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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一筆畫（二） 　　利用一筆畫原理，我們可以解決許多有趣的實(shí)際問題。 例1 下圖是某展覽館的平面圖，一個(gè)參觀者能否不重復(fù)地穿過每一扇門？如果不能，請(qǐng)說明理由。如果能，應(yīng)從哪開始走？ 分析與解：我們將每個(gè)展室看成一個(gè)點(diǎn)，室外看成點(diǎn)E，將每扇門看成一條線段，兩個(gè)展室間有門相通表示兩個(gè)點(diǎn)間有線段相連，于是得到右圖。能否不重復(fù)地穿過每扇門的問題，變?yōu)橛覉D是否一筆畫問題。 　　下圖中只有A，D兩個(gè)奇點(diǎn)，是一筆畫，所以答案是肯定的，應(yīng)該從A或D展室開始走。 例1的關(guān)鍵是如何把一個(gè)實(shí)際問題變?yōu)榕袛嗍欠褚还P畫問題，就像歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題時(shí)做的那樣。 例2 一個(gè)郵遞員投遞信件要走的街道如下圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局。怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？ 分析與解：圖中共有8個(gè)奇點(diǎn)，必須在8個(gè)奇點(diǎn)間添加4條線，才能消除所有奇點(diǎn)，成為能從郵局出發(fā)最后返回郵局的一筆畫。在距離最近的兩個(gè)奇點(diǎn)間添加一條連線，如左上圖中虛線所示，共添加4條連線，這4條連線表示要重復(fù)走的路，顯然，這樣重復(fù)走的路程最短，全程30千米。走法參考右上圖(走法不唯一)。 例3下圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是100米。小明沿線段從A點(diǎn)到B點(diǎn)，不許走重復(fù)路，他最多能走多少米？ 分析與解：這道題大多數(shù)同學(xué) 　　都采用試畫的方法，實(shí)際上可以用一筆畫原理求解。首先，圖中有8個(gè)奇點(diǎn)，在8個(gè)奇點(diǎn)之間至少要去掉4條線段，才能使這8個(gè)奇點(diǎn)變成偶點(diǎn)；其次，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)必須是奇點(diǎn)，現(xiàn)在A，B都是偶點(diǎn)，必須在與A，B連接的線段中各去掉1條線段，使A，B成為奇點(diǎn)。所以至少要去掉6條線段，也就是最多能走1800米，走法如下圖。或 例2與例3的圖中各有8個(gè)奇點(diǎn)，都是通過減少奇點(diǎn)個(gè)數(shù)，將多筆畫變成一筆畫的問題，但它們采用的方法卻完全不同。因?yàn)槔?中只要求走遍所有的線段，沒有要求不能重復(fù)，所以通過添加線段的方法(實(shí)際是重復(fù)走添加線段的這段路)，將奇點(diǎn)變?yōu)榕键c(diǎn)，使多筆畫變成一筆畫。而在例3中，要求不能走重復(fù)的路，所以不能添加線段，只能通過減少線段的方法，將奇點(diǎn)變?yōu)榕键c(diǎn)，使多筆畫變成一筆畫。區(qū)別就在于能否重復(fù)走！能“重復(fù)”就“添線”，不能“重復(fù)”就“減線”。 例4在六面體的頂點(diǎn)B和E處各有一只螞蟻(見下圖)，它們比賽看誰能爬過所有的棱線，最終到達(dá)終點(diǎn)D。已知它們的爬速相同，哪只螞蟻能獲勝？ 分析與解：許多同學(xué)看不出這 　　是一筆畫問題，但利用一筆畫的知識(shí)，能非常巧妙地解答這道題。這道題只要求爬過所有的棱，沒要求不能重復(fù)?？墒莾芍晃浵伵浪傧嗤?，如果一只不重復(fù)地爬遍所有的棱，而另一只必須重復(fù)爬某些棱，那么前一只螞蟻爬的路程短，自然先到達(dá)D點(diǎn)，因而獲勝。