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xx年中考數(shù)學(xué)提分訓(xùn)練: 尺規(guī)作圖 一、選擇題 1.下列畫圖的語句中，正確的為（ ） A.畫直線AB=10cm B.畫射線OB=10cm C.延長射線BA到C，使BA=BC D.過直線AB外一點畫一條直線和直線AB相交 2.如圖，用尺規(guī)作出了BF∥OA，作圖痕跡中，弧MN是（ ） A.以B為圓心，OD長為半徑的弧B.以C為圓心，CD長為半徑的弧 C.以E為圓心，DC長為半徑的弧D.以E為圓心，OD長為半徑的弧 3.用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出 的依據(jù)是（ ） A.（SAS）B.（SSS）C.（AAS）D.（A SA） 4.如圖，銳角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙兩人想找一點P，使得∠BPC與∠A互補，其作法分別如下： （甲）以A為圓心，AC長為半徑畫弧交AB于P點，則P即為所求； （乙）作過B點且與AB垂直的直線l，作過C點且與AC垂直的直線，交l于P點，則P即為所求對于甲、乙兩人的作法，下列敘述何者正確？（ ） A.兩人皆正確B.兩人皆錯誤C.甲正確，乙錯誤D.甲錯誤，乙正確 5. 如圖，在△ABC中，∠ACB=90，∠A=30，BC=4，以點C為圓心，CB長為半徑作弧，交AB于點D；再分別以點B和點D為圓心，大于 BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E，作射線CE交AB于點F，則AF的長為（ ） A.5B.6C.7D.8 6.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為（ ） A.4B.5C.6D.7 7.畫正三角形ABC（如圖）水平放置的直觀圖△A′B′C′，正確的是（ ） A.B.C.D. 8.已知∠AOB，用尺規(guī)作一個角 等于已知角∠AOB的作圖痕跡如圖所示，則判斷∠AOB= 所用到的三角形全等的判斷方法是（ ） A.SASB.ASAC.AASD.SSS 9.如圖，在△ABC中，∠C=90，∠B=30，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以點M，N為圓心畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數(shù)是（ ） ①AD是∠BAC的平分線②∠ADC=60③△ABD是等腰三角④點D到直線AB的距離等于CD的長度． A.1B.2C.3D.4 10. 如圖，用尺規(guī)作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧①，分別交OA、OB于點E、F，那么第二步的作圖痕跡②的作法是（ ） A.以點F為圓心，OE長為半徑畫弧B.以點F為圓心，EF長為半徑畫弧 C.以點E為圓心，OE長為半徑畫弧D.以點E為圓心，EF長為半徑畫弧 11. 如圖，在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG，若AD=5，DE=6，則AG的長是（ ） A.6B.8C.10D.12 12. 如圖，在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E．若BF=8，AB=5，則AE的長為（ ） A.5B.6C.8D.12 二、填空題 13. 我們學(xué)過用直尺和三角尺畫平行線的方法，如圖所示，直線a∥b的根據(jù)是________． 14.作圖并寫出結(jié)論：如圖，點P是∠AOB的邊OA上一點，請過點P畫出OA , OB的垂線，分別交BO 的延長線于M 、N ,線段________的長表示點P到直線BO的距離；線段________的長表示點M到直線AO的距離 ; 線段ON的長表示點O到直線________的距離；點P到直線OA的距離為________. 15.如圖，已知線段AB，分別以點A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧，相交于點C，D，連接AC，BC，BD，CD．其中AB=4，CD=5，則四邊形ABCD的面積為________． 16.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，BC=9，AC=12．分別以點A和點B為圓心、大于AB一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點E和點F，作直線EF交AB于點D，連結(jié)CD．則CD的長為________． 17. 如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算∠α=________． 18. 以Rt△ABC的銳角頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，與邊AB，AC各相交于一點，再分別以這兩個交點為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，過兩弧的交點與點A作直線，與邊BC交于點D.