《學(xué)案7 函數(shù)與方程及函數(shù)的實際應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《學(xué)案7 函數(shù)與方程及函數(shù)的實際應(yīng)用（49頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.1.函數(shù)與方程的關(guān)系函數(shù)與方程的關(guān)系( (會借助圖象解決有關(guān)根個數(shù)的會借助圖象解決有關(guān)根個數(shù)的 問題問題).).2.2.數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模( (把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題).).3.3.能熟練解決有關(guān)函數(shù)零點的問題并能用二分法求相能熟練解決有關(guān)函數(shù)零點的問題并能用二分法求相 應(yīng)方程的近似解應(yīng)方程的近似解. .4.4.數(shù)形結(jié)合思想在解答數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想在解答數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用. . 學(xué)案學(xué)案7 7 函數(shù)與方程及函數(shù)的實際應(yīng)用函數(shù)與方程及函數(shù)的實際應(yīng)用 1.(20091.(2009福建福建) )函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c

2、 c( (a a0)0)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于 直線直線 對稱對稱. .據(jù)此可推測，對任意的非零實數(shù)據(jù)此可推測，對任意的非零實數(shù) a a, ,b b, ,c c, ,m m, ,n n, ,p p關(guān)于關(guān)于x x的方程的方程m m f f( (x x)2 2+ +nf nf( (x x)+)+p p=0=0的解集的解集 不可能是不可能是 （ ） A.1,2 B.1,4A.1,2 B.1,4 C.1,2,3,4 D.1,4,16,64 C.1,2,3,4 D.1,4,16,64解析解析 本題用特例法解決簡潔快速本題用特例法解決簡潔快速, ,對方程對方程m m f f( (x x)2 2+ + nf

3、nf( (x x)+)+p p=0=0中中m m, ,n n, ,p p分別賦值求出分別賦值求出f f( (x x) )代入代入f f( (x x)=0)=0求出求出 檢驗即得檢驗即得. .abx2D D2.(20082.(2008安徽安徽) )若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x) )、g g( (x x) )分別為分別為R R上的奇函上的奇函 數(shù)、偶函數(shù)數(shù)、偶函數(shù), ,且滿足且滿足f f( (x x)-)-g g( (x x)=e)=ex x，則有，則有 （ ） A.A.f f(2)(2)f f(3)(3)g g(0) B.(0) B.g g(0)(0)f f(3)(3)f f(2)(2) C.

4、 C.f f(2)(2)g g(0)(0)f f(3) D.(3) D.g g(0)(0)f f(2)(2)f f(3)(3)解析解析 由題意得由題意得f f(-(-x x)-)-g g(-(-x x)=e)=e- -x x，又，又f f( (x x) )為奇函數(shù)，為奇函數(shù)， g g( (x x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,所以上式可化為所以上式可化為- -f f( (x x)-)-g g( (x x)=e)=e- -x x, ,與已與已 知知f f( (x x)-)-g g( (x x)=e)=ex x聯(lián)立得聯(lián)立得 所以所以f f( (x x) )在定義域在定義域R R上上 為增函數(shù)為增函數(shù),

5、 ,所以所以0=0=f f(0)(0)f f(2)(2)f f(3).(3). 又又g g(0)=-1(0)=-10,0,所以所以g g(0)(0)f f(2)(2)f f(3(3）. . ,2ee)(,2ee)(xxxxxgxf,0)ee (21)( 恒成立而xxxfD D3.(20093.(2009北京北京) )已知函數(shù)已知函數(shù) 若若f f( (x x)=2,)=2, 則則x x=_.=_.解析解析 , 1, 1,3)(xxxxfxloglog3 32 2, 2log2313xxx.221無解xxx4.4.若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù), ,當(dāng)當(dāng)x x0 0時時, ,

6、f f( (x x)=-lg(-)=-lg(-x x)+)+x x+3,+3, 已知已知f f( (x x)=0)=0有一個根為有一個根為x x0 0，且，且x x0 0(n n, ,n n+1),+1),n nNN* *, ,則則 n n的值為的值為_._.解析解析 設(shè)設(shè)x x0,0,則則- -x x0,0,所以所以f f(-(-x x)=-lg )=-lg x x- -x x+3,+3,又因為又因為 函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )為奇函數(shù)為奇函數(shù), ,所以所以f f(-(-x x)=-)=-f f( (x x),),則則x x0 0時時, , f f( (x x)=lg )=lg x x

