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2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律法 　　觀察、搜集已知事實，從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的線索，用以探索未知事件的奧秘，是人類智力活動的主要內(nèi)容。 　　數(shù)學(xué)上有很多材料可用以來模擬這種活動、培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。 　　例1 觀察數(shù)列的前面幾項，找出規(guī)律，寫出該數(shù)列的第100項來？ 　　12345，23451，34512，45123，… 　　解：為了尋找規(guī)律，再多寫出幾項出來，并給以編號： 　　 　　仔細觀察，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的第6項同第1項，第7項同第2項，第8項同第3項，…也就是說該數(shù)列各項的出現(xiàn)具有周期性，他們是循環(huán)出現(xiàn)的，一個循環(huán)節(jié)包含5項。 　　1005=20。 　　可見第100項與第5項、第10項一樣（項數(shù)都能被5整除），即第100項是51234。 　　例2 把寫上1到100這100個號碼的牌子，像下面那樣依次分發(fā)給四個人，你知道第73號牌子會落到誰的手里？ 　　解：仔細觀察，你會發(fā)現(xiàn)： 　　分給小明的牌子號碼是1，5，9，13，…，號碼除以4余1； 　　分給小英的牌子號碼是2，6，10，14，…，號碼除以4余2； 　　分給小方的牌子號碼是3，7，11，…，號碼除以4余3； 　　分給小軍的牌子號碼是4，8，12，…，號碼除以4余0（整除）。 　　因此，試用4除73看看余幾？ 　　734=18…余 1 　　可見73號牌會落到小明的手里。 　　這就是運用了如下的規(guī)律： 　　用這種規(guī)律預(yù)測第幾號牌子發(fā)給誰，是很容易的，請同學(xué)們自己再試一試。 　　例3 四個小動物換位，開始小鼠、小猴、小兔和小貓分別坐在1、2、3、4號位子上（如下圖所示）。第一次它們上下兩排換位，第二次左右換位，第三次又上下交換，第四次左右交換。這樣一直交換下去，問十次換位后，小兔坐在第幾號座位上？ 　　解：為了能找出變化規(guī)律，再接著寫出幾次換位情況，見下圖。 　　盯住小兔的位置進行觀察： 　　第一次換位后，它到了第1號位； 　　第二次換位后，它到了第2號位； 　　第三次換位后，它到了第4號位； 　　第四次換位后，它到了第3號位； 　　第五次換位后，它又到了第1號位； 　　… 　　可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過四次換位后，小兔又回到了原來的位置，利用這個規(guī)律以及104=2…余2，可知： 　　第十次換位后，小兔的座位同第二次換位后的位置一樣，即在第二號位。 　　如果再仔細地把換位圖連續(xù)起來研究研究，可以發(fā)現(xiàn)，隨著一次次地交換， 　　小兔的座位按順時針旋轉(zhuǎn)， 　　小鼠的座位按逆時針旋轉(zhuǎn)， 　　小猴的座位按順時針旋轉(zhuǎn)， 　　小貓的座位按逆時針旋轉(zhuǎn)， 　　按這個規(guī)律也可以預(yù)測任何小動物在交換幾次后的座位。 　　例4 從1開始，每隔兩個數(shù)寫出一個數(shù)，得到一列數(shù)，求這列數(shù)的第100個數(shù)是多少？ 　　1，4，7，10，13，… 　　解：不難看出，這是一個等差數(shù)列，它的后一項都比相鄰的前一項大3，即公差=3，還可以發(fā)現(xiàn)： 　　第2項等于第1項加1個公差即 　　4=1+13。 　　第3項等于第1項加2個公差即 　　7=1+23。 　　第4項等于第1項加3個公差即 　　10=1+33。 　　第5項等于第1項加4個公差即 　　13=1+43。 　　… 　　可見第n項等于第1項加（n-1）個公差，即 　　　 　　按這個規(guī)律，可求出： 　　第100項=1+（100-1）3=1+993=298。 　　例5 畫圖游戲先畫第一代，一個△，再畫第二代，在△下面畫出兩條線段，在一條線段的末端又畫一個△，在另一條的末端畫一個○；畫第三代，在第二代的△下面又畫出兩條線段，一條末端畫△，另一條末端畫○；而在第二代的○的下面畫一條線，線的末端再畫一個△；…一直照此畫下去（見下圖），問第十次的△和○共有多少個？ 　　解：按著畫圖規(guī)則繼續(xù)畫出幾代，以便于觀察，以期從中找出圖形的生成規(guī)律，見下圖。 　　數(shù)一數(shù)，各代的圖形（包括△和○）的個數(shù)列成下表： 　　可以發(fā)現(xiàn)各代圖形個數(shù)組成一個數(shù)列，這個數(shù)列的生成規(guī)律是，從第三項起每一項都是前面兩項之和。