若∠ADB=60，點D到AC的距離為2，則AB的長為________. 19.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B均在格點上． （Ⅰ）線段AB的長為________． （Ⅱ）請利用網(wǎng)格，用無刻度的直尺在AB上作出點P，使AP= ，并簡要說明你的作圖方法（不要求證明）．________． 20.如圖，在矩形 中，按以下步驟作圖：①分別以點 和 為圓心，以大于 的長為半徑作弧，兩弧相交于點 和 ；②作直線 交 于點 .若 ， ，則矩形的對角線 的長為________． 三、解答題 21.如圖，利用尺規(guī)，在△ABC的邊AC上方作∠CAE=∠ACB，在射線AE上截取AD=BC，連接CD，并證明：CD∥AB（尺規(guī)作圖要求保留作圖痕跡，不寫作法） 22.已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90 （1）用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線，交AC于點O； （2）在（1）的條件下，若BC=3，AC=4，求點O到AB的距離。 23.如圖，在 中， . （1）作 的平分線交 邊于點 ，再以點 為圓心， 的長為半徑作 ；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡） （2）判斷（1）中 與 的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)果. 24.如圖，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD=75， （1）請用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡） （2）在（1）條件下，連接BF，求∠DBF的度數(shù)． 25.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠C=30． （1）請在圖中用尺規(guī)作圖的方法作出AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E （不寫作法，保留作圖痕跡）． （2）在（1）的條件下，連接AD，求證：△ABC∽△EDA． 26.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90，AB＞CD，AD=AB+CD． （1）利用尺規(guī)作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法） （2）在（1）的條件下，①證明：AE⊥DE； ②若CD=2，AB=4，點M，N分別是AE，AB上的動點，求BM+MN的最小值。  答案解析 一、選擇題 1.【答案】D 【解析】 ：A、錯誤．直線沒有長度； B、錯誤．射線沒有長度； C、錯誤．射線有無限延伸性，不需要延長； D、正確． 故答案為：D． 【分析】根據(jù)直線、射線、線段的性質(zhì)即可一一判斷； 2.【答案】C 【解析】 ：弧MN是以E為圓心，DC長為半徑的弧。 故答案為 ：C。【分析】根據(jù)平行線的判定，這里要使BF∥OA，其依據(jù)是內(nèi)錯角相等，兩直線平行，故根據(jù)尺規(guī)作圖就是作一個角∠FBO=∠AOB,故弧MN，是以E為圓心，DC長為半徑的弧。 3.【答案】B 【解析】 ：根據(jù)畫法可知OD=OC=OD=OC DC=DC 在△ODC和△ODC中 ∴△ODC≌△ODC（SSS） ∴∠A′O′B′=∠AOB. 故答案為：B 【分析】根據(jù)畫法可知△ODC和△ODC的三邊相等，得出兩三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論。 4.【答案】D 【解析】 ：甲：如圖1， ∵AC=AP， ∴∠APC=∠ACP， ∵∠BPC+∠APC=180 ∴∠BPC+∠ACP=180， ∴甲錯誤； 乙：如圖2， ∵AB⊥PB，AC⊥PC， ∴∠ABP=∠ACP=90， ∴∠BPC+∠A=180， ∴乙正確， 故答案為：D． 【分析】甲：根據(jù)等邊對等角可得∠APC=∠ACP，再由平角的定義可得∠BPC+∠APC=180,等量帶環(huán)即可判斷； 乙：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為， 可知乙的作法正確。 5.【答案】B 【解析】 ：連接CD， ∵在△ABC中，∠ACB=90，∠A=30，BC=4， ∴AB=2BC=8． ∵作法可知BC=CD=4，CE是線段BD的垂直平分線， ∴CD是斜邊AB的中線， ∴BD=AD=4， ∴BF=DF=2， ∴AF=AD+DF=4+2=6． 故選B． 【分析】連接CD，根據(jù)在△ABC中，∠ACB=90，∠A=30，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE是線段BD的垂直平分線，故CD是斜邊AB的中線，據(jù)此可得出BD的長，進而可得出結(jié)論． 6.