7、+ +x x-3,-3,又又f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), , 由由f f(2)=lg 2-1(2)=lg 2-10,0,f f(3)=lg 3(3)=lg 30, 0, 所以所以x x0 0(2,3)(2,3)，則，則n n=2. =2. 2 2題型一題型一 函數(shù)的零點函數(shù)的零點【例【例1 1】(2009(2009山東山東) )已知定義在已知定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù)f f( (x x) )， 且滿足且滿足f f( (x x-4)=-4)=-f f( (x x),),且在區(qū)間且在區(qū)間0,20,2上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,若若 方程方程f f( (

8、x x)=)=m m ( (m m0)0)在區(qū)間在區(qū)間-8,8-8,8上有四個不同的根上有四個不同的根 x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4, ,則則x x1 1+ +x x2 2+ +x x3 3+ +x x4 4=_.=_.解析解析 因為定義在因為定義在R R上的奇函數(shù)上的奇函數(shù), ,滿足滿足f f( (x x-4)=-4)=-f f( (x x),),所所 以以f f( (x x-4)=-4)=f f(-(-x x),),所以函數(shù)圖象關(guān)于直線所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x x=-2=-2對稱且對稱且 f f(0)=0,(0)=0,由由f f( (x x-4)=-4)

9、=-f f( (x x) )知知f f( (x x-8)=-8)=f f( (x x),),所以函數(shù)是以所以函數(shù)是以 8 8為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù), ,又因為又因為f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間0,20,2上是增上是增 函數(shù)函數(shù), ,所以所以f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間-2-2，00上也是增函數(shù)上也是增函數(shù). .如圖所示，那么方程如圖所示，那么方程f f( (x x)=)=m m ( (m m0)0)在區(qū)間在區(qū)間-8,8-8,8上上有四個不同的根有四個不同的根x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4, ,不妨設(shè)不妨設(shè)x x1 1x x2 2x

10、x3 3x x4 4，由對稱性知，由對稱性知，x x1 1+ +x x2 2=-12,=-12,x x3 3+ +x x4 4=4,=4,所以所以x x1 1+ +x x2 2+ +x x3 3+ +x x4 4=-12+4=-8.=-12+4=-8.答案答案 -8-8【探究拓展探究拓展】根據(jù)函數(shù)零點與方程的根之間的關(guān)系，】根據(jù)函數(shù)零點與方程的根之間的關(guān)系， 可以求解有關(guān)一元二次方程的根的分布問題可以求解有關(guān)一元二次方程的根的分布問題, ,也可利也可利 用零點的存在性定理來確定用零點的存在性定理來確定, ,即判斷某個區(qū)間兩端點即判斷某個區(qū)間兩端點 的函數(shù)值的符號來斷定零點的存在及零點的個數(shù)的函

11、數(shù)值的符號來斷定零點的存在及零點的個數(shù). .數(shù)數(shù) 形結(jié)合也是處理這一類型問題的好方法形結(jié)合也是處理這一類型問題的好方法. . 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 1 設(shè)定義域為設(shè)定義域為R R的函數(shù)的函數(shù) 若關(guān)于若關(guān)于x x的方程的方程f f2 2( (x x)+)+af af( (x x)+)+b b=0=0有三個不同的實根有三個不同的實根x x1 1, , x x2 2, ,x x3 3, ,則則 的值為的值為_._.解析解析 由圖象可知若方程由圖象可知若方程f f2 2( (x x)+)+af af( (x x)+)+b b=0=0有三個不同有三個不同 的實根只須的實根只須f f( (x x)=1,)=

12、1,所以必有一根為所以必有一根為2,2,另兩根是方程另兩根是方程 的根的根, ,這兩根分別是這兩根分別是1 1和和3.3.,)2(1)2(|2|1)(xxxxf1|2|1x232221xxx.14232221xxx所以1414題型二題型二 函數(shù)思想的應(yīng)用函數(shù)思想的應(yīng)用【例【例2 2】已知二次函數(shù)】已知二次函數(shù)f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c, , (1) (1)若若a a b b c c, ,且且a a+ +b b+ +c c=0,=0,試證明試證明f f( (x x)=0)=0必有兩個實根必有兩個實根; ; (2) (2)若對若對x x1 1，x x2 2R

13、R且且x x1 1x x2 2，f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),),試證明方程試證明方程 f f( (x x)= )= f f( (x x1 1)+)+f f( (x x2 2)有兩不等實根有兩不等實根, ,且必有一個實根且必有一個實根 屬于屬于( (x x1 1, ,x x2 2).).證明證明 (1)(1)若若a ab bc c, ,a a+ +b b+ +c c=0,=0, 則則a a0,0,c c0,0,且且b b=-(=-(a a+ +c c),),所以方程所以方程f f( (x x)=0)=0可化為可化為: : axax2 2-(-(a a+ +c c) )x

