2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧求周長.doc
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2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧求周長 我們知道: 這兩個計算公式看起來十分簡單,但用途卻十分廣泛。用它們可以解決許多直角多邊形(所有的角都是直角的多邊形)的周長問題。這是因為直角多邊形總可以分割成若干個正方形或長方形。 例如,下面的圖形都可以分割成若干個正方形或長方形,當(dāng)然分割的方法不是唯一的。 由此,可以演變出許多只涉及正方形、長方形周長計算公式的題目。 例1一個苗圃園(如左下圖),周邊和中間有一些路供人行走(圖中線段表示“路”),幾個小朋友在里面觀賞時發(fā)現(xiàn):從A處出發(fā),在速度一樣的情況下,只要是按“向右”、“向上”方向走,幾個人分頭走不同的路線,總會同時達(dá)到B處。你知道其中的道理嗎? 分析與解:如右上圖所示,將各個交點(diǎn)標(biāo)上字母。由A處到B處,按“向右”、“向上”方向走,只有下面六條路線: (1)A→C→D→E→B; (2)A→C→O→E→B; (3)A→C→O→F→B; (4)A→H→G→F→B; (5)A→H→O→E→B; (6)A→H→O→F→B。 因為A→C與H→O,G→F的路程一樣長,所以可以把它們都換成A→C;同理,將O→E,F(xiàn)→B都換成C→D;將A→H,C→O都換成D→E;將H→G,O→F都換成E→B。這樣換過之后,就得到六條路線的長度都與第(1)條路線相同,而第(1)條路線的長“AD+DB”就是長方形的“長+寬”,也就是說,每條路線的長度都是“長+寬”。路程、速度都相同,當(dāng)然到達(dá)B處的時間就相同了。 例2 計算下列圖形的周長(單位:厘米)。 解:(1)將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動到虛線處(見左下圖),這樣正好移補(bǔ)成一個正方形,所以它的周長為254=100(厘米)。 (2)與(1)類似,可以移補(bǔ)成一個長方形,周長為 (10+15)2=50(厘米)。 例3 求下面兩個圖形的周長(單位:厘米)。 解:(1)與例2類似,可以移補(bǔ)成一個長(15+10+15)厘米、寬(12+20)厘米的長方形,所以周長為 (15+10+15)2+(12+20)2=144(厘米)。 (2)設(shè)想先把長20厘米的線段向上平移到兩條長15厘米的線段中間,構(gòu)成一個長60厘米,寬(15+20+15)厘米的長方形,此時,還有兩條長35厘米的豎線段。所以周長為 602+(15+20+15)2+352=290(厘米)。 例4在一張紙上畫出由四個邊長為3厘米的正方形拼湊或組合成的圖形(重疊的線段只算畫一次)。顯然,這個圖形有多種多樣的畫法,下列各圖是其中的一部分畫法。在所有的這些畫法中, (1)哪種畫法畫出的線段總長最長?有多長? (2)哪種畫法畫出的線段總長最短?有多長? 分析與解:畫的線段重疊部分越少,畫的線段就越長。反之,重疊部分越多,畫的線段就越短。因此,類似圖1那樣畫的線條最長,共畫了 344=48(厘米)。 右圖畫的線條最短,共畫了 (3+3)6=36(厘米)。 例5下圖是一個方形螺線。已知兩相鄰平行線之間的距離均為1厘米,求螺線的總長度。 分析與解:如左下圖所示,按箭頭方向轉(zhuǎn)動虛線部分,于是得到了三個邊長分別為3,5,7厘米的正方形和中間一個三邊圖形(見右下圖)。所以螺線總長度為 (3+5+7)4+13=63(厘米)。 練習(xí) 1.試求左下圖的周長(單位:厘米)。 2.上頁右下圖是由邊長為1厘米的11個正方形堆成的“土”字圖形。試求出其周長。 3.右圖是某小學(xué)教學(xué)樓的平面示意圖,設(shè)計者在圖上只標(biāo)明了三條線段的長度(單位:米)。請你算出它的周長。 4.下圖是由七個長5厘米、寬3厘米的相同長方形經(jīng)過豎放、橫放而成的圖形。求這個圖形的周長。 5.下面兩圖中的小方格的大小相同。圖(1)的周長為48厘米,圖(2)的周長等于多少? 6.如右圖所示,一個正方形被分成了三個相同的長方形。如果其中一個長方形的周長是16米,那么這個正方形的周長是多少米? 附送: 2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧求周長(一) 專題簡析: 一個圖形的周長是指圍成它的所有線段的長度和。我們已經(jīng)學(xué)會了求長方形、正方形這些標(biāo)準(zhǔn)圖形的周長,那么怎樣運(yùn)用長方形、正方形的周長計算公式,巧妙地求一些復(fù)雜圖形的周長呢? 