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2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 包含與排除 　　同學(xué)們對這個題目可能很陌生，為了搞清楚什么是“包含與排除”，大家先一起回答兩個問題： 　　(1) 兩個面積都是4厘米2的正方形擺在桌面上(見左下圖)，它們遮蓋住桌面的面積是8厘米2嗎？ 　　(2)一個正方形每條邊上有6個點(見右上圖)，四條邊上一共有24個點嗎？ 　　聰明的同學(xué)馬上就會發(fā)現(xiàn)： 　　(1)兩個正方形的面積和是8厘米2，現(xiàn)在它們有一部分重疊了。因此蓋住桌面的面積應(yīng)當(dāng)從兩個正方形的面積和中減去重疊的這部分面積，所以蓋住桌面的面積應(yīng)少于8厘米2。 　　(2)四個角上的點每個點都在兩條邊上，因此被重復(fù)計算了，在求四條邊上共有多少點時，應(yīng)當(dāng)減去重復(fù)計算的點，所以共有 64-4＝ 20(個)點。 　　這兩個問題，在計算時，都采用了“去掉”重復(fù)的數(shù)值(面積或個數(shù))的方法。 　　一般地，若已知A，B，C三部分的數(shù)量(見右圖)，其中C為A，B的重復(fù)部分，則圖中的數(shù)量就等于 　　A＋ B- C。 　　因為A，B有互相包含(重復(fù))的部分C，所以，在求A和B合在一起的數(shù)量時，就要在A＋B中減去A和B互相包含的部分C。這種方法稱為包含排除法。 　　實際上，我們前面已經(jīng)遇到過包含與排除的問題。如，第10講“植樹問題”的例3和例4，只不過那時我們沒有明確提出“包含排除法”。 　　例1 把長38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條。已知焊接部分長4厘米，焊接后這根鐵條有多長？ 　　解：因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長 　　38＋ 53- 4＝ 87(厘米)。 　　例2某小學(xué)三年級四班，參加語文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有29人，有12人兩個小組都參加。這個班有多少人參加了語文或數(shù)學(xué)興趣小組？ 　 　　分析與解：如上頁左下圖所示，A圓表示參加語文興趣小組的人，B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，A與B重合的部分(陰影部分)表示同時參加兩個小組的人。圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有28-12＝16(人)；圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參加語文興趣小組的人，有29-12＝17(人)(見上頁右下圖)。 　　由此得到參加語文或數(shù)學(xué)興趣小組的有 　　16＋ 12＋ 17＝ 45(人)。 　　根據(jù)包含排除法，直接可得 　　28＋ 29- 12＝ 45(人)。 　　例3 某班共有46人，參加美術(shù)小組的有12人，參加音樂小組的有23人，有5人兩個小組都參加了。這個班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？ 　　分析與解：與例2對比，本例已知全班總?cè)藬?shù)，如果能仿照例2求出參加了美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，那么只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個人數(shù)，就得到所求的人數(shù)。 　　根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個小組的總?cè)藬?shù)為12＋ 23- 5＝ 30(人)。所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46-30=16(人)。綜合列式為 　　46- ( 12＋ 23- 5)＝ 16(人)。 　　例4 三年級科技活動組共有63人。在一次剪貼汽車模型和裝配飛機模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機模型的同學(xué)有34人。每個同學(xué)都至少完成了一項活動。問：同時完成這兩項活動的同學(xué)有多少人？ 　　分析與解：因42＋34＝76，76＞63，所以必有人同時完成了這兩項活動。由于每個同學(xué)都至少完成了一項活動，根據(jù)包含排除法知， 　　42＋34-(完成了兩項活動的人數(shù))=全組人數(shù)，即76-(完成了兩項活動的人數(shù))＝63。 　　由減法運算法則知，完成兩項活動的人數(shù)為 　　76-63＝13(人)。 　　例5 在前100個自然數(shù)中，能被2或3整除的數(shù)有多少個？ 　　分析與解：如右圖所示，A圓內(nèi)是前100個自然數(shù)中所有能被2整除的數(shù)，B圓內(nèi)是前100個自然數(shù)中所有能被3整除的數(shù)，C為前100個自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)。 　　前100個自然數(shù)中能被2整除的數(shù)有1002=50 　　(個)。由 1003＝ 33…… 1知，前 100個自然數(shù)中能被 3整除的數(shù)有 33個。