14、 x+ +c c=0,=0, 即即a a( (x x-1)(-1)(x x - )=0,- )=0, 則則f f( (x x)=0)=0有兩根有兩根x x1 1=1,=1,x x2 2= =21ac.ac(2)(2)令令g g( (x x)=)=f f( (x x)- )- f f( (x x1 1)+)+f f( (x x2 2),),由題意可知由題意可知: :g g( (x x) )是開口向上的二次函數(shù)是開口向上的二次函數(shù), ,又又g g( (x x1 1)= )= f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2),),g g( (x x2 2)= )= f f( (x x2 2

15、)-)-f f( (x x1 1), ), 且且x x1 1 x x2 2, ,f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),),所以所以g g( (x x1 1) )g g( (x x2 2)= )= f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)2 20,0,)0,xm,2mx;2mx;1)1 (11)1 (2)1 (442)(11, 0;1)1 (11)1 (2)1 (442)(,11, 0kkmkkmxkxxfy，mkmkkmkkmxkxxfymkm有兩個零點故函數(shù)則若有兩個零點故函數(shù)則若 當(dāng)當(dāng)k k11時時, ,方程方程( (* *) )有一解有一解=4-4=4-

16、4m m(1-(1-k k)=0,)=0,【探究拓展探究拓展】此題考查了函數(shù)的零點、最值、一元二】此題考查了函數(shù)的零點、最值、一元二 次方程等基礎(chǔ)知識，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方次方程等基礎(chǔ)知識，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方 法，體現(xiàn)了函數(shù)與方程，分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了函數(shù)與方程，分類與整合的數(shù)學(xué)思想方 法法. .11)(,11kxkxxfymk有一個零點函數(shù)變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3 3 已知定義域為已知定義域為R R的函數(shù)的函數(shù)f f( (x x) )滿足滿足 f f( (f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x)=)=f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x. . (

17、1) (1)若若f f(2)=3,(2)=3,求求f f(1);(1);又若又若f f(0)=(0)=a a, ,求求f f( (a a);); (2) (2)設(shè)有且僅有一個實根設(shè)有且僅有一個實根x x0 0, ,使得使得f f( (x x0 0)=)=x x0 0, ,求函數(shù)求函數(shù)f f( (x x) ) 的解析表達(dá)式的解析表達(dá)式. .解解 (1)(1)因為對任意因為對任意x xR,R, 有有f f( (f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x)=)=f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x. . 所以所以f f( (f f(2)-2(2)-22 2+2)=+2)=f f

18、(2)-2(2)-22 2+2.+2. 又由又由f f(2)=3,(2)=3,得得f f(3-2(3-22 2+2)=3-2+2)=3-22 2+2,+2, 即即f f(1)=1,(1)=1,若若f f(0)=(0)=a a, , 則則f f( (a a-0-02 2+0)=+0)=a a-0-02 2+0,+0,即即f f( (a a)=)=a a. .(2)(2)因為對任意因為對任意x xR,R,有有f f( (f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x)=)=f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x. . 又因為有且只有一個實數(shù)又因為有且只有一個實數(shù)x x0 0, ,使

19、得使得f f( (x x0 0)=)=x x0 0. . 所以對任意所以對任意x xR,R,有有f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x= =x x0 0. . 在上式中令在上式中令x x= =x x0 0, ,有有f f( (x x0 0)- +)- +x x0 0= =x x0 0. . 又因為又因為f f( (x x0 0)=)=x x0 0, ,所以所以x x0 0- =0,- =0, 故故x x0 0=0=0或或x x0 0=1,=1, 若若x x0 0=0,=0,則則f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x=0,=0,即即f f( (x x)=)=x x2 2-

20、 -x x. . 但方程但方程x x2 2- -x x= =x x有兩個不相同實根有兩個不相同實根, ,與題設(shè)條件矛盾與題設(shè)條件矛盾. . 故故x x0 00.0. 若若x x0 0=1,=1,則有則有f f( (x x)-)-x x2 2+ +x x=1,=1, 即即f f( (x x)=)=x x2 2- -x x+1.+1.易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件易驗證該函數(shù)滿足題設(shè)條件. . 綜上綜上, ,所求函數(shù)所求函數(shù)f f( (x x)=)=x x2 2- -x x+1 (+1 (x xR).R). 20 x20 x題型四題型四 函數(shù)的實際應(yīng)用函數(shù)的實際應(yīng)用【例【例4 4】(2009(2009山