【答案】D 【解析】 如圖， ①以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，△BCD就是等腰三角形； ②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點E，△ACE就是等腰三角形； ③以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分線交AB于點H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分線交AC于G，則△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI是等腰三角形． 故答案為：C. 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況畫出圖形，即可得出答案。 7.【答案】D 【解析】 第一步：在已知正三角形ABC中，取AB所在的直線為x軸，取對稱軸CO為y軸，畫對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′=45， 第二步：在x′軸上取O′A′=OA，O′B′=OB，在y’軸上取O′C′=OC， 第三步：連接A′C′，B′C′， 所得三角形A′B′C′就是正三角形ABC的直觀圖， 根據(jù)畫正三角形的直觀圖的方法可知此題選D， 故答案為：D． 【分析】根據(jù)畫正三角形的直觀圖的方法可得出答案。 8.【答案】D 【解析】 如圖，連接CD、 ， ∵在△COD和△ 中， ， ∴△COD≌△ (SSS)， ∴∠AOB= 故答案為：D。 【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法SSS，畫出三角形. 9.【答案】D 【解析】 根據(jù)基本作圖，所以①正確， 因為∠C=90，∠B=30，則∠BAC=60，而AD平分∠BAC，則∠DAB=30，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60，所以②正確； 因為∠DAB=∠B=30，所以△ABD是等腰三角形，所有③正確； 因為AD平分∠BAC，所以點D到AB與AC的距離相等，而DC⊥AC，則點D到直線AB的距離等于CD的長度，所以④正確. 故答案為：D. 【分析】（1）由已知角的平分線的作法知，AD是∠BAC的平分線； （2）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ADC=∠DAB+∠B，由（1）可得∠DAB=30，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60； （3）由（2）知，∠DAB=30=∠B，根據(jù)等腰三角形的判定可得△ABD是等腰三角形； （4）根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得，點D到直線AB的距離等于CD的長度。 10.【答案】D 【解析】 ：用尺規(guī)作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫?、?，分別交OA、OB于點E、F， 第二步的作圖痕跡②的作法是以點E為圓心，EF長為半徑畫弧． 故選D． 【分析】根據(jù)作一個角等于一直角的作法即可得出結(jié)論． 11.【答案】B 【解析】 ：連接EG， ∵由作圖可知AD=AE，AG是∠BAD的平分線， ∴∠1=∠2， ∴AG⊥DE，OD= DE=3． ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CD∥AB， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴AD=DG． ∵AG⊥DE， ∴OA= AG． 在Rt△AOD中，OA= = =4， ∴AG=2AO=8． 故選B． 【分析】連接EG，由作圖可知AD=AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AG是DE的垂直平分線，由平行四邊形的性質(zhì)可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，據(jù)此可知AD=DG，由等腰三角形的性質(zhì)可知OA= AG，利用勾股定理求出OA的長即可． 12.【答案】B 【解析】 ：連結(jié)EF，AE與BF交于點O， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AF， ∴四邊形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF，OB= BF=4，OA= AE． ∵AB=5， 在Rt△AOB中，AO= =3， ∴AE=2AO=6． 故選B． 【分析】由基本作圖得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四邊形ABEF是菱形，由菱形的性質(zhì)可知AE⊥BF，故可得出OB的長，再由勾股定理即可得出OA的長，進而得出結(jié)論． 二、填空題 13.【答案】同位角相等，兩直線平行 【解析】 如圖所示： 根據(jù)題意得出：∠1=∠2；∠1和∠2是同位角； ∵∠1=∠2， ∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）； 故答案為：同位角相等，兩直線平行． 