2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)陣圖(二).doc
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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)陣圖(二).doc
2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 數(shù)陣圖(二)
上一講我們講了僅有一個(gè)“重疊數(shù)”的輻射型數(shù)陣圖的填數(shù)問題,這一講我們講有多個(gè)“重疊數(shù)”的封閉型數(shù)陣圖。
例1 將1~8這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○中,使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都等于21。
分析與解:中間兩個(gè)數(shù)是重疊數(shù),重疊次數(shù)都是1次,所以兩個(gè)重疊數(shù)之和為
212-(1+2+…+8)=6。
在已知的八個(gè)數(shù)中,兩個(gè)數(shù)之和為6的只有1與5,2與4。每個(gè)大圓上另外三個(gè)數(shù)之和為21-6=15。
如果兩個(gè)重疊數(shù)為1與5,那么剩下的六個(gè)數(shù)2,3,4,6,7,8平分為兩組,每組三數(shù)之和為15的只有
2+6+7=15和3+4+8=15,
故有左下圖的填法。
如果兩個(gè)重疊數(shù)為2與4,那么同理可得上頁(yè)右下圖的填法。
例2 將1~6這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)○內(nèi),使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于11。
分析與解:本題有三個(gè)重疊數(shù),即三角形三個(gè)頂點(diǎn)○內(nèi)的數(shù)都是重疊數(shù),并且各重疊一次。所以三個(gè)重疊數(shù)之和等于
113-(1+2+…+6)=12。
1~6中三個(gè)數(shù)之和等于12的有1,5,6;2,4,6;3,4,5。
如果三個(gè)重疊數(shù)是1,5,6,那么根據(jù)每條邊上的三個(gè)數(shù)之和等于11,可得左下圖的填法。容易發(fā)現(xiàn),所填數(shù)不是1~6,不合題意。
同理,三個(gè)重疊數(shù)也不能是3,4,5。
經(jīng)試驗(yàn),當(dāng)重疊數(shù)是2,4,6時(shí),可以得到符合題意的填法(見右上圖)。
例3 將1~6這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)○中,使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都相等。
分析與解:與例2不同的是不知道每邊的三數(shù)之和等于幾。因?yàn)槿齻€(gè)重疊數(shù)都重疊了一次,由(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和=每邊三數(shù)之和3,得到每邊的三數(shù)之和等于
[(1+2+…+6)+重疊數(shù)之和]3
=(21+重疊數(shù)之和)3
=7+重疊數(shù)之和3。
因?yàn)槊窟叺娜龜?shù)之和是整數(shù),所以重疊數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)??紤]到重疊數(shù)是1~6中的數(shù),所以三個(gè)重疊數(shù)之和只能是6,9,12或15,對(duì)應(yīng)的每條邊上的三數(shù)之和就是9,10,11或12。
與例2的方法類似,可得下圖的四種填法:
每邊三數(shù)之和=9 每邊三數(shù)之和=10 每邊三數(shù)之和=11 每邊三數(shù)之和=12
例4將2~9這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的○里,使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于18。
分析與解:四個(gè)角上的數(shù)是重疊數(shù),重疊次數(shù)都是1次。所以四個(gè)重疊數(shù)之和等于
184-(2+3+…+9)=28。
而在已知的八個(gè)數(shù)中,四數(shù)之和為28的只有:
4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。