21、東山東) )兩縣城兩縣城A A和和B B相距相距20 km,20 km,現(xiàn)計劃現(xiàn)計劃 在兩縣城外以在兩縣城外以ABAB為直徑的半圓弧為直徑的半圓弧 上選擇一點上選擇一點C C建建 造垃圾處理廠造垃圾處理廠, ,其對城市的影響度與所選地點到城市其對城市的影響度與所選地點到城市 的距離有關(guān)的距離有關(guān), ,對城對城A A和城和城B B的總影響度為對城的總影響度為對城A A與對城與對城 B B的影響之和的影響之和, ,記記C C點到城點到城A A的距離為的距離為x x km, km,建在建在C C處的處的 垃圾處理廠對城垃圾處理廠對城A A和城和城B B的總影響度為的總影響度為y y，統(tǒng)計調(diào)查表，統(tǒng)計

22、調(diào)查表 明明: :垃圾處理廠對城垃圾處理廠對城A A的影響度與所選地點到城的影響度與所選地點到城A A的距的距 離的平方成反比，比例系數(shù)為離的平方成反比，比例系數(shù)為4;4;對城對城B B的影響度與所的影響度與所 選地點到城選地點到城B B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k k, ,當(dāng)當(dāng) 垃圾處理廠建在弧垃圾處理廠建在弧 的中點時，對城的中點時，對城A A和城和城B B的總影的總影 響度為響度為0.065.0.065. (1)(1)將將y y表示成表示成x x的函數(shù)的函數(shù); ;(2)(2)討論討論(1)(1)中函數(shù)的單調(diào)性中函數(shù)的單調(diào)性, ,并判斷弧并判斷弧 上是否存

23、在上是否存在 一點，使建在此處的垃圾處理廠對城一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A A和城和城B B的總影的總影 響度最小響度最小? ?若存在若存在, ,求出該點到城求出該點到城A A的距離的距離; ;若不存在若不存在, , 說明理由說明理由. .解解 (1)(1)如圖所示如圖所示, ,由題意知由題意知ACAC BCBC, ,即即ACBACB=90=90, , ACAC= =x x km km，BCBC2 2=400-=400-x x2 2, ,其中當(dāng)其中當(dāng) 時時, ,y y=0.065,=0.065,所以所以k k=9.=9.所以所以y y表示成表示成x x的函數(shù)為的函數(shù)為).200(4004

24、22xxkxy210 x).200(4009422xxxy1818x x4 4=8(400-=8(400-x x2 2) )2 2, ,所以所以x x2 2=160,=160,x x= ,= ,當(dāng)當(dāng)0 0 x x 時時,18,18x x4 48(400-8(400-x x2 2) )2 2, ,即即y y0,0,所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù), ,當(dāng)當(dāng) x x2020時時,18,18x x4 48(400-8(400-x x2 2) )2 2, ,即即y y0,0,所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù). .)400()400(818)400()2(98),200(40094)2(

25、22322422322xxxxxxxyxxxy10410464所以當(dāng)所以當(dāng)x x= = 時時, ,即當(dāng)即當(dāng)C C點到城點到城A A的距離為的距離為 時時, ,【探究拓展探究拓展】本題主要考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)】本題主要考查了函數(shù)在實際問題中的應(yīng) 用用, ,運用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的能力和運用換運用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的能力和運用換 元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題. .104104.)200(4009422有最小值函數(shù)xxxy變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4 4 (2009 (2009湖南湖南) )某地建一座橋某地建一座橋, ,兩端的橋墩兩端的橋墩 已

26、建好已建好, ,這兩墩相距這兩墩相距m m米米, ,余下工程只需建兩端橋墩之余下工程只需建兩端橋墩之 間的橋面和橋墩間的橋面和橋墩, ,經(jīng)預(yù)測經(jīng)預(yù)測, ,一個橋墩的工程費用為一個橋墩的工程費用為256256 萬元萬元, ,距離為距離為x x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為 (2+(2+ ) )x x萬元萬元. .假設(shè)橋墩等距離分布假設(shè)橋墩等距離分布, ,所有橋墩都視為所有橋墩都視為 點點, ,且不考慮其他因素且不考慮其他因素, ,記余下工程的費用為記余下工程的費用為y y萬元萬元. .(1)(1)試寫出試寫出y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式; ;(2

27、)(2)當(dāng)當(dāng)m m=640=640米時米時, ,需新建多少個橋墩才能使需新建多少個橋墩才能使y y最小最小? ?x解解 (1)(1)設(shè)需要新建設(shè)需要新建n n個橋墩個橋墩,(,(n n+1)+1)x x= =m m, ,.2562256)2() 1(256)2)(1(256)(mxmxmxxxmxmxxnnxfy所以, 1xmn即).512(221256)( ,) 1 ()2(232212xxmmxxmxf知由令令f f(x x)=0,)=0,得得 所以所以x x=64.=64.當(dāng)當(dāng)0 0 x x6464時，時，f f(x x) )0,0,f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(0,64)(0,