按此規(guī)律接著把數(shù)列寫下去，可得出第十代的△和○共有89個（見下表）： 　　這就是著名的裴波那契數(shù)列。裴波那契是意大利的數(shù)學(xué)家，他生活在距今大約七百多年以前的時代。 　　例6 如下圖所示，5個大小不等的中心有孔的圓盤，按大的在下、小的在上的次序套在木樁上構(gòu)成了一座圓盤塔。現(xiàn)在要把這座圓盤塔移到另一個木樁上。規(guī)定移動時要遵守一個條件，每搬一次只許拿一個圓盤而且任何時候大圓盤都不能壓住小圓盤。假如還有第三個木樁可作臨時存放圓盤之用。問把這5個圓盤全部移到另一個木樁上至少需要搬動多少次？（下圖所示） 　　解：先從最簡單情形試起。 　?、佼攦H有一個圓盤時，顯然只需搬動一次（見下頁圖）。 　?、诋斢袃蓚€圓盤時，只需搬動3次（見下圖）。 　?、郛斢腥齻€圓盤時，需要搬動7次（見下頁圖）。 　　 　　總結(jié)，找規(guī)律： 　?、佼攦H有一個圓盤時，只需搬1次。 　?、诋斢袃蓚€圓盤，上面的小圓盤先要搬到臨時樁上，等大圓盤搬到中間樁后，小圓盤還得再搬回來到大圓盤上。所以小的要搬兩次，下面的大盤要搬1次。這樣搬到兩個圓盤需3次。 　　③當有三個圓盤時，必須先要把上面的兩個小的圓盤搬到臨時樁上，見上圖中的（1）～（3）。由前面可知，這需要搬動3次。然后把最下層的最大圓盤搬一次到中間樁上，見圖（4），之后再把上面的兩個搬到中間樁上，這又需搬3次，見圖中（5）～（7）。 　　所以共搬動23+1=7次。 　　④推論，當有4個圓盤時，就需要先把上面的3個圓盤搬到臨時樁上，需要7次，然后把下面的大圓盤搬到中間樁上（1次），之后再把臨時樁上的3個圓盤搬到中間樁上，這又需要7次，所以共需搬動27+1=15次。 　?、菘梢姰斢?個圓盤時，要把它按規(guī)定搬到中間樁上去共需要： 　　215+1=31次。 　　這樣也可以寫出一個一般的公式（叫遞推公式） 　　 　　對于有更多圓盤的情況可由這個公式算出來。 　　 　　進一步進行考察，并聯(lián)想到另一個數(shù)列： 　　 　　若把n個圓盤搬動的次數(shù)寫成an，把兩個表對照后， 　　可得出 　　 　　有了這個公式后直接把圓盤數(shù)代入計算就行了，不必再像前一個公式那樣進行遞推了。 附送： 2019-2020年二年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 找規(guī)律（一） 　　例1 觀察下面由點組成的圖形（點群），請回答： 　?。?）方框內(nèi)的點群包含多少個點？ 　　（2）第（10）個點群中包含多少個點？ 　?。?）前十個點群中，所有點的總數(shù)是多少？ 　　 　　解：數(shù)一數(shù)可知：前四個點群中包含的點數(shù)分別是： 　　1，4，7，10。 　　可見，這是一個等差數(shù)列，在每相鄰的兩個數(shù)中，后一個數(shù)都比前一個數(shù)大3（即公差是3）。 　?。?）因為方框內(nèi)應(yīng)是第（5）個點群，它的點數(shù)應(yīng)該是10+3=13（個）。 　　（2）列表，依次寫出各點群的點數(shù)， 　　 　　可知第（10）個點群包含有28個點。 　?。?）前十個點群，所有點的總數(shù)是： 　　1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（個） 　　 　　例2 圖6—2表示“寶塔”，它們的層數(shù)不同，但都是由一樣大的小三角形擺成的。仔細觀察后，請你回答： 　?。?）五層的“寶塔”的最下層包含多少個小三角形？ 　?。?）整個五層“寶塔”一共包含多少個小三角形？ 　　（3） 從第（1）到第（10）的十個“寶塔”，共包含多少個小三角形？ 　　解：（1）數(shù)一數(shù)“寶塔”每層包含的小三角形數(shù)： 　　可見1，3，5，7是個奇數(shù)列，所以由這個規(guī)律猜出第五層應(yīng)包含的小三角形是9個。 　　（2）整個五層塔共包含的小三角形個數(shù)是： 　　1+3+5+7+9=25（個）。 　?。?）每個“寶塔”所包含的小三角形數(shù)可列表如下： 　 　　由此發(fā)現(xiàn)從第（1）到第（10）共十個“寶塔”所包含的小三角形數(shù)是從1開始的自然數(shù)平方數(shù)列前十項之和： 　　例3 下面的圖形表示由一些方磚堆起來的“寶塔”。仔細觀察后，請你回答： 　?。?）從上往下數(shù)，第五層包含幾塊磚？ 　?。?）整個五層的“寶塔”共包含多少塊磚？ 　?。?）若另有一座這樣的十層寶塔，共包含多少塊磚？ 　　解：（1）數(shù)一數(shù)，“寶塔”每層包含的方磚塊數(shù)： 　　可見各層的方磚塊數(shù)組成自然數(shù)平方數(shù)列，按此規(guī)律，第五層應(yīng)包含的方磚塊數(shù)是： 　　55=25（塊）。 　?。?）整個五層“寶塔”共包含的方磚塊數(shù)應(yīng)是從1開始的前五個自然數(shù)的平方數(shù)相加之和，即： 　　1+4+9+16+25=55（塊）。 　?。?）根據(jù)上面得到的規(guī)律，可求出十層寶塔所包含的方磚的塊數(shù)：