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1、考考 點點 詮詮 釋釋知知 識識 整整 合合基基 礎礎 再再 現(xiàn)現(xiàn) 例例 題題 精精 析析精精 彩彩 小小 結結第第8 8課時課時 棱錐棱錐考點詮釋 了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會畫正棱錐的直了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質，會畫正棱錐的直觀圖。觀圖。1、高考中棱錐與棱柱一樣出題概率較大，形式較靈活，、高考中棱錐與棱柱一樣出題概率較大，形式較靈活，尤其棱錐注意等積法的靈活運用，對五種正多面體，重尤其棱錐注意等積法的靈活運用，對五種正多面體，重點掌握正四面體和正六面體，它們是高考中?？寄Ｐ?。點掌握正四面體和正六面體，它們是高考中?？寄Ｐ汀?、簡單的幾何體中求錐體的側面積、體積的體形還會、簡

2、單的幾何體中求錐體的側面積、體積的體形還會出現(xiàn)，等積變換、割補思想的應用仍將有所體現(xiàn)，關于出現(xiàn)，等積變換、割補思想的應用仍將有所體現(xiàn)，關于棱錐可能與代數(shù)、三角、空間向量進行綜合，出現(xiàn)綜合棱錐可能與代數(shù)、三角、空間向量進行綜合，出現(xiàn)綜合性問題。以棱錐為載體考查點、線、面的位置關系，或性問題。以棱錐為載體考查點、線、面的位置關系，或求空間角、距離和面積、體積，也有可能會利用不等式求空間角、距離和面積、體積，也有可能會利用不等式或導數(shù)研究最值問題?；驅?shù)研究最值問題。知識整合 1、棱錐的概念及性質、棱錐的概念及性質（1）棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面是有）棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各

3、面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐，棱錐是多面體中重要的一種，它有兩個本質特征：錐，棱錐是多面體中重要的一種，它有兩個本質特征：有一個面是多邊形；有一個面是多邊形；其余的各面是有一個公共頂點其余的各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可，因此棱錐有一個面是多邊形，的三角形，二者缺一不可，因此棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是三角形。但是要注意其余各面都是三角形。但是要注意“有一個面是多邊形，有一個面是多邊形，其余各面都是三角形其余各面都是三角形”的幾何體未必是棱錐，如圖，此的幾何體未必是棱錐，如圖，此多面體底面是四邊形，其

4、余各面都是三角形，但它不是多面體底面是四邊形，其余各面都是三角形，但它不是棱錐。棱錐。一個棱錐至少有四個面一個棱錐至少有四個面 所以三棱錐也叫四面體。所以三棱錐也叫四面體。知識整合 （2 2）正棱錐的概念）正棱錐的概念 如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面上如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面上的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。判斷一的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。判斷一棱錐是否是正棱錐必須滿足下面兩個條件：一是底面棱錐是否是正棱錐必須滿足下面兩個條件：一是底面是正多邊形，二是頂點在底面上的射影必須是底面正是正多邊形，二是頂點在底面上的射影必須是底面正多邊形的中心

5、，這也是掌握正棱錐定義的兩個要點。多邊形的中心，這也是掌握正棱錐定義的兩個要點。知識整合 （3）正棱錐的性質：）正棱錐的性質： 各側棱相等，各側面都是全等的各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。的高相等，它叫做正棱錐的斜高。由此可知，正棱錐的各側面都是等由此可知，正棱錐的各側面都是等腰三角形，但腰三角形，但 “各側面都是全等的各側面都是全等的等腰三角形等腰三角形”的棱錐不一定是正棱的棱錐不一定是正棱錐。錐。 如圖三棱錐如圖三棱錐SABC中，可令中，可令SASBBCAC，SCAB，且，且SBAB，則此三棱錐的各側面為

