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2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 年齡問題 專題簡析： 年齡問題可以說是前面所講的和差問題及差倍問題的綜合，要正確解答這類題，首先要弄清：兩個不同年齡的人，年齡之差始終不變，但兩個人年齡的倍數(shù)關(guān)系卻在不斷地變化。 年齡問題的主要特征是：大小年齡差是一個不變的量。我們可以抓住差不變這個特點(diǎn)，利用和差、差倍等知識來分析解答這類應(yīng)用題。 例題1 三年前爸爸年齡是女兒的4倍，爸爸今年43歲，女兒今年多少歲？ 思路導(dǎo)航：由題意可知爸爸今年43歲，則三年前爸爸的年齡是43－3=40歲，40歲正好是女兒年齡的4倍，女兒三年前的年齡是404=10歲，今年女兒的年齡是10＋3=13歲。 練 習(xí) 一 1．四年前小林年齡是小麗的2倍，小林今年12歲，小麗今年多少歲？ 2．五年前爺爺年齡是孫子的7倍，孫子今年14歲，爺爺今年多少歲？ 3．兒子今年10歲，爸爸今年34歲。幾年前，爸爸的年齡是兒子的4倍？ 例題2 明明4歲時，媽媽年齡是明明的8倍。今年明明12歲，媽媽今年多少歲？ 思路導(dǎo)航：媽媽的年齡是明明的8倍，那么媽媽與明明的年齡相差48－4=28歲。媽媽與明明的年齡差是不變的，今年明明12歲，那么媽媽的年齡是12＋28=40歲。 練 習(xí) 二 1．玲玲7歲時，爸爸年齡是玲玲的5倍。今年爸爸40歲，玲玲今年多少歲？ 2．爺爺63歲時，他的年齡是小青的9倍。今年小青12歲，爺爺今年多少歲？ 3．兩年前媽媽年齡是兒子的5倍，兒子今年9歲，媽媽今年多少歲？ 例題3 女兒今年3歲，媽媽今年33歲。幾年后，媽媽的年齡是女兒的7倍？ 思路導(dǎo)航：女兒今年3歲，媽媽今年33歲，她們的年齡差是33－3=30歲。她們年齡差不變，幾年后，媽媽的年齡是女兒的3倍，把女兒的年齡看作1份，媽媽的年齡就有7份，相差7－1=6份，6份是30歲，所以幾年后女兒的年齡是306=5歲。也就是說，5－3=2年后，媽媽的年齡是女兒的7倍。 練 習(xí) 三 1．小明今年7歲，爺爺今年62歲。幾年前，爺爺?shù)哪挲g是小明的12倍？ 2．兒子今年2歲，爸爸今年的年齡是兒子的16倍。幾年后，爸爸的年齡是兒子的7倍？ 3．媽媽今年26歲，是小玲年齡的13倍。幾年后，媽媽的年齡是小玲的7倍？ 例題4 4年前，媽媽的年齡是女兒的3倍，4年后，母女年齡和是56歲。媽媽今年多少歲？ 思路導(dǎo)航：4年后，母子的年齡和是56歲，可求出今年母子年齡和是56－42=48歲。4年前母子年齡和是48－42=40歲。又根據(jù)4年前，媽媽年齡是女兒的3倍，把女兒年齡看作1份，媽媽的年齡就有這樣的3份，共有3＋1=4份。所以4年前女兒的年齡是404=10歲，媽媽今年的年齡是103＋4=34歲。 練 習(xí) 四 1．3年前，哥哥的年齡是弟弟的2倍。3年后，哥弟倆的年齡和是30歲。哥哥今年多少歲？ 2．5年前，小明的年齡是小紅的3倍。5年后，小明和小紅年齡和是44歲。今年小明多少歲？ 3．7年前，姐姐的年齡是妹妹的4倍。7年后，姐妹倆的年齡和是48歲。姐姐今年多少歲？ 例題5 明明今年12歲，強(qiáng)強(qiáng)今年7歲，當(dāng)兩人的年齡和是45歲時，兩人各多少歲？ 思路導(dǎo)航：明明和強(qiáng)強(qiáng)的年齡差為12－7=5歲，這是一個不變量。當(dāng)兩人的年齡和是45歲時，明明比強(qiáng)強(qiáng)還是大5歲，如果從兩人的年齡和45歲里減去兩人的年齡差5歲，得到的就是兩個強(qiáng)強(qiáng)的年齡。所以，強(qiáng)強(qiáng)的年齡是（45－5）2=20歲，明明的年齡是20＋5=25歲。 練 習(xí) 五 1．小紅今年4歲，今年10歲，當(dāng)兩人的年齡和是30歲時，兩人各多少歲？ 2．聰聰今年2歲，媽媽今年28歲。當(dāng)母子倆的年齡和是42歲時，兩人各多少歲？ 3．蘭蘭今年12歲，婷婷今年14歲，當(dāng)兩人的年齡和是40歲時，兩人各多少歲？ 附送： 2019-2020年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 應(yīng)用同余問題 專題簡析： 同余這個概念最初是由偉大的德國數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的： 兩個整數(shù)a，b，如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)相同，則稱a，b對于模m同余。記作：a≡b（mod ｍ）。讀做：ａ同余于ｂ模ｍ。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的余數(shù)2，這時我們就說，對于除數(shù)5，12和47同余，記做12≡47（mod　5）。 同余的性質(zhì)比較多，主要有以下一些： 性質(zhì)（1）：對于同一個除數(shù)，兩個數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余。比如：32除以5余數(shù)是2，19除以5余數(shù)是4，兩個余數(shù)的和是2+4=6?！?2+19”除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說，對于除數(shù)5，“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4”同余，用符號表示就是：32≡2（mod　5），19≡4（mod　5），32+19≡2+4≡1（mod　5） 性質(zhì)（2）：對于同一個除數(shù)，兩個數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。 性質(zhì)（3）：對于同一個除數(shù)，如果有兩個整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個除數(shù)整除。 性質(zhì)（4）：對于同一個除數(shù)，如果兩個整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。 