《高考數學 7.2 空間幾何體的表面積與體積課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學 7.2 空間幾何體的表面積與體積課件.ppt（70頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積 知識梳理 1 必會知識教材回扣填一填 1 空間幾何體的側面積和表面積 多面體的表面積 因為多面體的各面都是平面 所以多面體的表面積就是各個面的 即展開圖的面積 側面積就是側面展開圖的面積 面積 之和 旋轉體的側面展開圖及其表面積與側面積 2 r2 2 rl 2 r r l 2 rl rl r 2 r2 r l rl r r l 4 r2 2 幾何體的體積 柱體 V S為底面面積 h為高 特別地 V圓柱 r為底面半徑 h為高 錐體 V S為底面積 h為高 特別地 V圓錐 r為底面半徑 h為高 Sh r2h 臺體 V S S 分別為上 下底面面積 h為高 特別地 V圓臺 球 V R為半徑 2 必備結論教材提煉記一記 1 長方體的外接球 球心 體對角線的交點 半徑 r a b c為長方體的長 寬 高 2 正方體的外接球 內切球及與各條棱相切的球 外接球 球心是正方體中心 半徑r a為正方體的棱長 內切球 球心是正方體中心 半徑r a為正方體的棱長 與各條棱都相切的球 球心是正方體中心 半徑r a a為正方體的棱長 3 正四面體的外接球與內切球 正四面體可以看作是正方體的一部分 外接球 球心是正四面體的中心 半徑r a a為正四面體的棱長 內切球 球心是正四面體的中心 半徑r a a為正四面體的棱長 3 必用技法核心總結看一看 1 常用方法 割補法與等體積轉化法 2 數學思想 轉化與化歸 函數與方程 3 記憶口訣 臺體體積公式記憶口訣 上底面 下底面 兩底積根加號連 乘高除三體積見 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 多面體的表面積等于各個面的面積之和 2 錐體的體積等于底面積與高之積 3 球的體積之比等于半徑比的平方 4 簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差 5 長方體既有外接球又有內切球 解析 1 正確 多面體的表面積等于側面積與底面積之和 2 錯誤 錐體的體積等于底面積與高之積的 3 錯誤 球的體積之比等于半徑比的立方 4 正確 簡單組合體是由簡單幾何體拼接或截去或挖去一部分組成 5 錯誤 長方體只有外接球 沒有內切球 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修2P28習題1 3A組T3改編 如圖 將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐 則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為 解析 設長方體的相鄰三條棱長分別為a b c 它截出棱錐的體積為V1 剩下的幾何體的體積V2 所以V1 V2 1 47 答案 1 47 2 必修2P36T10改編 一直角三角形的三邊長分別為6cm 8cm 10cm 繞斜邊旋轉一周所得幾何體的表面積為 解析 旋轉一周所得幾何體為以cm為半徑的兩個同底面的圓錐 其表面積為S 答案 cm2 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 四川高考 某三棱錐的側視圖 俯視圖如圖所示 則該三棱錐的體積是 錐體體積公式 V Sh 其中S為底面面積 h為高 A 3B 2C D 1 解析 選D 根據所給的側視圖和俯視圖 該三棱錐的直觀圖如圖所示 從俯視圖可知 三棱錐的頂點A在底面內的投影O為邊BD的中點 所以AO即為三棱錐的高 其體積為 2 2013 天津高考 已知一個正方體的所有頂點在一個球面上 若球的體積為 則正方體的棱長為 解析 設球半徑為R 因為球的體積為所以R 又由球的直徑與其內接正方體的體對角線相等知正方體的體對角線長為3 故其棱長為 答案 3 2014 山東高考 一個六棱錐的體積為2 其底面是邊長為2的正六邊形 側棱長都相等 則該六棱錐的側面積為 解析 設六棱錐的高為h 斜高為h 則由體積V 得 h 1 h 所以側面積為 2 h 6 12 答案 12 考點1幾何體的側面積及表面積 典例1 1 2014 安徽高考 一個多面體的三視圖如圖所示 則該多面體的表面積為 A 21 B 18 C 21D 18 2 2015 石家莊模擬 一個幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積為 解題提示 1 將三視圖還原為原幾何體 求各個面面積的和 2 將三視圖還原為原幾何體 可得該幾何體是長方體內挖去圓柱后剩下的部分 規(guī)范解答 1 選A 由三視圖可知原幾何體是一個正方體截去兩個全等的小正三棱錐 正方體的表面積為S 24 兩個全等的三棱錐是以正方體的相對頂點為頂點 側面是三個全等的直角邊長為1的等腰直角三角形 其側面面積的和為3 三棱錐的底面是邊長為的正三角形 其表面積的和為 故所求幾何體的表面積為24 3 21 2 由三視圖可知 該幾何體是一個長方體內挖去一個圓柱體 如圖所示 長方體的長 寬 高分別為4 3 1 表面積為4 3 2 