6、全等三，則此三棱錐的各側面為全等三角形，但它不是正三棱錐。角形，但它不是正三棱錐。知識整合 棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個棱錐的高、斜高和斜高在底面上的射影組成一個直角三角形；棱錐的高、側棱和側棱在底面上的射直角三角形；棱錐的高、側棱和側棱在底面上的射影也組成一個直角三角形。除此兩個直角三角形外，影也組成一個直角三角形。除此兩個直角三角形外，正棱錐的底面半徑，邊心距和半邊長也組成一個直正棱錐的底面半徑，邊心距和半邊長也組成一個直角三角形。這三個直角三角形稱為棱錐中的特征三角三角形。這三個直角三角形稱為棱錐中的特征三角形，有好多立體問題都是轉化到平面中的這三個角形，有好多立體問題都是

7、轉化到平面中的這三個直角三角形中去處理，如有關側棱與底面、側面與直角三角形中去處理，如有關側棱與底面、側面與底面所成二面角的計算，有關側棱、斜高、底面邊底面所成二面角的計算，有關側棱、斜高、底面邊長的計算等，要熟練掌握。長的計算等，要熟練掌握。 知識整合 （4）一般棱錐的性質定理：）一般棱錐的性質定理： 定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高和原棱錐的高的平方比。和原棱錐的高的平方比。 一般棱錐的重要性質定理應用很廣泛，其結論還可加一般棱錐的重要性質

8、定理應用很廣泛，其結論還可加以引申：截面面積與底面面積的比等于截得的小棱錐以引申：截面面積與底面面積的比等于截得的小棱錐與原棱錐的側棱長的平方比；截得的小棱錐的側面積與原棱錐的側棱長的平方比；截得的小棱錐的側面積與原棱錐的側面積之比，也等于截得的小棱錐的邊長與原棱錐的側面積之比，也等于截得的小棱錐的邊長與原來棱錐對應邊長的平方比。與原來棱錐對應邊長的平方比。(5)、棱錐的側面積、體積公式、棱錐的側面積、體積公式1.設正棱錐的底面周長為設正棱錐的底面周長為c，斜高為，斜高為h，則它，則它的側面積的側面積S錐側錐側=hc 212.設棱錐底面積為設棱錐底面積為S，高為，高為h，則其體積，則其體積V=

9、Sh31返回返回基礎再現(xiàn)基礎再現(xiàn) 1、一個四棱錐是正四棱錐的充分不必要條件是、一個四棱錐是正四棱錐的充分不必要條件是（ ） A：各側面與底面成相等的二面角：各側面與底面成相等的二面角 B：各側面都是等腰三角形，且底面是正方形：各側面都是等腰三角形，且底面是正方形 C；各側面是正三角形；各側面是正三角形 D：各側棱與底面成相等的角：各側棱與底面成相等的角l l l l31arccos C基礎再現(xiàn)B2、正六棱錐底面邊長為、正六棱錐底面邊長為a，體積為，體積為 ，那么側棱與底面所成的角等于那么側棱與底面所成的角等于（ ）A： B： C： D：233a125346基礎再現(xiàn)基礎再現(xiàn) 3、一個正四棱錐的中

10、截面面積是、一個正四棱錐的中截面面積是Q，正四棱錐的底面，正四棱錐的底面邊長是邊長是（ ）A： B： C： D：l l l llD4Q2QQQ2基礎再現(xiàn)基礎再現(xiàn) 4、正四面體、正四面體ABCD中，中，ABa，若，若頂點頂點A在底面在底面BCD內的射影為內的射影為O，則則OB ，OA ， AB與底面與底面BCD所成的角是所成的角是 ；側；側面與底面所成角是面與底面所成角是_, 相鄰兩側面所成二面角的大小是相鄰兩側面所成二面角的大小是_；正四面體的體積為；正四面體的體積為 。l l l ll例題精析 例例1、（、（1）有四個命題：）有四個命題： 各側面是全等的等腰三角形的四棱錐是各側面是全等的等腰