【分析】直尺保證了三角板 所作的是平移，∠1、∠2的大小相等，又是同位角，“同位角相等，兩直線平行”. 14.【答案】PN；PM；PN；0 【解析】 ：如圖 ∵PN⊥OB ∴線段PN的長是表示點P到直線BO的距離； ∵PM⊥OA ∴PM的長是表示點M到直線AO的距離 ; ∵ON⊥PN ∴線段ON的長表示點O到直線PN的距離； ∵PM⊥OA ∴點P到直線OA的距離為0 故答案為：PN、PM、PN、0 【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)點到直線的距離的定義，即可求解。 15.【答案】10 【解析】 ：由作圖可知CD是線段AB的中垂線， ∵AC=AD=BC=BD， ∴四邊形ACBD是菱形， ∵AB=4，CD=5， ∴S菱形ACBD= ABCD= 45=10， 故答案為：10． 【分析】由作圖可知CD是線段AB的中垂線，四邊形ACBD是菱形，利用S菱形ACBD= ABCD求解即可． 16.【答案】 【解析】 ：由作圖可知，EF垂直平分AB，即DC是直角三角形ABC斜邊上的中線， 故DC= AB= = 15= ． 故答案為： ． 【分析】由作圖可知，EF垂直平分AB，即DC是直角三角形ABC斜邊上的中線，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的長，即可求得DC的長。 17.【答案】56 【解析】 ：∵四邊形ABCD的矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB=68． ∵由作法可知，AF是∠DAC的平分線， ∴∠EAF= ∠DAC=34． ∵由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線， ∴∠AEF=90， ∴∠AFE=90﹣34=56， ∴∠α=56． 故答案為：56． 【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度數(shù)，由角平分線的定義求出∠EAF的度數(shù)，再由EF是線段AC的垂直平分線得出∠AEF的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AFE的度數(shù)，進而可得出結(jié)論． 18.【答案】2 【解析】 ：根據(jù)題中的語句作圖可得下面的圖，過點D作DE⊥AC于E， 由尺規(guī)作圖的方法可得AD為∠BAC的角平分線， 因為∠ADB=60， 所以∠B=90， 由角平分線的性質(zhì)可得BD=DE=2， 在Rt△ABD中，AB=BDtan∠ADB=2 . 故答案為2 . 【分析】由尺規(guī)作圖-角平分線的作法可得AD為∠BAC的角平分線，由角平分線的性質(zhì)可得BD=2，又已知∠ADB即可求出AB的值. 19.【答案】2 ；取格點M，N，連接MN交AB于P，則點P即為所求 【解析】 (Ⅰ)由勾股定理得AB= ； (Ⅱ)∵AB ，AP= ， ∴ , ∴AP:BP=2:1. 取格點M，N，連接MN交AB于P，則點P即為所求； ∵AM∥BN, ∴△AMP∽△BNP, ∴ , ∵AM=2,BN=1, ∴ , ∴P點符合題意. 故答案為：取格點M，N，連接MN交AB于P，則點P即為所求。 【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AB的長。 (Ⅱ)先求出BP的長，就可得出AP:BP=2:1，取格點M，N，連接MN交AB于P，則點P即為所求，根據(jù)相似三角形的判定定理，可證得△AMP∽△BNP，得出對應(yīng)邊成比例，可證得AP:BP=2:1。 20.【答案】 【解析】【解答】連接AE， 根據(jù)題意可知MN垂直平分AC ∴AE=CE=3 在Rt△ADE中，AD2=AE2-DE2 AD2=9-4=5 ∵AC2=AD2+DC2 AC2=5+25=30 ∴AC= 【分析】根據(jù)作圖，可知MN垂直平分AC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可求出AE的長，再根據(jù)勾股定理可求出AD的長，然后再利用勾股定理求出AC即可。 三、解答題 21.【答案】解：如圖所示， ∵∠EAC=∠ACB， ∴AD∥CB， ∵AD=BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD． 【解析】【分析】用尺規(guī)作圖即可完成作圖。理由如下： 根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得AD∥CB，已知AD=BC，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD． 22.【答案】（1）如圖1，BO為所求作的角平分線 （2）如圖2，過點O作OD⊥AB于點D， ∵∠ACB=90，由（1）知BO平分∠ABC， ∴OC=OD，BD=BC。 ∵AC=4，BC=3 ∴AB=5，BD=3，AD=2 設(shè)CO=x，則AO=4-x，OD=x 在Rt△AOD中， ，得 ， 即點O到AB的距離為 【解析】【分析】(1)以點B為圓心，任意長度為半徑畫弧，交BA,BC于以點，再分別以這兩個交點為圓心，大于這兩交點間的距離的長度為半徑，畫弧，兩弧在角內(nèi)交于一點，過B點及這點，作射線BO交AC于點哦，BO就是所求的∠ABC的平分線；（2）過點O作OD⊥AB于點D，根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出OC=OD，BD=BC=3。根據(jù)勾股定理得出AB的長，進而得出AD的長， 設(shè)CO=x，則AO=4-x，OD=x，在Rt△AOD中，利用勾股定理得出方程，求解得出答案。 23.【答案】（1）解：如圖,作出角平分線CO; 作出⊙O. （2）解：AC與⊙O相切． 【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先作出∠ACB的角平分線，再以O(shè)為圓心，OB為半徑畫圓即可。 （2）根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等及切線的判定定理，即可得出AC與⊙O相切。 24.【答案】（1）解：如圖所示，直線EF即為所求； （2）解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75，DC∥AB，∠A=∠C． ∴∠ABC=150，∠ABC+∠C=180， ∴∠C=∠A=30， ∵EF垂直平分線線段AB， ∴AF=FB， ∴∠A=∠FBA=30， ∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45 【解析】【分析】（1）分別以A,B兩點為圓心，大于AB長度一半的長度為半徑畫弧，兩弧在AB的兩側(cè)分別相交，過這兩個交點作直線，交AB于點E，交AD于點F，，直線EF即為所求； （2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ABD=∠DBC=∠ABC=75，DC∥AB，∠A=∠C．故∠ABC=150，∠ABC+∠C=180，∠C=∠A=30，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AF=FB，根據(jù)等邊對等角及角的和差即可得出答案。 25.【答案】（1）解：如圖所示： （2）解：∵∠BAC=90，∠C=30 又∵點D在AC的垂直平分線上， ∴DA=DC， ∴∠CAD=∠C=30， ∵∠DEA=∠BAC=90， ∴△ABC∽△EDA． 【解析】【分析】（1）利用尺規(guī)作圖作出AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E 即可。 （2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證出DA=DC，可證得∠CAD=∠C，然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似，即可證得結(jié)論。 26.【答案】（1） （2）①證明：在AD上取一點F使DF=DC，連接EF， ∵DE平分∠ADC， ∴∠FDE=∠CDE， 在△FED和△CDE中， DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE ∴△FED≌△CDE（SAS）， ∴∠DFE=∠DCE=90，∠AFE=180-∠DFE=90 ∴∠DEF=∠DEC， ∵AD=AB+CD，DF=DC， ∴AF=AB， 在Rt△AFE≌Rt△ABE（HL） ∴∠AEB=∠AEF， ∴∠AED=∠AEF+∠DEF= ∠CEF+ ∠BEF= （∠CEF+∠BEF）=90。 ∴AE⊥DE ②解：過點D作DP⊥AB于點P， ∵由①可知，B，F(xiàn)關(guān)于AE對稱，BM=FM， ∴BM+MN=FM+MN， 當(dāng)F，M，N三點共線且FN⊥AB時，有最小值， ∵DP⊥AB，AD=AB+CD=6， ∴∠DPB=∠ABC=∠C=90， ∴四邊形DPBC是矩形， ∴BP=DC=2，AP=AB-BP=2， 在Rt△APD中，DP= = ， ∵FN⊥AB，由①可知AF=AB=4， ∴FN∥DP， ∴△AFN∽△ADP ∴ ， 即 ， 解得FN= ， ∴BM+MN的最小值為 【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分的做法即可畫出圖.（2）①在AD上取一點F使DF=DC，連接EF；角平分線定義得∠FDE=∠CDE；根據(jù)全等三角形判定SAS得△FED≌△CDE，再由全等三角形性質(zhì)和補角定義得∠DFE=∠DCE=∠AFE=90， ∠DEF=∠DEC；再由直角三角形全等的判定HL得Rt△AFE≌Rt△ABE，由全等三角形性質(zhì)得∠AEB=∠AEF，再由補角定義可得AE⊥DE. ②過點D作DP⊥AB于點P；由①可知，B，F(xiàn)關(guān)于AE對稱，根據(jù)對稱性質(zhì)知BM=FM， 當(dāng)F，M，N三點共線且FN⊥AB時，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在Rt△APD中，根據(jù)勾股定理得DP= = ；由相似三角形判定得△AFN∽△ADP，再由相似三角形性質(zhì)得 ，從而求得FN，即BM+MN的最小值.