3 1 2 4 1 2 38 圓柱的底面圓直徑為2 母線長為1 側面積為2 1 1 2 圓柱的兩個底面面積和為2 12 2 故該幾何體的表面積為38 2 2 38 答案 38 易錯警示 解答本例題 1 有兩點易出錯 1 由三視圖將對應的幾何體的結構特征還原錯 而誤選 2 還原幾何體正確 但忽視截去三棱錐后截面是一個邊長為的正三角形 其面積和為 而誤選C 互動探究 把本例題 2 中的三視圖改為如下圖形 求該幾何體的表面積 解析 由三視圖知 這是一個底面是矩形的四棱錐 矩形的長和寬分別是6 2 四棱錐的高是4 所以四棱錐的表面積是2 6 2 2 5 6 4 6 2 34 6 規(guī)律方法 幾何體表面積的求法 1 多面體 其表面積是各個面的面積之和 2 旋轉體 其表面積等于側面面積與底面面積的和 計算旋轉體的側面積時 一般采用轉化的方法來進行 即將側面展開化為平面圖形來解決 3 簡單組合體 應搞清各構成部分 并注意重合部分的處理 4 若以三視圖的形式給出 解題的關鍵是對給出的三視圖進行分析 從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數量關系 得到幾何體的直觀圖 然后根據條件求解 變式訓練 2015 合肥模擬 如圖所示 某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形 側視圖是平行四邊形 則該幾何體的表面積為 解析 選C 圖中所示的三視圖對應的是一個橫放的四棱柱 該四棱柱四個側面都是矩形 上 下兩個底面是平行四邊形 其表面積為2 3 3 2 3 2 2 3 30 6 加固訓練 1 2015 武漢模擬 已知一個幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積為 A 10 96B 9 96C 8 96D 9 80 解析 選C 圖中所示的三視圖對應的是一個由一個圓柱和一個正方體構成的簡單組合體 其表面積為S 6 4 4 2 1 4 96 8 2 某幾何體的三視圖如圖所示 該幾何體的表面積是 解析 由幾何體的三視圖可知 該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱 如圖所示 在四邊形ABCD中 作DE AB 垂足為E 則DE 4 AE 3 則AD 5 所以其表面積為2 2 5 4 2 4 4 5 4 5 4 4 92 答案 92 考點2幾何體的體積知 考情空間幾何體的體積計算是近幾年高考考查空間幾何體的一個重要考向 常與空間幾何體的三視圖 空間的平行 垂直關系等知識綜合 主要以選擇 填空題的形式出現(xiàn) 明 角度命題角度1 根據幾何體的直觀圖計算體積 典例2 2014 山東高考 三棱錐P ABC中 D E分別為PB PC的中點 記三棱錐D ABE的體積為V1 P ABC的體積為V2 則 解題提示 本題考查了空間幾何體的體積 可以由底面積和高的比值求出體積的比值 規(guī)范解答 分別過E C向平面PAB作高h1 h2 由E為PC的中點得由D為PB的中點得S ABD S ABP 所以V1 V2 答案 命題角度2 根據幾何體的三視圖計算體積 典例3 2014 重慶高考 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 本題源于教材必修2P29B組T1 A 12B 18C 24D 30 解題提示 直接根據三視圖還原為幾何體 然后求出該幾何體的體積 規(guī)范解答 選C 由三視圖可知 該幾何體為如圖所示的一個三棱柱上面截去一個三棱錐得到的 三棱柱的體積為 3 4 5 30 截去的三棱錐的體積為 3 3 4 6 所以該幾何體的體積為24 悟 技法計算幾何體體積的常見類型及解題策略 通 一類1 2014 浙江高考 某幾何體的三視圖 單位 cm 如圖所示 則該幾何體的體積是 A 72cm3B 90cm3C 108cm3D 138cm3 解析 選B 由三視圖可知 原幾何體是一個長方體和一個三棱柱的組合體 如圖所示 所以其體積為V 3 4 6 3 4 3 90 2 2014 新課標全國卷 正三棱柱ABC A1B1C1的底面邊長為2 側棱長為 D為BC中點 則三棱錐A B1DC1的體積為 解析 選C 因為B1C1 BD 所以BD 面AB1C1 點B和D到面AB1C1的距離相等 所以 3 2015 北京模擬 某幾何體的三視圖如圖所示 當a b取最大值時 這個幾何體的體積為 解析 選D 由題意知 該幾何體的直觀圖如圖所示 且AC BD 1 BC b AB a 設CD x AD y 則x2 y2 6 x2 1 b2 y2 1 a2 消去x2 y2得a2 b2 8 所以a b 4 當且僅當a b 2時等號成立 此時x y 所以 4 2015 大連模擬 某一幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 解析 依題意 可知題中的幾何體是從一個棱長為2的正方體中挖去一個圓錐 其中該圓錐的底面半徑是1 高是2 因此該幾何體的體積等于23 12 2 8 答案 8 考點3空間幾何體的外接球 內切球問題 典例4 1 2014 湖南高考 一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示 將該石材切削 打磨 加工成球 則能得到的最大球的半徑等于 