28、64)內(nèi)為減內(nèi)為減函數(shù)函數(shù); ;當(dāng)當(dāng)6464x x640640時時, ,f f(x x) )0,0,f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(64,640)(64,640)內(nèi)為增函數(shù)內(nèi)為增函數(shù), ,所以所以f f( (x x) )在在x x=64=64處取得最小值處取得最小值, ,此時此時, ,故需新建故需新建9 9個橋墩才能使個橋墩才能使y y最小最小. . ,51223x. 91646401xmn【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】 (2009(2009江西江西) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x)=)=x x3 3- - x x2 2+6+6x x- -a a. . (1) (1)對于任意實數(shù)對于任意實

29、數(shù)x x, ,f f(x x)m m恒成立恒成立, ,求求m m的最大值的最大值; ; (2) (2)若方程若方程f f( (x x)=0)=0有且僅有一個實根有且僅有一個實根, ,求求a a的取值范圍的取值范圍. .【解題示范解題示范】 解解 (1)(1)f f(x x)=3)=3x x2 2-9-9x x+6=3(+6=3(x x-1)(-1)(x x-2),-2), 2 2分分 因為因為x x(-,+),(-,+),f f(x x)m m, , 即即3 3x x2 2-9-9x x+(6-+(6-m m)0)0恒成立恒成立, , 4 4分分 所以所以=81-12(6-=81-12(6-m

30、 m)0,)0,得得m m 即即m m的最大值為的最大值為 6 6分分,43.4329(2)(2)因為當(dāng)因為當(dāng)x x1 1時時, ,f f(x x) )0;0;當(dāng)當(dāng)1 1x x2 2時時, ,f f(x x) )0;0;當(dāng)當(dāng)x x2 2時時, ,f f(x x) )0;0;所以當(dāng)所以當(dāng)x x=1=1時時, ,f f( (x x) )取極大值取極大值f f(1)= -(1)= -a a; ; 9 9分分當(dāng)當(dāng)x x=2=2時時, ,f f( (x x) )取極小值取極小值f f(2)=2-(2)=2-a a; ; 1010分分故當(dāng)故當(dāng)f f(2)(2)0 0或或f f(1)(1)0 0時時, ,方

31、程方程f f( (x x)=0)=0僅有一個實根僅有一個實根. . 解得解得a a2 2或或a a 1212分分25.251.1.若連續(xù)函數(shù)若連續(xù)函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間( (a a, ,b b) )上滿足上滿足f f( (a a)f f( (b b) )0,0, 則函數(shù)則函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間( (a a, ,b b) )上上, ,至少有一個零點至少有一個零點. .但還應(yīng)但還應(yīng) 注意當(dāng)曲線與注意當(dāng)曲線與x x軸相切時軸相切時, ,函數(shù)存在零點但不滿足該函數(shù)存在零點但不滿足該 點附近左右兩點函數(shù)值的積小于零；切記點附近左右兩點函數(shù)值的積小于零；切記. .2.2

32、.在解決數(shù)學(xué)建模的有關(guān)問題時，一定要弄清題意，在解決數(shù)學(xué)建模的有關(guān)問題時，一定要弄清題意， 分清條件和結(jié)論分清條件和結(jié)論, ,理順數(shù)量關(guān)系理順數(shù)量關(guān)系; ;將文字語言翻譯成將文字語言翻譯成 數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)語言, ,再變換成符號語言再變換成符號語言, ,進(jìn)而根據(jù)題意列出相進(jìn)而根據(jù)題意列出相 應(yīng)的等式求解應(yīng)的等式求解, ,將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際 問題，切記所求結(jié)論要符合客觀實際問題，切記所求結(jié)論要符合客觀實際. .3.3.常見重要的數(shù)學(xué)模型有：常見重要的數(shù)學(xué)模型有：二次函數(shù)解決有關(guān)最值二次函數(shù)解決有關(guān)最值 問題；問題；分式函數(shù)模型：分式函數(shù)模型：y y= =

33、x x + (+ (x x0)0)給定區(qū)間上給定區(qū)間上 結(jié)合單調(diào)性解決最值問題結(jié)合單調(diào)性解決最值問題; ;應(yīng)用應(yīng)用y y= =N N( (H H+ +p p) )x x的模型的模型 解決有關(guān)增長率及利息等問題解決有關(guān)增長率及利息等問題. .4.4.在解決函數(shù)與方程的有關(guān)問題時，常常利用數(shù)形結(jié)在解決函數(shù)與方程的有關(guān)問題時，常常利用數(shù)形結(jié) 合思想進(jìn)行解答合思想進(jìn)行解答. . x1一、選擇題一、選擇題1.1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x)=log)=loga a( (x x+ +b b) () (a a0,0,a a1)1)的圖象過點的圖象過點(2,(2, 1), 1),其反函數(shù)的圖象過點其反函數(shù)

