12一、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成一、兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAx某質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)某質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同頻率同頻率且且在在同一條直線上同一條直線上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。合振動(dòng)：合振動(dòng)：21xxx )cos()cos(2211 tAtA利用利用三角公式三角公式或或旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量可求得合振動(dòng)：可求得合振動(dòng)：兩個(gè)兩個(gè)同同方向方向同同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成后仍為簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，且且其方向和頻率與原來(lái)相同。其方向和頻率與原來(lái)相同。312112211221122coscos coscoscossinsinsinxxxAtAtAAtAAt令：令：1122sinsinsinAAA 1122coscoscosAAA 則：則：coscossinsincosxAtAtAt 解解析析法法4)cos(212212221 AAAAA 從圖中三角形的邊角關(guān)系，從圖中三角形的邊角關(guān)系， 可得：可得： 旋轉(zhuǎn)矢量法：旋轉(zhuǎn)矢量法：22112211coscossinsintan AAAA 合振動(dòng)的振幅合振動(dòng)的振幅A不僅與不僅與兩個(gè)分振動(dòng)的振幅有關(guān)，兩個(gè)分振動(dòng)的振幅有關(guān)，還取決于兩分振動(dòng)的還取決于兩分振動(dòng)的初相初相位差位差。5xxtoo212k)cos()(21tAAx21AAAT1）相位差相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 討論討論 合振動(dòng)振幅最大。合振動(dòng)振幅最大。1A2AA6xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx合振動(dòng)振幅最小。合振動(dòng)振幅最小。71）相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加強(qiáng)相互加強(qiáng)相互削弱相互削弱21AAA2）相位差相位差) 12(12k)10( ， k3）一般情況一般情況，2121AAAAA當(dāng)相位差為其它值時(shí)，當(dāng)相位差為其它值時(shí)，)cos(212212221 AAAAA8解：解：1）用用合成后合成后 不變，不變，)2cos( tAx)cos(212212221 AAAAAm1 22112211coscossinsin AAAAtg 33 例：例：求合振動(dòng)方程求合振動(dòng)方程。已知。已知兩同方向、同頻率諧振動(dòng)兩同方向、同頻率諧振動(dòng)：,)62cos(41mtx ,)652cos(32mtx 6 1254cos3cos()066xx 合振動(dòng)方程：合振動(dòng)方程：mtx)6/2cos(1 因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)t = 0時(shí)時(shí)9652 61 )4(1cmA)3(2cmA6 )1( cmA合振動(dòng)方程：合振動(dòng)方程：mtx)6/2cos(1 ,)62cos(41mtx ,)652cos(32mtx 例：例：求合振動(dòng)方程。已知求合振動(dòng)方程。已知兩同方向、同頻率諧振動(dòng)兩同方向、同頻率諧振動(dòng)：10例：例：已知兩諧振動(dòng)的曲線，它們是同頻率的諧振動(dòng)。已知兩諧振動(dòng)的曲線，它們是同頻率的諧振動(dòng)。求：求：合振動(dòng)方程合振動(dòng)方程。解：解：由圖知由圖知cm521 AAs1 . 021 TTT 2 20 ,010 x010 v21 2cm)220cos(51 txcm)20cos(52 tx1振動(dòng)在振動(dòng)在 t = 0時(shí)：時(shí)：2振動(dòng)在振動(dòng)在t = 0時(shí)：時(shí)：,520cmx 020 v55/cmx/st005. 01 . 012xO1M2M11由旋轉(zhuǎn)矢量法：由旋轉(zhuǎn)矢量法：222100MMA cm25 45 cm)4520cos(25 txxO1M452MAcm)220cos(51 txcm)20cos(52 tx1211Axo* 多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)多個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的的合成合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多個(gè)個(gè)同同方向方向同同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成合成仍為仍為簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 假設(shè)它們的振幅相等，初相位依次差一個(gè)恒量。假設(shè)它們的振幅相等，初相位依次差一個(gè)恒量。131A2A3A4Axo5A0NAAAiiAtAxcos01)cos(02tAx) 1(cos0NtAxN)2cos(03tAx1A2A3A4AxO5A6A0A),2, 1,(kkNk2） 2kN1）2 k),2, 1,0(k 個(gè)矢量依次相接構(gòu)個(gè)矢量依次相接構(gòu)成一個(gè)成一個(gè)閉合閉合的多邊形。的多邊形。