問題變?yōu)閺腂到D與從E到D哪個(gè)是一筆畫問題。圖中只有E，D兩個(gè)奇點(diǎn)，所以從E到D可以一筆畫出，而從B到D卻不能，因此E點(diǎn)的螞蟻獲勝。 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 一題多解 專題簡(jiǎn)析： 一題多解是指從不同角度，運(yùn)用不同的思維方式來解答同一道題的思考方法，經(jīng)常進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，可以鍛煉我們的思維，使頭腦更靈活。 在進(jìn)行一題多解的練習(xí)時(shí)，要根據(jù)題目的具體情況，首先確定思維的起點(diǎn)，然后沿著不同的思考方向，就能找到不同的解題方法。在尋求一題多解時(shí)，還應(yīng)該特別選擇解決問題的簡(jiǎn)便方法和最佳途徑。 例題1 有一個(gè)正方形池塘，四周種樹，每邊種8棵，每個(gè)頂點(diǎn)種一棵，每?jī)煽脴渲g距離都相等。四周一共種了多少棵樹？ 思路導(dǎo)航： 方法一：根據(jù)條件可知，每邊種8棵，4邊就是84=32棵，但每邊起點(diǎn)一棵算了兩次，一共多算了4棵，所以四周一共種了32－4=28棵樹。 方法二：我們可以先數(shù)正方形的一組對(duì)邊，包括兩個(gè)頂點(diǎn)的，每邊種8棵；再數(shù)另一組對(duì)邊的，不數(shù)兩個(gè)頂點(diǎn)的，每邊種8－2=6棵。所以，一共有：82＋62=28棵。 方法三：把正方形四邊拉直，每邊種8棵，就是把每邊分成了7等份，4邊共分成了28等份，每一等份對(duì)應(yīng)一棵樹，所以共有28棵樹。 練 習(xí) 一 1．在一個(gè)正方形的菜地四周圍籬笆，每個(gè)頂點(diǎn)插一根，每?jī)筛h笆之間的距離相等，每邊有12根籬笆，四周一共圍了多少根籬笆？ 2．有一個(gè)三角形花圃周圍種松樹，每個(gè)頂點(diǎn)種一棵，每邊種10棵，每?jī)煽弥g距離相等，四周一共種了多少棵？ 3．少先隊(duì)員表演節(jié)目，圍成一個(gè)正方形，每個(gè)頂點(diǎn)站1人，已知每邊站6人，一共站了多少人？ 例題2 一瓶花生油連瓶一共重800克，吃掉一半油，連瓶一起稱，還剩550克。瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？ 思路導(dǎo)航： 方法一：根據(jù)條件可知，花生油和瓶的重量油800克變?yōu)?50克，是因?yàn)槌缘袅艘话胗?，半瓶油的重量?00－550=250克，一瓶油的重量是2502=500克，油瓶的重量是800－500=300克。 方法二：根據(jù)條件可知，半瓶油連瓶重550克，從800克中減去半瓶油的重量800－550=250克，550－250=300克即為瓶的重量，油的重量為：800－300=500克。 方法三：根據(jù)“半瓶油連瓶共重550克”可求出一瓶油和兩個(gè)瓶共重5502=1100克，所以瓶重：1100－800=300克，油重800－300=500克。 練 習(xí) 二 1．一袋大米，連袋共重50千克。吃掉一半后，連袋剩下27千克。大米重多少千克？袋重多少千克？ 2．一筐蘋果連筐共重85千克，倒去一半后，連筐共重45千克。蘋果和筐各重多少千克？ 3．一筐橘子，連筐共重45千克。先拿一半送給幼兒園，再拿出剩下的一半給敬老院的老人，余下的橘子連筐重15千克。橘子和筐各重多少千克？ 例題3 甲班有42人，乙班有35人，開學(xué)時(shí)來了25位新同學(xué)，怎樣分才能使兩班學(xué)生人數(shù)相等？ 思路導(dǎo)航： 方法一：根據(jù)已知條件，我們可求出轉(zhuǎn)來了25位同學(xué)后的總?cè)藬?shù)為：42＋35＋25=102人，再求出平均每班為1022=51人，再根據(jù)甲班乙班原有的人數(shù)分別求出甲班分了：51－42=9人，乙班分了：51－35=16人。 