34、的圖象過點(2,8),(2,8),則則a a+ +b b等于等于 （ ） A.6 B.5 C.4 D.3A.6 B.5 C.4 D.3解析解析 函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=log)=loga a( (x x+ +b b) () (a a0,0,a a1)1)的圖象過點的圖象過點 (2,1),(2,1),其反函數(shù)的圖象過點其反函數(shù)的圖象過點(2,8),(2,8),則原函數(shù)圖象過則原函數(shù)圖象過 點點(8,2).(8,2). a a=3=3或或a a=-2(=-2(舍舍),),b b=1.=1.a a+ +b b=4.=4.,82,2)8(log1)2(log2abababaaC C2.2.客車從

35、甲地以客車從甲地以60 km/h60 km/h的速度行駛的速度行駛1 1小時到達(dá)乙地，小時到達(dá)乙地， 在乙地停留了半小時，然后以在乙地停留了半小時，然后以80 km/h80 km/h的速度行駛的速度行駛1 1 小時到達(dá)丙地小時到達(dá)丙地. .下列描述客車從甲地出發(fā)下列描述客車從甲地出發(fā), ,經(jīng)過乙地經(jīng)過乙地, , 最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程s s與時間與時間t t之間的關(guān)系圖象之間的關(guān)系圖象 中中, ,正確的是正確的是 （ ）解析解析 由題意可知客車在整個過程中的路程函數(shù)由題意可知客車在整個過程中的路程函數(shù)s s( (t t) ) 的表達(dá)式為的表達(dá)式為: : 對比各選項的曲

36、線知應(yīng)選對比各選項的曲線知應(yīng)選B. B. 答案答案 B B)2523(6080)231 (60) 10(60)(tttttts3.(20083.(2008遼寧遼寧) )設(shè)設(shè)f f( (x x) )是連續(xù)的偶函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù), ,且當(dāng)且當(dāng)x x0 0時是時是 單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù), ,則滿足則滿足 的所有的所有x x之和為之和為 ( )( ) A.-3 B.3 C.-8 D.8 A.-3 B.3 C.-8 D.8解析解析 因為因為f f( (x x) )是連續(xù)的偶函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù), ,且且x x0 0時是單調(diào)函時是單調(diào)函 數(shù)數(shù), ,由偶函數(shù)的性質(zhì)可知若由偶函數(shù)的性質(zhì)可知若 只有兩種情只有兩種情

37、況況: : 由由知知x x2 2+3+3x x-3=0,-3=0,故兩根之和為故兩根之和為x x1 1+ +x x2 2=-3.=-3. 由由知知x x2 2+5+5x x+3=0+3=0，故其兩根之和為，故其兩根之和為x x3 3+ +x x4 4=-5.=-5. 因此滿足條件的所有因此滿足條件的所有x x之和為之和為-8. -8. )43()(xxfxf),43()(xxfxf;43xxx; 043xxxC C4.4.若函數(shù)若函數(shù)y y= =f f( (x x) () (x xR)R)滿足滿足f f( (x x+2)=+2)=f f( (x x),),且且x x-1,1-1,1 時時, ,

38、f f( (x x)=|)=|x x|,|,則函數(shù)則函數(shù)F F( (x x)=)=f f( (x x)-|log)-|log5 5| |x x|的零點的個的零點的個 數(shù)是數(shù)是 （ ） A.5 B.6 C.10 D.12A.5 B.6 C.10 D.12解析解析 因因f f( (x x+2)=+2)=f f( (x x),),所以所以f f( (x x) )是以是以2 2為周期的函數(shù)為周期的函數(shù), , 且且x x-1,1-1,1時時, ,f f( (x x)=|)=|x x|,|,在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù) f f( (x x) )及函數(shù)及函數(shù)y y=|log=|log5 5|

39、 |x x|的圖象，則兩圖象的交點個的圖象，則兩圖象的交點個 數(shù)數(shù), ,即為函數(shù)即為函數(shù)F F( (x x)=)=f f( (x x)-|log)-|log5 5| |x x|的零點的個數(shù)的零點的個數(shù). . C C5.(20085.(2008陜西陜西) )定義在定義在R R上的函數(shù)上的函數(shù)f f( (x x) )滿足滿足f f( (x x+ +y y)=)=f f( (x x) ) + +f f( (y y)+2)+2xyxy( (x x, ,y yR),R),f f(1)=2,(1)=2,則則f f(-3)(-3)等于等于 ( )( ) A.2 B.3 C.6 D.9 A.2 B.3 C.6

