上留下一個(gè)數(shù)為止.求證:這個(gè)數(shù)不可能為零. (數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題) 11.你能找到三個(gè)整數(shù),,,使得關(guān)系式成立嗎?如果能找到,請(qǐng)舉一例;如果找不到,請(qǐng)說(shuō)明理由. (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 12.設(shè)標(biāo)有A,B,C,D,E,F(xiàn),G記號(hào)的七盞燈順次排成一行,每盞燈安裝一個(gè)開(kāi)關(guān).現(xiàn)在A,C,E,G四盞燈開(kāi)著,其余三盞燈是關(guān)的,小剛從燈A開(kāi)始,順次拉動(dòng)開(kāi)關(guān),即從A到G,再?gòu)腁開(kāi)始順次拉動(dòng)開(kāi)關(guān),即又從A到G,…,他這樣拉動(dòng)了1 999次開(kāi)關(guān)后,問(wèn)哪幾盞是開(kāi)的? 專題25 圖形面積的計(jì)算 例1 196 提示:28(28+14)-2828=2814=287=196. 例2 D 提示:設(shè)△ABC底邊上的高為h,則BCh=24 故h====. 設(shè)△ABC底邊DE上的高為,△BDE底邊DE上的高為,則h=.∴=+=+)===6. 例3 2cm.提示:設(shè)△ABE的AE邊上的高為hcm,DE長(zhǎng)為xcm,則,解得DE=2.例4 提示: , , ,. 例5 ,.設(shè),則, 于是 ①+②,得, ∴,即. 例6 設(shè),因?yàn)镋,F分別是AB,BC的中點(diǎn),所以. ∴.如圖,連接EF,DF,則.所以. 設(shè),則.由得. ∴ . ∴. 連接AC,又∵AQ∥PC,, ∴. ∴.連接PB,則. 由, 得.∴,從而,.于是. ∴. A級(jí) 1. 提示:,. 2. 48. 3. 4. 15.625. 5. B. 6. C. 7. B. 8. C. 9. 35 提示:連接EF,,. 10. 解法一:將△DEK的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積之和或差.如圖,延長(zhǎng)AE交PK的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.設(shè)正方形ABCD,正方形PKPF的邊長(zhǎng)分別a,b.則 = = =16. 解法二:運(yùn)用等積變形轉(zhuǎn)化問(wèn)題,連接DB,GE,FK.則∠DBA=∠GEB=45, ∴DB∥GE,得,同理GE∥FK,得. ∴. B級(jí) 1. (或). 2. 120 提示:設(shè)AB=a,AD=b,CE=c,CF=d.則BE=b-c-,DF=a-d,c= b,d= a,cd=8. 3. 18.75(≈3). 4. 8.5 提示:連HD. 5. 48 提示:“生長(zhǎng)”n次后得到邊形,面積為原面積的倍. 6. B. 7. B 提示:過(guò)點(diǎn)K作KH⊥AB. ∵AB=8,BE=6,∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45, ∴KH=AE=7. . 8. B 提示:根據(jù)正方形的對(duì)稱性,只需考慮它的部分即可. 9. B. 10. ⑴當(dāng)a>1時(shí),即B在OA上方時(shí),如圖. ,∴,解得a=6. ⑵當(dāng)0≦a<1時(shí),即B在OA于x軸之間時(shí),依題意,有,解得a=-4(不合題意,舍去). ⑶當(dāng)a<0時(shí),即B在x軸下方時(shí),有,解得a=-4. 綜上所述,當(dāng)a=-4或a=6時(shí),. 11. . ∵為公共部分, ∴.又因?yàn)椤鰽MG與△AMD的高的高相等(以A為頂點(diǎn)作高),△MCG與△MCD的高相等(以C為頂點(diǎn)作高),∴,即,解得:.∴. 連BG,設(shè),,.則 解得 同理可得: 又 S,得 .∴ 故 .- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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