由 100(23)＝ 16……4知，前 100個自然數(shù)中既能被2整除也能被3整除的數(shù)有16個。 　　所以A中有50個數(shù)，B中有33個數(shù)，C中有16個數(shù)。因為A，B都包含C，根據(jù)包含排除法得到，能被2或3整除的數(shù)有 　　50＋ 33- 16＝ 67(個)。 附送： 2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 周期問題 專題簡析： 在日常生活中，有一些按照一定的規(guī)律不斷重復(fù)的現(xiàn)象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四個季節(jié)，一個星期七天等等。像這樣日常生活中常碰到的有一定周期的問題，我們稱為簡單周期問題。這類問題一般要利用余數(shù)的知識來解答。 在研究這些簡單周期問題時，我們首先要仔細(xì)審題，判斷其不斷重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律，也就是找出循環(huán)的固定數(shù)，然后利用除法算式求出余數(shù)，最后根據(jù)余數(shù)得出正確的結(jié)果。 例題1 小丁把同樣大小的紅、白、黑珠子按先2個紅的、后1個白的、再3個黑的的規(guī)律排列（如下圖），請你算一算，第32個珠子是什么顏色？ 從上圖可以看出，珠子是按“兩紅一白三黑”的規(guī)律重復(fù)排列，即6個珠子為一周期。326=5（組）……2（個），32個珠子中含有5個周期多2個，所以第32個珠子就是重復(fù)5個周期后的第2個珠子，應(yīng)為紅色。 練 習(xí) 一 1．如圖，算出第20個圖形是什么？ ○△△□□□○△△□□□○△△…… 2．“數(shù)學(xué)趣味題數(shù)學(xué)趣味題……”依次重復(fù)排列，第xx個字是什么？ 3．把38面小三角旗按下圖排列，其中有多少面白旗？ 例題2 2001年10月1日是星期一，問：10月25日是星期幾？ 思路導(dǎo)航：我們知道，每星期有7天，也就是說以7天為一個周期不斷地重復(fù)。從10月1日到10月25日經(jīng)過25－1=24天，247=3（星期）……3（天），說明24天中包括3個星期還多3天。所以從10月1日開始過3個星期，最后一天還是星期一，從這最后一天起再過3天就應(yīng)是星期四。 練 習(xí) 二 1．2001年5月3日是星期四，5月20日是星期幾？ 2．2001年8月1日是星期三，8月28日是星期幾？ 3．2001年6月1日是星期五，9月1日是星期幾？ 例題3 100個3相乘，積的個位數(shù)字是幾？ 思路導(dǎo)航：這道題我們只考慮積的個位數(shù)字的排列規(guī)律。1個3，積的個位是3；2個3相乘積的個位數(shù)字是9；3個3相乘積的個位數(shù)字是7；4個3相乘積的個位數(shù)字是1；5個3相乘積的個位數(shù)字是3……可以發(fā)現(xiàn)，積的個位數(shù)字分別以3、9、7、1不斷重復(fù)出現(xiàn)，即每4個3積的個位數(shù)字為一周期。1004=25（個），因此100個3相乘積的個位數(shù)字是第25個周期中的最后一個，即是1。 練 習(xí) 三 1．23個3相乘，積的個位數(shù)字是幾？ 2．100個2相乘，積的個位數(shù)字是幾？ 3．50個7相乘，積的個位數(shù)字是幾？ 例題4 有一列數(shù)按“432791864327918643279186……”排列，那么前54個數(shù)字之和是多少？ 思路導(dǎo)航：上面一列數(shù)中，從第1個數(shù)字開始重復(fù)出現(xiàn)的部分是“43279186”，周期數(shù)是8。要求出這列數(shù)字的和，就要先求出這列數(shù)里共有多少組“43279186”。 548=6（組）……6（個） 因此，前6組數(shù)字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）6=240，余下6個數(shù)字之和是4＋3＋2＋7＋9＋1=26。所以，這列數(shù)中前54個數(shù)字之和是240＋26=266。 練 習(xí) 四 1．一列數(shù)按“294736294736294……”排列，那么前40個數(shù)字之和是多少？ 2．有一列數(shù)按“9453672945367294……”排列，那么前50個數(shù)字之和是多少？ 3．有一列數(shù)“7231652316523165……”，請問從左起第2個數(shù)字到第25個數(shù)字之間（含第2個與第25個數(shù)字）所有數(shù)字的和是多少？ 例題5 小紅買了一本童話書，每兩頁文字之間有3頁插圖，也就是說3頁插圖前后各有1頁文字。如果這本書有128頁，而第1頁是文字，這本童話書共有插圖多少頁？ 思路導(dǎo)航：已知這本童話書3頁插圖前后各有1頁文字，也就是說這本書是按“1頁文字3頁插圖“的規(guī)律重復(fù)排列的，把“1頁文字3頁插圖”看作一周期，128頁中含有128（1＋3）=32個周期，所以這本童話書共有插圖332=96頁。 練 習(xí) 五 1．校門口擺了一排花，每兩盆菊花之間擺3盆月季，共擺了112盆花。如果第一盆花是菊花，那么共擺了多少盆月季花？ 2．同學(xué)們做早操，36個同學(xué)排成一列，每兩個女生中間是兩個男生，第一個是女生，這列隊伍中男生有多少人？ 3．一個圓形花輔周圍長30米，沿周圍每隔3米插一面紅旗，每兩面紅旗中間插兩面黃旗。花輔周圍共插了多少面黃旗？