N討討論論14*二二 兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個(gè)的兩個(gè)同方向同方向簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍拍。1516tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，討論為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，討論兩個(gè)兩個(gè)振幅相同振幅相同，初相位也初相位也相同相同，在，在同方向同方向上以上以不同頻率不同頻率振動(dòng)的合成。其振振動(dòng)的合成。其振動(dòng)表達(dá)式分別為：動(dòng)表達(dá)式分別為：利用三角函數(shù)關(guān)系式：利用三角函數(shù)關(guān)系式：2cos2cos2coscos合成振動(dòng)表達(dá)式合成振動(dòng)表達(dá)式：ttAx22cos)22cos2(1212117tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112討論討論 ， 的情況的情況 ttAx22cos)22cos2(12121隨隨 t 變化緩慢變化緩慢隨隨 t 變化較快變化較快由于振幅是周期性變化的，所以合振由于振幅是周期性變化的，所以合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。合振動(dòng)是振幅按合振動(dòng)是振幅按 | 2A0cos 2(2-1) t /2 | 緩慢變化緩慢變化的，角頻率為的，角頻率為 (2+1 ) /2 的的“準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)”。182212T121TtAA22cos21212)(211max2AA0minA合振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅振幅 振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率由于余弦函數(shù)絕對(duì)值的周期為由于余弦函數(shù)絕對(duì)值的周期為 。19tAA22cos2121 2212 T 121 T12 拍頻拍頻（振幅（振幅絕對(duì)值絕對(duì)值變化的頻率）變化的頻率）所以，拍頻是振動(dòng)所以，拍頻是振動(dòng) 頻率的兩倍。頻率的兩倍。21cos(2)2t 拍在聲學(xué)和無(wú)線電技術(shù)中的應(yīng)用：拍在聲學(xué)和無(wú)線電技術(shù)中的應(yīng)用：用音叉的振動(dòng)來(lái)校準(zhǔn)樂(lè)器；用音叉的振動(dòng)來(lái)校準(zhǔn)樂(lè)器；利用拍的規(guī)律測(cè)量超聲波的頻率；利用拍的規(guī)律測(cè)量超聲波的頻率；在無(wú)線電技術(shù)中，可用來(lái)測(cè)定無(wú)線電波頻率以及調(diào)制。在無(wú)線電技術(shù)中，可用來(lái)測(cè)定無(wú)線電波頻率以及調(diào)制。20 xocos2212221AAAAA)()(1212t2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t 方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法方法二：旋轉(zhuǎn)矢量合成法12021t )( 212212A2x2xAxo1A1x112t1t )(12t2cos2212221AAAAAt )(12)2cos(2121tA（拍在聲學(xué)和無(wú)線電技術(shù)中的應(yīng)用）（拍在聲學(xué)和無(wú)線電技術(shù)中的應(yīng)用）Axxt21cos22112拍頻拍頻)cos1 (21 AA振幅振幅 振動(dòng)圓頻率振動(dòng)圓頻率22*三三 相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡方程：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡方程：)cos(11tAx)cos(22tAy 在一般情況下，這是一個(gè)橢圓方程。在一般情況下，這是一個(gè)橢圓方程。*1、兩個(gè)同頻率相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成、兩個(gè)同頻率相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成231 1） 或或2012xAAy12 討論討論212()0 xyAA222212cos()SxyAAt 質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移：質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移：)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx合振動(dòng)的軌跡為通過(guò)合振動(dòng)的軌跡為通過(guò)原點(diǎn)且在第一、第三原點(diǎn)且在第一、第三象限內(nèi)的直線。象限內(nèi)的直線。yx合振動(dòng)仍為諧振動(dòng)。合振動(dòng)仍為諧振動(dòng)。240yx12345678x12345678y12345678利用旋轉(zhuǎn)矢量合成利用旋轉(zhuǎn)矢量合成xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAy252）12xAAy12)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx合振動(dòng)的軌跡為通過(guò)原點(diǎn)且合振動(dòng)的軌跡為通過(guò)原點(diǎn)且在第二、第四象限內(nèi)的直線在第二、第四象限內(nèi)的直線質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移：質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置的位移：222212cos()SxyAAt 合振動(dòng)仍為諧振動(dòng)。