對于一些不規(guī)則的比較復(fù)雜的幾何圖形,要求它們的周長,我們可以運(yùn)用平移的方法,把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的長方形或正方形,然后再利用周長公式進(jìn)行計算。 將一個大長方形或正方形分割成若干個長方形和正方形,那么圖形周長就會增加幾個長或?qū)?;反之,將若干個小長方形或正方形合成一個大長方形或正方形,圖形周長就會減少幾個長或?qū)挕? 例題1 下圖是一個樓梯的側(cè)面圖,求此圖形的周長。 思路導(dǎo)航:如果把每層臺階的寬度向上移到和最上層臺階同樣高的地方,把每層臺階的高度向右移到和最下層的臺階長度一致的地方(如下圖),這樣樓梯側(cè)面圖就轉(zhuǎn)化為一個長方形,然后我們利用長方形周長計算公式求出此圖形的周長。 (2+3)2=10米。 練 習(xí) 一 1.下圖是一個樓梯的側(cè)面,如果在階梯上鋪地毯,要計算地毯的長度,可以怎樣測量? 2.如下圖所示,小明和小玲同時從學(xué)校到少兒書店,小明沿A路線行走,小玲沿B路線行走。如果兩人速度一樣,誰先到少兒書店?為什么? 3.下圖是一個“凹”字形的花園,求花園的周長。(單位:米) 例題2 下圖是由6個邊長2厘米的正方形拼成的,這個圖形的周長是多少厘米? 思路導(dǎo)航:這題我們可以用平移的方法將它轉(zhuǎn)化為一個長方形,如下圖: 這個長方形的長含有4個小正方形的邊長,長為24=8厘米;寬含有2個小正方形的邊長,寬為22=4厘米。這個長方形的周長為:(24+22)2=24厘米。 練 習(xí) 二 1.下圖是由5個邊長為3厘為的正方形組成的圖形,求此圖形的周長。 2.下圖是由6個邊長為2厘米的正方形組成的,求此圖形的周長。 3.用24個邊長是1厘米的正方形拼成一個長方形,這個長方形的周長是多少厘米? 例題3 兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后,周長比原來兩個正方形周長的和減少了6厘米。原來一個正方形的周長是多少厘米? 思路導(dǎo)航:根據(jù)題意,畫出下圖。 當(dāng)兩個正方形拼成一個長方形時,組成兩個正方形的8條邊就減少了2條,而已知兩條邊的和是6厘米,那么一條邊長就是62=3厘米。所以,原來正方形的周長是:34=12厘米。 練 習(xí) 三 1.把兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后,周長比原來兩個正方形的周長和減少10厘米。原來一個正方形的周長是多少? 2.把一個正方形剪成兩個大小相同的長方形后,兩個長方形的周長和比原來正方形的周長增加28分米。原來正方形的周長是多少? 3.把邊長是48厘米的正方形剪成三個同樣大小的長方形,算一算,每個長方形的周長是多少厘米? 例題4 一個正方形,邊長是5厘為,將9個這樣的正方形如下圖一樣拼成一個大正方形,問:拼成的大正方形的周長是多少? 思路導(dǎo)航:從圖上可以看出,9個小正方形拼成的大正方形共有3排,每排由3個小正方形組成。已知小正方形的邊長是5厘米,所以大正方形的邊長就是53=15厘米,大正方形的周長就是154=60厘米。 練 習(xí) 四 1.把16個邊長為3厘米的小正方形拼成一個大正方形,這個大正方形的周長是多少厘米? 2.把6個邊長為4厘米的小正方形如下圖拼成一個長方形,這個長方形的周長為多少厘米? 3.把6個長為3厘米、寬為2厘米的小長方形如下圖拼成一個大長方形,這個大長方形的周長是多少? 例題5 將一張邊長為36厘米的正方形紙,剪成4個完全一樣的小正方形紙片,這4個小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了多少厘米? 思路導(dǎo)航:將邊長36厘米的正方形,沿豎直方向剪一刀,周長的和就比原來大正方形周長增加2個邊長;再沿水平方向剪一刀,又增加2個邊長,一共增加22個邊長。所以這4個小正方形周長的和比原來的正方形周長增加了364=144厘米。 練 習(xí) 五 1.將一張邊長為12厘米的正方形紙,剪成4個完全一樣的小正方形,那么這4個小正方形周長之和比原來的大正方形的周長增加了多少厘米? 2.把一個邊長為20厘米的正方形,如下圖剪成6個完全一樣的小長方形,這6個小長方形周長的和與原來的正方形相比,增加了多少厘米? 3.將一個長為8分米,寬為6分米的長方形如下圖剪成6個完全一樣的小長方形,這6個小長方形周長之和比原來的正方形周長增加了多少分米?- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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