應(yīng)用同余性質(zhì)解題的關(guān)鍵是要在正確理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用同余性質(zhì)。把求一個較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求一個較小的數(shù)除以這個數(shù)的余數(shù)，使復(fù)雜的題變簡單，使困難的題變?nèi)菀住? 例題1： 求199259除以7的余數(shù)。 應(yīng)用同余性質(zhì)（2）可將199259轉(zhuǎn)化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積，使計算簡化。1992除以7余4，59除以7余3。根據(jù)同余性質(zhì)，“43”除以7的余數(shù)與“199259”除以7的余數(shù)應(yīng)該是相同的，通過求“43”除以7的余數(shù)就可知道199259除以7的余數(shù)了。 因?yàn)?99259≡43≡5（mod 7） 所以199259除以7的余數(shù)是5。 練習(xí)1： 1．求4217364除以6的余數(shù)。 2．求133965512除以13的余數(shù)。 3．求87943765283除以11的余數(shù)。 例題2： 已知xx年的國慶節(jié)是星期一，求xx年的國慶節(jié)是星期幾？ 一星期有7天，要求xx年的國慶節(jié)是星期幾，就要求從xx年到xx年的國慶節(jié)的總天數(shù)被7除的余數(shù)就行了。但在計算中，如果我們能充分利用同余性質(zhì)，就可以不必算出這個總天數(shù)。 xx年國慶節(jié)到xx年國慶節(jié)之間共有2個閏年7個平年，即有“3662+3657”天。因?yàn)?662≡22≡4（mod 7），3657≡17≡0（mod 7），3662+3657≡22+17≡4+0≡4（mod 7） 答：xx年的國慶節(jié)是星期五。 練習(xí)2： 1．已知xx年元旦是星期二。求xx年元旦是星期幾？ 2．已知xx年的“七月一日”是星期一。求xx年的“十月一日”是星期幾？ 3．今天是星期四，再過365的15次方是星期幾？ 例題3： 求xx的xx次方除以13的余數(shù)。 xx除以13余12，即xx≡12（mod 13）。根據(jù)同余性質(zhì)（4），可知xx的xx次方≡12的xx次方（mod 13），但12的xx次方仍然是一個很大的值，要求它的余數(shù)比較困難。這時的關(guān)鍵就是要找出12的幾次方對模13與1是同余的。經(jīng)試驗(yàn)可知12的平方≡1（mod 13），而xx≡21001+1。所以（12的平方）的1001次方≡1的1001（mod 13），即12的xx次方≡1（mod 13），而12的xx次方≡12的xx次方12。根據(jù)同余性質(zhì)（2）可知12的xx次方12≡112≡12（mod 13） 因?yàn)椋簒x的xx次方≡12的xx次方（mod 13） 12的平方≡1（mod 13），而xx≡21001+1 12的xx次方≡12的xx次方12≡112≡12（mod 13） 所以xx的xx次方除以13的余數(shù)是12。 練習(xí)3： 1．求12的200次方除以13的余數(shù)。 2．求3的92次方除以21余幾。 3．9個小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？ 例題4： 自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？ 自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，換句話說就是16520≡14903≡14177（mod m）。根據(jù)同余性質(zhì)（3），這三個數(shù)同余，那么它們的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它們差的最大公約數(shù)是多少？ 因?yàn)?6520—14903=1617=37的平方11 16520—14177=2343=31171 14903—14177=726=2311的平方 M是這些差的公約數(shù)，m最大是311=33。 練習(xí)4： 1．若2836、4582、5164、6522四個整數(shù)都被同一個兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相同。除數(shù)是多少？ 2．一個整數(shù)除226、192、141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為0，這個整數(shù)是幾？ 3．當(dāng)1991和1769除以某一個自然數(shù)m時，余數(shù)分別為2和1，那么m最小是多少？ 例題5： 某數(shù)用6除余3，用7除余5，用8除余1，這個數(shù)最小是幾？ 我們可從較大的除數(shù)開始嘗試。首先考慮與1模8同余的數(shù)，9≡1（mod 8），但9輸以7余數(shù)不是5，所以某數(shù)不是9。17≡1（mod 8），17除以7的余數(shù)也不是5。25≡1（mod 8），25除以7的余數(shù)也不是5。33≡1（mod 8），33除以7的余數(shù)正好是5，而且33除以6余數(shù)正好是3，所以這個數(shù)最小是33。上面的方法實(shí)際是一種列舉法，也可以簡化為下面的格式： 被8除余1的數(shù)有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，……其中被7除余5的數(shù)有：33，89，……這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33。 練習(xí)5： 1．某數(shù)除以7余1，除以5余1，除以12余9。這個數(shù)最小是幾？ 2．某數(shù)除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此數(shù)最小值。