40、 D.9解析解析 f f(1)=(1)=f f(0+1)=(0+1)=f f(0)+(0)+f f(1)+2(1)+20 01 1 = =f f(0)+(0)+f f(1),(1),f f(0)=0.(0)=0. f f(0)=(0)=f f(-1+1)=(-1+1)=f f(-1)+(-1)+f f(1)+2(1)+2(-1)(-1)1 1 = =f f(-1)+(-1)+f f(1)-2,(1)-2,f f(-1)=0.(-1)=0. f f(-1)=(-1)=f f(-2+1)=(-2+1)=f f(-2)+(-2)+f f(1)+2(1)+2(-2)(-2)1 1 = =f f(-2)

41、+(-2)+f f(1)-4,(1)-4,f f(-2)=2. (-2)=2. f f(-2)=(-2)=f f(-3+1)=(-3+1)=f f(-3)+(-3)+f f(1)+2(1)+2(-3)(-3)1 1 = =f f(-3)+(-3)+f f(1)-6,(1)-6,f f(-3)=6. (-3)=6. C C6.6.已知圓已知圓C C: :x x2 2+ +y y2 2=4 (=4 (x x00，y y0)0)與函數(shù)與函數(shù)f f( (x x)=log)=log2 2x x， g g( (x x)=2)=2x x的圖象分別交于的圖象分別交于A A( (x x1 1, ,y y1 1)

42、,),B B( (x x2 2, ,y y2 2),),則則 等于等于 ( )( ) A.16 B.8 C.4 D.2 A.16 B.8 C.4 D.2解析解析 由題意可知由題意可知: :其函數(shù)圖象其函數(shù)圖象 如右圖所示，因為函數(shù)如右圖所示，因為函數(shù)f f( (x x) )， g g( (x x) )互為反函數(shù)所以其圖象關(guān)互為反函數(shù)所以其圖象關(guān) 于直線于直線l l: :x x- -y y=0=0對稱，因交點為對稱，因交點為 A A( (x x1 1, ,y y1 1),),B B( (x x2 2, ,y y2 2),),所以所以x x2 2= =y y1 1. . 即即2221xx . 42

43、1212221yxxxC C二、填空題二、填空題7.7.已知函數(shù)已知函數(shù) 且且f f(2)=(2)=f f(0),(0),f f(3)(3) = 9,= 9,則關(guān)于則關(guān)于x x的方程的方程f f( (x x)=)=x x的解的個數(shù)為的解的個數(shù)為_._.解析解析 由由f f(2)=(2)=f f(0),(0),得得b b=-4,=-4,再由再由f f(3)=9,(3)=9,得得c c=3,=3,當(dāng)當(dāng)x x00時時, ,f f( (x x)=)=x x, ,即即2 2x x2 2-5-5x x+3=0,+3=0,解得解得x x= = 或或x x=1;=1;當(dāng)當(dāng)x x0 0時時,3=,3=x x方程

44、無解方程無解. . ,)0(3)0(2)(2xxcbxxxf,)0(3)0(342)(2xxxxxf232 28.8.關(guān)于關(guān)于x x方程方程| |x x2 2-4-4x x+3|-+3|-a a= =x x有有3 3個不等的實數(shù)根，則實個不等的實數(shù)根，則實 數(shù)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是_._.解析解析 因原方程可整理為因原方程可整理為|(|(x x-2)-2)2 2-1|=-1|=x x+ +a a，在同一坐，在同一坐 標(biāo)系下畫出函數(shù)標(biāo)系下畫出函數(shù)f f( (x x)=|()=|(x x-2)-2)2 2-1|-1|及及y y= =x x+ +a a的圖象，由的圖象，由 圖象可知：圖象可

45、知： 當(dāng)當(dāng)a a=-1=-1時，原方程有時，原方程有3 3個不等的實數(shù)根；個不等的實數(shù)根； 消去消去y y，令，令=0,=0,得得 綜上可知綜上可知: :a a=-1=-1或或)34(2xxyaxy由;43a.43a43, 19.9.某地區(qū)預(yù)計某地區(qū)預(yù)計20092009年的前年的前x x個月內(nèi)對某種商品的需求個月內(nèi)對某種商品的需求 總量總量f f( (x x)()(萬件萬件) )與月份與月份x x的近似關(guān)系式是的近似關(guān)系式是f f( (x x)=)= x x( (x x+1)(19-+1)(19-x x) () (x xNN* *,1,1x x12),12),若若20092009年的第年的第