A 1B 2C 3D 4 2 2015 西安模擬 四面體ABCD的四個頂點都在球O的球面上 AB 平面BCD BCD是邊長為3的等邊三角形 若AB 2 則球O的表面積為 A B 12 C 16 D 32 解題提示 1 先由三視圖畫出直觀圖 判斷這個幾何體是底面是邊長為6 8 10的直角三角形 高為12的水平放置的直三棱柱 底面的內切圓的半徑就是得到的最大球的半徑 2 將四面體ABCD補形成正三棱柱 轉化為正三棱柱的外接球問題求解 規(guī)范解答 1 選B 由三視圖畫出直觀圖如圖 判斷這個幾何體是底面是邊長為6 8 10的直角三角形 高為12的水平放置的直三棱柱 直角三角形的內切圓的半徑為r 2 這就是得到的最大球的半徑 2 選C 將四面體ABCD補形成正三棱柱 則其外接球的球心為上 下底面的中心連線的中點 底面 BCD的外接圓半徑為 所以外接球的半徑R 2 球O的表面積S 4 R2 16 規(guī)律方法 空間幾何體與球接 切問題的求解方法 1 求解球與棱柱 棱錐的接 切問題時 一般過球心及接 切點作截面 把空間問題轉化為平面圖形與圓的接 切問題 再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解 2 若球面上四點P A B C構成的三條線段PA PB PC兩兩互相垂直 且PA a PB b PC c 一般把有關元素 補形 成為一個球內接長方體 利用4R2 a2 b2 c2求解 變式訓練 2015 鄭州模擬 已知三棱錐P ABC的四個頂點均在半徑為3的球面上 且PA PB PC兩兩互相垂直 則三棱錐P ABC的側面積的最大值為 解析 如圖所示 因為PA PB PC兩兩互相垂直 所以三棱錐P ABC的外接球就是以PA PB PC為棱長的長方體的外接球 設PA a PB b PC c 則有a2 b2 c2 4 32 36 而三棱錐P ABC的側面積為S ab bc ac 又 當且僅當a b時取等號 當且僅當b c時取等號 當且僅當a c時取等號 所以S 當且僅當a b c時取等號 答案 18 加固訓練 1 2015 吉林模擬 已知直三棱柱ABC A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上 若AB 3 AC 4 AB AC AA1 12 則球O的半徑為 解析 選C 由題意知 三棱柱的底面三角形ABC為直角三角形 其外接圓的圓心O 為其斜邊BC的中點 連接OA OO O A 由勾股定理得 OA2 O O2 O A2 其中OA R OO AA1 6 O A BC 所以球O的半徑為 2 2015 西安模擬 如圖 已知球O是棱長為1的正方體ABCD A1B1C1D1的內切球 則平面ACD1截球O的截面面積為 解析 選C 平面ACD1截球O的截面為 ACD1的內切圓 因為正方體的棱長為1 所以AC CD1 AD1 所以內切圓的半徑r 所以S r2 巧思妙解8巧用補形法解決立體幾何問題 典例 2015 唐山模擬 如圖 ABC中 AB 8 BC 10 AC 6 DB 平面ABC 且AE FC BD BD 3 FC 4 AE 5 則此幾何體的體積為 常規(guī)解法 如圖 取CM AN BD 連接DM MN DN 用 分割法 把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐 所以V幾何體 V三棱柱 V四棱錐 由題知三棱柱ABC NDM的體積為V1 8 6 3 72 四棱錐D MNEF的體積為 則幾何體的體積為 V V1 V2 72 24 96 答案 96 巧妙解法 用 補形法 把原幾何體補成一個直三棱柱 使AA BB CC 8 所以V幾何體 V三棱柱 S ABC AA 24 8 96 答案 96 方法指導 1 補形法的應用思路 補形法 是立體幾何中一種常見的重要方法 在解題時 把幾何體通過 補形 補成一個完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中 巧妙地破解空間幾何體的體積等問題 常見的補形法有對稱補形 聯(lián)系補形與還原補形 對于還原補形 主要涉及臺體中 還臺為錐 2 補形法的應用條件 當某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分 且求解的問題直接求解較難入手時 常用該法 類題試解 如圖所示 在等腰梯形ABCD中 AB 2DC 2 DAB 60 E為AB的中點 將 ADE與 BEC分別沿ED EC向上折起 使A B重合 則形成的三棱錐的外接球的表面積為 常規(guī)解法 由已知條件知 平面圖形中AE EB BC CD DA DE EC 1 折疊后得到一個正四面體 作AF 平面DEC 垂足為F F即為 DEC的中心 取EC的中點G 連接DG AG 過球心O作OH 平面AEC 則垂足H為 AEC的中心 所以外接球半徑可利用 OHA GFA求得 因為AG AF AH 在 AFG和 AHO中 根據三角形相似可知外接球的表面積S球 答案 巧妙解法 由已知條件知 平面圖形中AE EB BC CD DA DE EC 1 折疊后得到一個正四面體 如圖所示 把正四面體放在正方體中 顯然 正四面體的外接球就是正方體的外接球 因為正四面體的棱長為1 所以正方體的棱長為 所以外接球直徑2R 所以R 所以外接球的表面積S球 答案