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2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧數(shù)圖形 　　數(shù)出某種圖形的個(gè)數(shù)是一類有趣的圖形問題。由于圖形千變?nèi)f化，錯(cuò)綜復(fù)雜，所以要想準(zhǔn)確地?cái)?shù)出其中包含的某種圖形的個(gè)數(shù)，還真需要?jiǎng)狱c(diǎn)腦筋。要想有條理、不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)出所要圖形的個(gè)數(shù)，最常用的方法就是分類數(shù)。 例1數(shù)出下圖中共有多少條線段。 分析與解：我們可以按照線段的左端點(diǎn)的位置分為A，B，C三類。如下圖所示，以A為左端點(diǎn)的線段有3條，以B為左端點(diǎn)的線段有2條，以C為左端點(diǎn)的線段有1條。所以共有3＋2＋1＝6(條)。 　　我們也可以按照一條線段是由幾條小線段構(gòu)成的來分類。如下圖所示，AB，BC，CD是最基本的小線段，由一條線段構(gòu)成的線段有3條，由兩條小線段構(gòu)成的線段有2條，由三條小線段構(gòu)成的線段有1條。 　　所以，共有3＋2＋1＝6(條)。 　　由例1看出，數(shù)圖形的分類方法可以不同，關(guān)鍵是分類要科學(xué)，所分的類型要包含所有的情況，并且相互不重疊，這樣才能做到不重復(fù)、不遺漏。 例2 下列各圖形中，三角形的個(gè)數(shù)各是多少？ 　　 分析與解：因?yàn)榈走吷系娜魏我粭l線段都對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形(以頂點(diǎn)及這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)，所以各圖中最大的三角形的底邊所包含的線段的條數(shù)就是三角形的總個(gè)數(shù)。由前面數(shù)線段的方法知， 　　圖(1)中有三角形1＋2＝3(個(gè))。 　　圖(2)中有三角形1＋2＋3=6(個(gè))。 　　圖(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(個(gè))。 　　圖(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(個(gè))。 　　圖(5)中有三角形 　　1＋2＋3＋4＋5＋6=21(個(gè))。 例3下列圖形中各有多少個(gè)三角形？ 　　 分析與解：(1)只需分別求出以AB，ED為底邊的三角形中各有多少個(gè)三角形。 　　以AB為底邊的三角形ABC中，有三角形 　　1＋2＋3＝6(個(gè))。 　　以ED為底邊的三角形CDE中，有三角形 　　1＋2＋3＝6(個(gè))。 　　所以共有三角形6＋6=12(個(gè))。 　　這是以底邊為標(biāo)準(zhǔn)來分類計(jì)算的方法。它的好處是可以借助“求底邊線段數(shù)”而得出三角形的個(gè)數(shù)。我們也可以以小塊個(gè)數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)來計(jì)算：圖中共有6個(gè)小塊。 　　由1個(gè)小塊組成的三角形有3個(gè)； 　　由2個(gè)小塊組成的三角形有5個(gè)； 　　由3個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)； 　　由4個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)； 　　由6個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)。 　　所以，共有三角形 　　3＋5＋1＋2＋1＝12(個(gè))。 (2)如果以底邊來分類計(jì)算，各種情況較復(fù)雜，因此我們采用以“小塊個(gè)數(shù)”為分類標(biāo)準(zhǔn)來計(jì)算： 　　由1個(gè)小塊組成的三角形有4個(gè)； 　　由2個(gè)小塊組成的三角形有6個(gè)； 　　由3個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)； 　　由4個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)； 　　由6個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)。 　　所以，共有三角形 　　4＋6＋2＋2＋1＝15(個(gè))。 例4右圖中有多少個(gè)三角形？ 解：假設(shè)每一個(gè)最小三角 　　形的邊長為1。按邊的長度來分 　　類計(jì)算三角形的個(gè)數(shù)。 　　邊長為1的三角形，從上到下一層一層地?cái)?shù)，有 　　1＋3＋5＋7=16(個(gè))； 　　邊長為2的三角形(注意，有一個(gè)尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(個(gè))； 　　邊長為3的三角形有1＋2＝3(個(gè))； 　　邊長為4的三角形有1個(gè)。 　　所以，共有三角形 　　16＋7＋3＋1＝27(個(gè))。 例5數(shù)出下頁左上圖中銳角的個(gè)數(shù)。 分析與解：在圖中加一條虛線，如下頁右上圖。容 　　易發(fā)現(xiàn)，所要數(shù)的每個(gè)角都對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形(這個(gè)角與它所截的虛線段構(gòu)成的三角形)，這就回到例2，從而回到例1的問題，即所求銳角的個(gè)數(shù)，就等于從O點(diǎn)引出的6條射線將虛線截得的線段的條數(shù)。虛線上線段的條數(shù)有 　　1+2+3+4+5=15(條)。 　　