又由于18-9-8=1,1不是已知的八個(gè)數(shù)之一,所以,8和9只能填對(duì)角處。由此得到左下圖所示的重疊數(shù)的兩種填法:
“試填”的結(jié)果,只有右上圖的填法符合題意。
以上例題都是封閉型數(shù)陣圖。
一般地,在m邊形中,每條邊上有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。
與“輻射型m-n圖只有一個(gè)重疊數(shù),重疊次數(shù)是m-1”不同的是,封閉型m-n圖有m個(gè)重疊數(shù),重疊次數(shù)都是1次。
對(duì)于封閉型數(shù)陣圖,因?yàn)橹丿B數(shù)只重疊一次,所以
已知各數(shù)之和+重疊數(shù)之和
=每邊各數(shù)之和邊數(shù)。
由這個(gè)關(guān)系式,就可以分析解決封閉型數(shù)陣圖的問題。
前面我們講了輻射型數(shù)陣圖和封閉型數(shù)陣圖,雖然大多數(shù)數(shù)陣問題要比它們復(fù)雜些,但只要緊緊抓住“重疊數(shù)”進(jìn)行分析,就能解決很多數(shù)陣問題。
例5把1~7分別填入左下圖中的七個(gè)空塊里,使每個(gè)圓圈里的四個(gè)數(shù)之和都等于13。
分析與解:這道題的“重疊數(shù)”很多。有重疊2次的(中心數(shù),記為a);有重疊1次的(三個(gè)數(shù),分別記為b,c,d)。根據(jù)題意應(yīng)有
(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=133,
即 a+a+b+c+d=11。
因?yàn)?+2+3+4=10,11-10=1,所以只有a=1,b,c,d分別為2,3,4才符合題意,填法見右上圖。
練習(xí)
1.把1~8填入下頁(yè)左上圖的八個(gè)○里,使每個(gè)圓圈上的五個(gè)數(shù)之和都等于20。
2.把1~6這六個(gè)數(shù)填入右上圖的○里,使每個(gè)圓圈上的四個(gè)數(shù)之和都相等。
3.將1~8填入左下圖的八個(gè)○中,使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于15。
4.將1~8填入右上圖的八個(gè)○中,使得每條直線上的四個(gè)數(shù)之和與每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都相等。
5.將1~7填入右圖的七個(gè)○,使得每條直線上的各數(shù)之和都相等。
6.把1,3,5,7,9,11,13分別填入左圖中的七個(gè)空塊中,使得每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)之和都等于34。
附送:
2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 文字算式謎
專題簡(jiǎn)析:
一般說來,算式都是由一些數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)組成的,可有些算式卻由漢字或英文字母組成,我們稱它為文字算式。
文字算式是一種數(shù)字謎,解答時(shí)要注意在同一道題中,相同的文字或英文字母應(yīng)表示相同的數(shù)字,不同的文字或英文字母應(yīng)表示不同的數(shù)字。
通過本周的學(xué)習(xí),我們可以發(fā)現(xiàn)解文字算式謎與添運(yùn)算符號(hào)、填豎式的步驟與方法基本是一樣的,都要仔細(xì)觀察算式的特征,認(rèn)真分析,正確選擇解題的突破口,最后通過嘗試找尋正確答案。
例題1 下式中,每個(gè)字各代表一個(gè)不同的數(shù)字,其中“心”代表9,請(qǐng)問其他漢字分別代表哪個(gè)數(shù)字?
思路導(dǎo)航:乘數(shù)個(gè)位與被乘數(shù)個(gè)位相乘,“心”“心”=99=81,所以“少”=1,乘積就是111111111。根據(jù)積,用乘數(shù)“心”去逐一乘被乘數(shù),9“中”的積個(gè)位數(shù)應(yīng)該是3,所以“中”=7,往前一位進(jìn)7;9“樂”的積的個(gè)位數(shù)應(yīng)是4,“樂”=6,往前一位進(jìn)6;9“俱”的積個(gè)位數(shù)應(yīng)是5,“俱”=5,往前一位進(jìn)5;9“球”積個(gè)位數(shù)字應(yīng)是6,“球”=4,往前一位進(jìn)4;9“足”的積個(gè)位數(shù)是7,所以“足”=3,往前一位進(jìn)3;9“年”的積的個(gè)位數(shù)是8,“年”=2,往前一位進(jìn)2;91+2=11,即:
123456799=111111111
練 習(xí) 一
1.下面每個(gè)字代表不同的數(shù)字,這些漢字分別代表幾?