11、三角形的四棱錐是正四棱錐；正四棱錐； 底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；底面是正多邊形的棱錐是正棱錐； 棱錐的所有面可能都是直角三角形；棱錐的所有面可能都是直角三角形； 四棱錐中側面最多有四個直角三角形，四棱錐中側面最多有四個直角三角形， 正確的命題有正確的命題有 。3、4例題精析 （2）如圖所示，在三棱錐）如圖所示，在三棱錐DABC中，中，DA 平面平面ABC， ACB90， ABD30，ACBC，求異面直線，求異面直線AB與與CD所成的角的余弦所成的角的余弦值值 【思路分析】本題是以棱錐【思路分析】本題是以棱錐為背景考查異面直線所成為背景考查異面直線所成的角，求異面直線所成的的角，求異面直線所

12、成的角抓平移，化為平面內的角，角抓平移，化為平面內的角，利用正弦、余弦定理求解。利用正弦、余弦定理求解。也可以補體、構造成長方體，也可以補體、構造成長方體，然后求解。然后求解。例題精析 【解題回顧】（【解題回顧】（1 1）求異面直線所成角常要作出）求異面直線所成角常要作出所成角的平面圖形，作法有：所成角的平面圖形，作法有：平移法；在異平移法；在異面直線中的一條直線上選擇面直線中的一條直線上選擇“特殊點特殊點”，作另，作另一條直線的平行線，如解法一，或利用中位線，一條直線的平行線，如解法一，或利用中位線，如解法二。如解法二。補形法：把空間圖形補成熟悉的補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在

13、于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系，如解法三。（的關系，如解法三。（2 2）解立體幾何計算題要）解立體幾何計算題要先作出所求的角，并要有嚴格的推理論證過程，先作出所求的角，并要有嚴格的推理論證過程，還要合理的計算步驟，例如解法三把等腰三角還要合理的計算步驟，例如解法三把等腰三角形轉化為直角三角形使得計算簡單形轉化為直角三角形使得計算簡單 例例2.（1）在三棱錐）在三棱錐P-ABC中，中，PA、PB、PC兩兩成兩兩成60角，角，PA=a，PB=b，PC=c，求三，求三棱錐棱錐P-ABC的體積的體積. 【思路分析】由條件【思路分析】由條件 APB APC60，可

14、以得，可以得到頂點到頂點A在底面在底面ABC上的射上的射影影H應在應在 BPC的平分線上，的平分線上，但這個結論一定要先證明才但這個結論一定要先證明才能使用。能使用。例題精析 【解題回顧】【解題回顧】(1)把把A、B、C中的任一個點作為頂中的任一個點作為頂點點(其余三點構成的三角形作為底面其余三點構成的三角形作為底面)是解題的關鍵，是解題的關鍵，這說明改變幾何體的放置方式或改變對幾何體的這說明改變幾何體的放置方式或改變對幾何體的觀察角度在解題中是十分重要的觀察角度在解題中是十分重要的. (2)當當a=b=c時，得到正四面體的體積是時，得到正四面體的體積是 a. (3)若在若在PA、PB、PC上

15、各任取一點上各任取一點M、N、R，設，設PM=m,PN=n,PR=r,則容易證明則容易證明 ,這一結論與這一結論與PA、PB、PC成成 多多大的角無關大的角無關.abcmnrVVABC-PMNR-P122例例3.已知已知E，F(xiàn)分別是棱長為分別是棱長為a的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1的棱的棱A1A，CC1的中點，求四棱錐的中點，求四棱錐C1B1EDF的體積的體積.【解題【解題回顧回顧】求】求多面體多面體的的體積體積的方法的方法主要主要是：直接法是：直接法(解法解法1)、分割分割法法(解法解法2)、補形法、補形法(解法解法3).例題精析 例例4：四棱錐：四棱錐PABCD中，側面中，側面P

