第3課時(shí) 直線與橢圓的位置關(guān)系
基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(水平一 )
1.若直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點(diǎn),則過點(diǎn)(a,b)的直線與橢圓x29+y24=1的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ).
A.0 B.1
C.2 D.與a,b的值有關(guān)
【解析】因?yàn)橹本€ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點(diǎn),所以原點(diǎn)到直線的距離d=4a2+b2>2,所以a2+b2<4,所以點(diǎn)(a,b)是在以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓內(nèi)的點(diǎn).因?yàn)闄E圓的長半軸長為3,短半軸長為2,所以圓x2+y2=4內(nèi)切于橢圓,所以點(diǎn)(a,b)是橢圓內(nèi)的點(diǎn),所以過點(diǎn)(a,b)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選C.
【答案】C
2.直線y=kx+3與橢圓x28+y2m=1恒有公共點(diǎn),則m的取值范圍是( ).
A.m≥3且m≠8 B.m≥9
C.m≠8 D.m≤8
【解析】因?yàn)橹本€恒過定點(diǎn)(0,3),且直線與橢圓恒有公共點(diǎn),所以需使點(diǎn)(0,3)在橢圓內(nèi)或橢圓上,所以9m≤1,即m≥9.
【答案】B
3.橢圓x216+y29=1中,以點(diǎn)M(-1,2)為中點(diǎn)的弦所在的直線斜率為( ).
A.916 B.932 C.964 D.-932
【解析】設(shè)直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=-2,
設(shè)直線為y=k(x+1)+2,
聯(lián)立y=kx+k+2,x216+y29=1,
得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0.
所以x1+x2=-32k(k+2)9+16k2,
所以-32k(k+2)9+16k2=-2,解得k=932.
故選B.
【答案】B
4.已知橢圓E:x2m+y24=1,對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,下列直線被橢圓E截得的弦長與直線l:y=kx+1被橢圓E截得的弦長不可能相等的是( ).
A.kx+y+k=0 B.kx-y-1=0
C.kx+y-k=0 D.kx+y-2=0
【解析】A選項(xiàng)中,當(dāng)k=-1時(shí),兩直線關(guān)于y軸對(duì)稱,兩直線被橢圓E截得的弦長相等;B選項(xiàng)中,當(dāng)k=1時(shí),兩直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,兩直線被橢圓E截得的弦長相等;C選項(xiàng)中,當(dāng)k=1時(shí),兩直線關(guān)于y軸對(duì)稱,兩直線被橢圓E截得的弦長相等.
【答案】D
5.已知橢圓C:x23+y2=1,斜率為1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=322,則直線l的方程為 .
【解析】設(shè)直線l的方程為y=x+m,聯(lián)立y=x+m,x23+y2=1,
化簡(jiǎn)得4x2+6mx+3m2-3=0,
∴x1+x2=-6m4,x1x2=3m2-34.
∵|AB|=1+k2|x1-x2|,
∴2-6m42-43m2-34=322,
∴m=1,∴直線l的方程為y=x1.
【答案】y=x1
6.過點(diǎn)M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率為 .
【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程相減得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,根據(jù)題意有x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且y1-y2x1-x2=-12,所以2a2+2b2-12=0,整理得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以ca=22,即e=22.
【答案】22
7.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,且一個(gè)焦點(diǎn)為(0,-2),點(diǎn)A(1,2)在該橢圓上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若斜率為2的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,當(dāng)△ABC的面積最大時(shí),求直線l的方程.
【解析】(1)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,-2),設(shè)橢圓方程為y2a2+x2a2-2=1(a>2).
將點(diǎn)A(1,2)代入方程,得2a2+1a2-2=1,
整理得a4-5a2+4=0,解得a2=4或a2=1(舍去),
故所求橢圓方程為y24+x22=1.
(2)設(shè)直線BC的方程為y=2x+m,點(diǎn)B(x1,y1),C(x2,y2),
代入橢圓方程并化簡(jiǎn),得4x2+22mx+m2-4=0,
由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,
可得0≤m2<8. (*)
又x1+x2=-22m,x1x2=m2-44,
故|BC|=3|x1-x2|=316-2m22.
又點(diǎn)A到直線BC的距離為d=|m|3,
故S△ABC=12|BC|d=m2(16-2m2)4
≤1422m2+(16-2m2)2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)2m2=16-2m2,即m=2時(shí)取等號(hào)(滿足*式),此時(shí)直線l的方程為y=2x2.
拓展提升(水平二)
8.設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P(a,b)滿足|F1F2|=|PF2|,設(shè)直線PF2與橢圓交于M,N兩點(diǎn).若|MN|=16,則橢圓的方程為( ).
A.x2144+y2108=1 B.x2100+y275=1
C.x236+y227=1 D.x216+y212=1
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P(a,b)滿足|F1F2|=|PF2|,所以(a-c)2+b2=2c.
整理得2e2+e-1=0,解得e=12.所以a=2c,b=3c,橢圓的方程為3x2+4y2=12c2.
直線PF2的方程為y=3(x-c),將直線方程代入橢圓方程,
整理得5x2-8cx=0,解得x=0或x=85c,
所以M(0,-3c),N85c,335c,
因此|MN|=165c=16,所以c=5.
所以橢圓的方程為x2100+y275=1,故選B.
【答案】B
9.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)“三巨匠”,他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是:已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A,B的距離之比為λ(λ>0,λ≠1),那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.下面,我們來研究與此相關(guān)的一個(gè)問題.已知圓:x2+y2=1和點(diǎn)A-12,0,點(diǎn)B(1,1),M為圓O上的動(dòng)點(diǎn),則2|MA|+|MB|的最小值為( ).
A.6 B.7 C.10 D.11
【解析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),令2|MA|=|MC|,則|MA||MC|=12.
由題意知,圓x2+y2=1是關(guān)于點(diǎn)A,C的阿波羅尼斯圓,且λ=12.
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C(m,n),
則|MA||MC|=x+122+y2(x-m)2+(y-n)2=12,
整理得x2+y2+2m+43x+2n3y=m2+n2-13.
由題意得該圓的方程為x2+y2=1,
∴2m+4=0,2n=0,m2+n2-13=1,解得m=-2,n=0,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0),
∴2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|,
因此當(dāng)點(diǎn)M位于圖中點(diǎn)M1,點(diǎn)M2的位置時(shí),2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小,最小值為10,故選C.
【答案】C
10.若點(diǎn)(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,則yx-2的最大值為 ,最小值為 .
【解析】yx-2表示橢圓上的點(diǎn)(x,y)與定點(diǎn)(2,0)連線的斜率.
不妨設(shè)yx-2=k,則過定點(diǎn)(2,0)的直線方程為y=k(x-2).
由y=k(x-2),4x2+y2=4,得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.
令Δ=(-4k2)2-4(k2+4)(4k2-4)=0,
解得k=233,
所以yx-2的最大值為233,yx-2的最小值為-233.
【答案】233 -233
11.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,其中左焦點(diǎn)為F(-2,0).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上,求m的值.
【解析】(1)由題意,得ca=22,c=2,a2=b2+c2,解得a=22,b=2.
∴橢圓C的方程為x28+y24=1.
(2)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),
由x28+y24=1,y=x+m,消去y,得3x2+4mx+2m2-8=0,
∵Δ=96-8m2>0,∴-23
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