2.如果A、B滿足下面算式,它們各代表幾?
3.下面各個(gè)漢字分別代表幾?
例題2 下面不同的漢字代表不同的數(shù)字,相同的漢字代表相同的數(shù)字。它們各表示幾?
思路導(dǎo)航:由積的個(gè)位是2,乘數(shù)是3,可推出被乘數(shù)個(gè)位上“學(xué)”是4,43=12,在積的個(gè)位上寫2,向十位進(jìn)1;因?yàn)榉e的十位上“學(xué)”為4,所以“數(shù)”3應(yīng)為3,推出“數(shù)”為1;因?yàn)椤皵?shù)”為1,百位上“庚”3末位應(yīng)為1,因而“庚”為7,千位上53+2=17,在千位上寫7,向萬位進(jìn)1,因而“羅”為5,萬位上83+1=25,在千位上寫5,向前一位進(jìn)2,因而“華”為8。
練 習(xí) 二
下面各個(gè)豎式中的漢字分別代表幾?
例題3 在下面的豎式中,a、b、c、d各代表什么數(shù)字?
思路導(dǎo)航:仔細(xì)審題發(fā)現(xiàn)千位a9的結(jié)果是一位數(shù),于是就可以確定a只能是1。接著思考個(gè)位d9=1是不可能的,所以應(yīng)該是d9等于幾十一,于是確定d=9?;蛘呦肭簧?9=9,所以d一定是9。最后確定剩下的c為8。只有89=72,72+8=80,積中才會(huì)有0。
練 習(xí) 三
1.下面豎式中的字母各代表幾?
2.
A+B+C=( )
例題4 下面算式里,相同的漢字代表同一個(gè)數(shù)字,不同的漢字代表不同的數(shù)字。如果以下3個(gè)等式成立:
小小朋朋=友小小友
愛愛科科=愛學(xué)學(xué)愛
朋朋朋朋=小小學(xué)學(xué)
那么,小=( ) 朋=( ) 友=( )
愛=( ) 科=( ) 學(xué)=( )
思路導(dǎo)航:通過觀察,我們發(fā)現(xiàn)第三個(gè)等式最特殊,它是相同的兩位數(shù)相乘得到千位和百位、十位和個(gè)位分別相同的積,逐步試驗(yàn),1111,2222得不到四位數(shù),然后從3333試,我們發(fā)現(xiàn)8888=7744,這樣可以得出:朋=8,小=7,學(xué)=4。將朋=8、小=7代入第一個(gè)算式中得出7788=6776,確定友=6。這樣,0——9中,只剩下9,5,3,2,1,0這幾個(gè)數(shù)字,其中0、1不考慮,試后發(fā)現(xiàn)5599=5445,所以愛=5,科=9。
練 習(xí) 四
例題5 下面算式中四個(gè)字分別代表四個(gè)數(shù),你能求出來嗎?
新=( ) 年=( ) 快=( ) 樂=( )
思路導(dǎo)航:從千位上看,千位上得數(shù)是2,假設(shè)新=2,那么百位上,“新+年”不可能等于0,因而“新”不可能是2,只能是“新=1”。從百位上看,新+年+進(jìn)來的數(shù)=10,我們可判斷“年”=7或8。而“新+年=8”,即使個(gè)位進(jìn)來2,十位上也不可能向百位進(jìn)2,因而“年”=8,十位上“新+年”=1+8=9,而個(gè)位上已向十位進(jìn)了1,因而“快”=0,最后從“新+年+快+樂”=11中可推出“樂”=1。即:
新=( 1 ) 年=( 8 ) 快=( 0 ) 樂=( 1 )
練 習(xí) 五
1.下面算式中相同的漢字代表相同的數(shù)字,不同的漢字代表不同的數(shù)字,請(qǐng)問這些漢字各代表幾?
2.下面各字母分別代表幾?
3.下面豎式中每個(gè)字母代表不同的數(shù)字,想想下面的算式怎樣寫?