16、DC是邊長為是邊長為2的正的正三角形，且與底面垂直，底面三角形，且與底面垂直，底面ABCD是面積為是面積為 的菱形，的菱形，ADC為菱形的銳角。為菱形的銳角。 求證：求證：PA CD； 求二面角求二面角PABD的度數(shù)；的度數(shù)； 求棱錐求棱錐PABCD的側面積。的側面積。32例題精析 （2）、如圖所示，在正三棱錐）、如圖所示，在正三棱錐S-ABC中，過底中，過底面頂點面頂點B 和側棱和側棱SA、SC上的上的E、F點做一截面點做一截面BEF和側面和側面SAC的垂直的垂直 （1）若）若E、F分別為分別為SA、SC中點時，求此三棱中點時，求此三棱錐的側面積與底面積之比錐的側面積與底面積之比 （2）若）

17、若AB =8，斜高，斜高h= ， 求截面求截面BEF的面積。的面積。338例題精析評注：在本題的圖形條件下，可進一步思評注：在本題的圖形條件下，可進一步思考，若求考，若求BEF分三棱錐所成的兩個多面體分三棱錐所成的兩個多面體的體積比是多少？若截面的體積比是多少？若截面BEF與側面與側面SAC所成角為所成角為 時，這類問題時，這類問題的如何解？的如何解？)20(例題精析 例例5、（、（2004年天津高考，年天津高考，19）如圖，在四棱錐）如圖，在四棱錐PABCD中，底面中，底面ABCD是正方形，側棱是正方形，側棱PD 底面底面ABCD，PDDC，E是是PC的中點，作的中點，作EF PB交交PB于

18、點于點F 證明：證明：PA平面平面EDB 證明：證明：PB 平面平面EFD 求二面角求二面角CPBD的大小。的大小。精彩小結 1、深刻理解棱錐、正棱錐的定義及性質，平行于棱錐底面的截、深刻理解棱錐、正棱錐的定義及性質，平行于棱錐底面的截面性質，是解決有關棱錐問題的基礎，判斷一個棱錐是否為正棱面性質，是解決有關棱錐問題的基礎，判斷一個棱錐是否為正棱錐的條件是：（錐的條件是：（1）底面是正多邊形；（）底面是正多邊形；（2）頂點在底面上的射影）頂點在底面上的射影為底面多邊形的中心，兩者缺一不可。為底面多邊形的中心，兩者缺一不可。 2、充分利用正棱錐中的三個、充分利用正棱錐中的三個“特征直角三角形特征

19、直角三角形”，把空圖形轉，把空圖形轉化為平面圖形，是解決正棱錐有關問題的基礎，化為平面圖形，是解決正棱錐有關問題的基礎，精彩小結 3、幾個重要結論：、幾個重要結論： （1）棱錐的側棱均相等，則頂點在底面上的射影是底面多邊形）棱錐的側棱均相等，則頂點在底面上的射影是底面多邊形的外心；棱錐的各側面與底面所成的二面角均相等，則頂點在底的外心；棱錐的各側面與底面所成的二面角均相等，則頂點在底面上的射影為底面多邊形的內心；如果三棱錐的三條側棱兩兩垂面上的射影為底面多邊形的內心；如果三棱錐的三條側棱兩兩垂直，那么頂點在底面上的射影是底面三角形的垂心。直，那么頂點在底面上的射影是底面三角形的垂心。 （2）由

20、正棱錐的定義以及三角形全等，我們不難得到正棱錐的）由正棱錐的定義以及三角形全等，我們不難得到正棱錐的側面與底面所成的二面角都相等，側棱與底面所成的角都相等，側面與底面所成的二面角都相等，側棱與底面所成的角都相等，相鄰兩側面所成的二面角也相等。相鄰兩側面所成的二面角也相等。精彩小結 4、三棱錐的等（體）積變換是解決點到面的距離的常、三棱錐的等（體）積變換是解決點到面的距離的常見方法之一，同時也是使計算簡化的靈活手法；見方法之一，同時也是使計算簡化的靈活手法；“割割”“”“補補”是解決體積問題常用技巧，正棱錐的四是解決體積問題常用技巧，正棱錐的四個個“特征特征”直角三角形，是將直角三角形，是將“空間問題空間問題”轉化為轉化為“平面問題平面問題”的橋梁。的橋梁。