所以圖中共有15個(gè)銳角。 例6在下圖中，包含“*”號(hào)的長方形和正方形共有多少個(gè)？ 解：按包含的小塊分類計(jì)數(shù)。 　　包含1小塊的有1個(gè)；包含2小塊的有4個(gè)； 　　包含3小塊的有4個(gè)；包含4小塊的有7個(gè)； 　　包含5小塊的有2個(gè)；包含6小塊的有6個(gè)； 　　包含8小塊的有4個(gè)；包含9小塊的有3個(gè)； 　　包含10小塊的有2個(gè)；包含12小塊的有4個(gè)； 　　包含15小塊的有2個(gè)。 　　所以共有 　　1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(個(gè))。 練習(xí) 　　1.下列圖形中各有多少條線段？ 　　 　　2.下列圖形中各有多少個(gè)三角形？ 　　 　　3.下列圖形中，各有多少個(gè)小于180的角？ 　　 　　4.下列圖形中各有多少個(gè)三角形？ 　　 　　5.下列圖形中各有多少個(gè)長方形？ 　　 　　6.下列圖形中，包含“*”號(hào)的三角形或長方形各有多少？ 　　 　　7.下列圖形中，不含“*”號(hào)的三角形或長方形各有幾個(gè)？ 　　 附送： 2019-2020年三年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 巧求周長 　　我們知道： 　　這兩個(gè)計(jì)算公式看起來十分簡單，但用途卻十分廣泛。用它們可以解決許多直角多邊形(所有的角都是直角的多邊形)的周長問題。這是因?yàn)橹苯嵌噙呅慰偪梢苑指畛扇舾蓚€(gè)正方形或長方形。 　　例如，下面的圖形都可以分割成若干個(gè)正方形或長方形，當(dāng)然分割的方法不是唯一的。 　　由此，可以演變出許多只涉及正方形、長方形周長計(jì)算公式的題目。 例1一個(gè)苗圃園(如左下圖)，周邊和中間有一些路供人行走(圖中線段表示“路”)，幾個(gè)小朋友在里面觀賞時(shí)發(fā)現(xiàn)：從A處出發(fā)，在速度一樣的情況下，只要是按“向右”、“向上”方向走，幾個(gè)人分頭走不同的路線，總會(huì)同時(shí)達(dá)到B處。你知道其中的道理嗎？ 分析與解：如右上圖所示，將各個(gè)交點(diǎn)標(biāo)上字母。由A處到B處，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六條路線： (1)A→C→D→E→B； (2)A→C→O→E→B； (3)A→C→O→F→B； (4)A→H→G→F→B； (5)A→H→O→E→B； (6)A→H→O→F→B。 　　因?yàn)锳→C與H→O，G→F的路程一樣長，所以可以把它們都換成A→C；同理，將O→E，F(xiàn)→B都換成C→D；將A→H，C→O都換成D→E；將H→G，O→F都換成E→B。這樣換過之后，就得到六條路線的長度都與第(1)條路線相同，而第(1)條路線的長“AD+DB”就是長方形的“長+寬”，也就是說，每條路線的長度都是“長+寬”。路程、速度都相同，當(dāng)然到達(dá)B處的時(shí)間就相同了。 例2 計(jì)算下列圖形的周長(單位：厘米)。 解：(1)將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動(dòng)到虛線處(見左下圖)，這樣正好移補(bǔ)成一個(gè)正方形，所以它的周長為254=100(厘米)。 (2)與(1)類似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長方形，周長為 　　(10＋15)2=50(厘米)。 例3 求下面兩個(gè)圖形的周長(單位：厘米)。 　 解：(1)與例2類似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長(15＋10＋15)厘米、寬(12＋20)厘米的長方形，所以周長為 　　(15＋10＋15)2＋(12＋20)2＝144(厘米)。 (2)設(shè)想先把長20厘米的線段向上平移到兩條長15厘米的線段中間，構(gòu)成一個(gè)長60厘米，寬(15＋20＋15)厘米的長方形，此時(shí)，還有兩條長35厘米的豎線段。所以周長為 　　602＋(15＋20＋15)2＋352＝290(厘米)。 例4在一張紙上畫出由四個(gè)邊長為3厘米的正方形拼湊或組合成的圖形(重疊的線段只算畫一次)。顯然，這個(gè)圖形有多種多樣的畫法，下列各圖是其中的一部分畫法。在所有的這些畫法中， (1)哪種畫法畫出的線段總長最長？有多長？ (2)哪種畫法畫出的線段總長最短？有多長？ 分析與解：畫的線段重疊部分越少，畫的線段就越長。反之，重疊部分越多，畫的線段就越短。因此，類似圖1那樣畫的線條最長，共畫了 　　344=48(厘米)。 　　右圖畫的線條最短，共畫了 　　(3＋3)6=36(厘米)。 　 例5下圖是一個(gè)方形螺線。已知兩相鄰平行線之間的距離均為1厘米，求螺線的總長度。 分析與解：如左下圖所示，按箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)虛線部分，于是得到了三個(gè)邊長分別為3，5，7厘米的正方形和中間一個(gè)三邊圖形(見右下圖)。所以螺線總長度為 　　(3＋5＋7)4＋13=63(厘米)。 練習(xí) 　　1.試求左下圖的周長(單位：厘米)。 　 　　2.上頁右下圖是由邊長為1厘米的11個(gè)正方形堆成的“土”字圖形。試求出其周長。 　　3.右圖是某小學(xué)教學(xué)樓的平面示意圖，設(shè)計(jì)者在圖上只標(biāo)明了三條線段的長度(單位：米)。請(qǐng)你算出它的周長。 　　4.下圖是由七個(gè)長5厘米、寬3厘米的相同長方形經(jīng)過豎放、橫放而成的圖形。求這個(gè)圖形的周長。 　　5.下面兩圖中的小方格的大小相同。圖(1)的周長為48厘米，圖(2)的周長等于多少？ 　　6.如右圖所示，一個(gè)正方形被分成了三個(gè)相同的長方形。如果其中一個(gè)長方形的周長是16米，那么這個(gè)正方形的周長是多少米？