46、x x月份的需求量月份的需求量g g( (x x)()(萬件萬件) )最大最大, ,則則x x的值是的值是_._.解析解析 由題意可知：由題意可知： g g( (x x)=)=f f( (x x)-)-f f( (x x-1)-1) = = x x( (x x+1)(19-+1)(19-x x)-()-(x x-1)-1)x x(20-(20-x x) 此時此時x x=6=6或或7. 7. 751751,1001692)13(251)13(2512xxxx6 6或或7 710.10.f f( (x x) )是定義在是定義在R R上的以上的以3 3為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù), ,且且f f(2

47、)=0,(2)=0, 則函數(shù)則函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間(0,6)(0,6)內(nèi)零點的個數(shù)的最小值是內(nèi)零點的個數(shù)的最小值是 _._.解析解析 由題意可得由題意可得: :f f(4)=(4)=f f(1)=(1)=f f(-2)=(-2)=f f(2)=(2)=f f(5)(5)， f f(0)=(0)=f f(3)=(3)=f f(6)=0,(6)=0, 即在區(qū)間即在區(qū)間(0,6)(0,6)內(nèi)內(nèi)f f( (x x)=0)=0的解的個數(shù)是的解的個數(shù)是5 5； 又又f f( (x x+3)=+3)=f f( (x x),),令令x x= = 所以在區(qū)間所以在區(qū)間(0,6)(0,6)內(nèi)解

48、的個數(shù)的最小值是內(nèi)解的個數(shù)的最小值是7. 7. ,23, 0)29(. 0)23(),23()23()23(fffff則即則7 7三、解答題三、解答題11.11.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx+ +c c, ,且且f f(1)= ,3(1)= ,3a a22c c22b b, ,求證求證: :(2)(2)設(shè)設(shè)x x1 1，x x2 2是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x) )的兩個零點，則的兩個零點，則證明證明 (1)(1)因為因為f f(1)= ,(1)= ,則則3 3a a+2+2b b+2+2c c=0,=0, 又又3 3a a22c c22b b, ,所以

49、所以2a;4330) 1 (aba且.457|221xx2a.00,0609baba即.4330,043026abababa且所以同理(2)(2)因為因為x x1 1, ,x x2 2是函數(shù)是函數(shù)f f( (x x) )的兩個零點的兩個零點, , 即即x x1 1, ,x x2 2是方程是方程axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0的兩根的兩根, , .457|2,433,2)2()23(4)(|,4)()(|.23,21222121221221212121xxababababxxxxxxxxxxabacxxabxx所以又所以又所以12.12.（20082008江蘇）某地有三家工廠，分

50、別位于矩形江蘇）某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCDABCD的頂點的頂點A A，B B及及CDCD的中點的中點P P處，已知處，已知ABAB=20 km,=20 km, CBCB=10 km=10 km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形 ABCDABCD的區(qū)域上的區(qū)域上( (含邊界含邊界),),且與且與A A，B B等距離的一點等距離的一點O O 處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AOAO，BOBO， OPOP，設(shè)排污管道的總長為，設(shè)排污管道的總長為y y km. km. (1) (1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：按下

51、列要求寫出函數(shù)關(guān)系式： 設(shè)設(shè)BAOBAO= = （radrad），將），將y y表示成表示成 的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式 設(shè)設(shè)OPOP= =x x(km),(km),將將y y表示成表示成x x的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式 (2)(2)請你選用請你選用(1)(1)中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處 理廠的位置，使三條排污管道總長度最短理廠的位置，使三條排污管道總長度最短. . 解解 (1)(1)由條件知由條件知PQPQ垂直平分垂直平分ABAB, ,).40(10cossin1020,tan1010cos10cos10,tan1010.cos10,cos10cos),rad(

52、yOPOBOAyOPOBBAOAQOABAO故所求函數(shù)關(guān)系式為所以又故則若若若OPOP= =x x (km), (km),則則OQOQ=(10-=(10-x x) (km),) (km),故所求函數(shù)關(guān)系式為故所求函數(shù)關(guān)系式為(2)(2)選擇函數(shù)模型選擇函數(shù)模型, , .2002010)10(222xxxOBOA所以).100(2002022xxxxy.6,40,21sin, 0,cos) 1sin2(10cos)sin)(sin1020(coscos1022所以因為得令yy這時點這時點O O位于線段位于線段QBQB中垂線上中垂線上, ,且距離且距離ABAB邊邊 kmkm處處. .).km)(10310(1023211020,6;, 0,)4,6(;, 0,)6, 0(minyyyyy時所以當(dāng)?shù)脑龊瘮?shù)是時當(dāng)?shù)臏p函數(shù)是時當(dāng)3310返回