方法二：根據(jù)已知條件，我們可先求出乙班比甲班少42－35=7人，那么25位新同學(xué)中我們可先分7人給乙班，使乙班和甲班一樣多，這樣就剩下25－7=18人。剩下的18人，我們?cè)倨骄纸o兩班，每班各分182=9人。 所以，甲班共分了9人，乙班共分了9＋7=16人。 練 習(xí) 三 1．小明有18枝鉛筆，小紅有15枝鉛筆，媽媽又買來13枝鉛筆，怎樣分，才能使兩人鉛筆一樣多？ 2．甲倉庫有糧食420噸，乙倉庫有糧食370噸，又運(yùn)來糧食180噸，怎樣分，才能使兩倉庫糧食一樣多？ 3．有甲、乙兩筐蘋果，甲筐有蘋果25千克，乙筐有蘋果18千克，又買來13千克蘋果，怎樣分才能使兩筐蘋果一樣多？ 例題4 從小青家經(jīng)小紅和小強(qiáng)家到學(xué)校有450米，從小青家到小強(qiáng)家有390米，從學(xué)校到小紅家有320米。從小紅家到小強(qiáng)家有多少米？ 思路導(dǎo)航：根據(jù)題意，畫出線段圖。 方法一：從小青家到學(xué)校有450米，到小強(qiáng)家有390米，說明小強(qiáng)家到學(xué)校有450－390=60米，又因?yàn)樾〖t家到學(xué)校有320米，所以小紅家到小強(qiáng)家有320－60=260米。 方法二：根據(jù)上面線段圖和已知條件可知： 從小青家到學(xué)校有450米，從學(xué)校到小紅家有320米，說明小青家到小紅家有450－320=130米。又因?yàn)樾∏嗉业叫?qiáng)家有390米，所以小紅家到小強(qiáng)家有390－320=260米。 方法三：根據(jù)上面線段圖和已知條件可知： 從小青家到小強(qiáng)家有390米，從學(xué)校到小紅家有320米。我們可求出小青家到學(xué)校與小紅家到小強(qiáng)家的距離為390＋320=710米，從中減去小青家到學(xué)校的距離450米，就是小紅家到小強(qiáng)家的距離：710－450=260米。 練 習(xí) 四 1．亮亮經(jīng)過小明、小丹家到電影院共500米，從亮亮家到小丹家是270米，從小明家到電影院是410米。從小明家到小丹家多少米？ 2．小敏外出旅游乘車回家，從汽車站經(jīng)醫(yī)院、商店到家共1000米，從汽車站到商店是620米，從醫(yī)院到家是690米。那么醫(yī)院到商店多少米？ 3．有兩塊木板，一塊長(zhǎng)70厘米，另一塊長(zhǎng)80厘米。如果把兩塊木板重疊后釘成一塊木板，全長(zhǎng)130厘米。重疊部分長(zhǎng)多少厘米？ 例題5 小青以均勻的速度在公路上散步，從第1根電線桿走到第10根電線桿共用了12分鐘，如果她走24分鐘，應(yīng)走到第幾根電線桿？ 思路導(dǎo)航： 方法一：根據(jù)題意，畫出線段圖。 從圖上可以看出，由于每個(gè)間隔所用的時(shí)間無法直接求出，因而只有從時(shí)間關(guān)系上加以考慮，24分鐘正好是12分鐘的2倍，就相當(dāng)于小青先走12分鐘，又繼續(xù)走12分鐘。注意第10根（圖中A處）既是前12分鐘的終點(diǎn)，又是后12分鐘的起點(diǎn)，顯然被重復(fù)算了一次。因此，小紅如果走24分鐘，應(yīng)走到102－1=19根電線桿處。 方法二：根據(jù)題意，畫出線段圖。 由圖可知，12分鐘走到第10根電線桿，共走了10－1=9個(gè)間隔，24分鐘正好是12分鐘的2倍，那么24分鐘就走了92=18個(gè)間隔。 要求應(yīng)走到第幾根電線桿，我們要加上起點(diǎn)B點(diǎn)那根電線桿，因而應(yīng)走到第18＋1=19根電線桿。 練 習(xí) 五 1．玲玲上樓，從一樓到三樓用6分鐘，如果她走12分鐘，應(yīng)走到幾樓？ 2．路的一旁插著彩旗，如果從第一面旗走到第4面旗要用12分鐘，那么走24分鐘能從第一面走到第幾面？ 3．小芳和媽媽用均勻的速度在馬路上散步，他們從第1根電線桿走到第12根電線桿，整整用了8分鐘。仍用這樣的速度，再走8分鐘，他們會(huì)走到第幾根電線桿？