合振動(dòng)仍為諧振動(dòng)。yx263）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。當(dāng)當(dāng),21AA 222Ayx為圓方程為圓方程為一為一橢圓橢圓合振動(dòng)不再是諧振動(dòng)。合振動(dòng)不再是諧振動(dòng)。1A2Aoyx272/xy13482567x12345687y12345678tAxcos1)2cos(2tAy1222212AyAx28用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動(dòng)動(dòng)合合成成圖圖29簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的合合成成圖圖兩兩相相互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差30一般來(lái)說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)振動(dòng)方向互相垂直、頻率相兩個(gè)振動(dòng)方向互相垂直、頻率相同的諧振動(dòng)，其合振動(dòng)軌跡為一直線、圓或者橢同的諧振動(dòng)，其合振動(dòng)軌跡為一直線、圓或者橢圓。圓。軌跡的形狀、方位和運(yùn)動(dòng)方向由軌跡的形狀、方位和運(yùn)動(dòng)方向由分振動(dòng)的振分振動(dòng)的振幅和相位差幅和相位差決定。決定。在電子示波器中，若令互相垂直的余弦（或在電子示波器中，若令互相垂直的余弦（或正弦）變化的電學(xué)量頻率相同，即可在熒光屏上正弦）變化的電學(xué)量頻率相同，即可在熒光屏上觀察到合成振動(dòng)的軌跡。觀察到合成振動(dòng)的軌跡。以上討論也說(shuō)明：以上討論也說(shuō)明：任何一個(gè)直線諧振動(dòng)、橢任何一個(gè)直線諧振動(dòng)、橢圓運(yùn)動(dòng)或勻速圓周運(yùn)動(dòng)，都可以分解為兩個(gè)互相圓運(yùn)動(dòng)或勻速圓周運(yùn)動(dòng)，都可以分解為兩個(gè)互相垂直的同頻率的諧振動(dòng)。垂直的同頻率的諧振動(dòng)。 311）兩分振動(dòng)頻率相差很小）兩分振動(dòng)頻率相差很小)()(1212 t04243452347 一般是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，軌道不是封閉曲線，即合成運(yùn)一般是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，軌道不是封閉曲線，即合成運(yùn)動(dòng)不是周期性的運(yùn)動(dòng)。下面就兩種簡(jiǎn)單情況討論：動(dòng)不是周期性的運(yùn)動(dòng)。下面就兩種簡(jiǎn)單情況討論：可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 2- 1 隨隨 t 緩慢變化。合緩慢變化。合運(yùn)動(dòng)軌跡將按下圖依次緩慢變化。運(yùn)動(dòng)軌跡將按下圖依次緩慢變化。*2、 兩相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成兩相互垂直不同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成32 x y= 2 32）兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比）兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比 1 = 0 , 2 = / 4 如果兩個(gè)互相垂直的振如果兩個(gè)互相垂直的振動(dòng)頻率成整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)動(dòng)頻率成整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)的軌跡為一的軌跡為一封閉的穩(wěn)定曲線封閉的穩(wěn)定曲線，運(yùn)動(dòng)也具有周期，曲線的花運(yùn)動(dòng)也具有周期，曲線的花樣和分振動(dòng)的頻率比有關(guān)。樣和分振動(dòng)的頻率比有關(guān)。這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形稱為這種運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形稱為李李薩如圖形薩如圖形。33)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201軸軸分振動(dòng)分別為：軸軸分振動(dòng)分別為：兩振動(dòng)的頻率比分別為：兩振動(dòng)的頻率比分別為：兩振動(dòng)的初相位分別為：兩振動(dòng)的初相位分別為：李李 薩薩 如如 圖圖34李李 薩薩 如如 圖圖35 利用李薩如圖形在無(wú)線電技術(shù)中可以測(cè)量頻利用李薩如圖形在無(wú)線電技術(shù)中可以測(cè)量頻率：率：在示波器上，垂直方向與水平方向同時(shí)輸入在示波器上，垂直方向與水平方向同時(shí)輸入兩個(gè)振動(dòng)，已知其中一個(gè)頻率，則可根據(jù)所成圖兩個(gè)振動(dòng)，已知其中一個(gè)頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標(biāo)準(zhǔn)的李薩如圖形去比較，就可得知另形與已知標(biāo)準(zhǔn)的李薩如圖形去比較，就可得知另一個(gè)未知的頻率。一個(gè)未知的頻率。在電子示波器中，若令互相垂直的余弦（或在電子示波器中，若令互相垂直的余弦（或正弦）變化的電學(xué)量頻率成不同的整數(shù)比，即可正弦）變化的電學(xué)量頻率成不同的整數(shù)比，即可在熒光屏上看到不同形狀的李薩如圖形。在熒光屏上看到不同形狀的李薩如圖形。