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數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第6節(jié) 空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系 理

上傳人:s****u 文檔編號(hào):56270466 上傳時(shí)間:2022-02-21 格式:PPT 頁(yè)數(shù):47 大?。?.74MB
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1、第第6節(jié)空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系節(jié)空間向量及其運(yùn)算和空間位置關(guān)系最新考綱1.了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,了解空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示;2.了解空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示;3.了解空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示.1.空間向量的有關(guān)概念知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理名稱(chēng)概念表示零向量模為_(kāi)的向量0單位向量長(zhǎng)度(模)為_(kāi)的向量相等向量方向_且模_的向量ab01相同相等相反向量方向_且模_的向量a的相反向量為a共線(xiàn)向量表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相_的向量ab共面向量平行于同一個(gè)_的向量相反相等平行或重合平面2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線(xiàn)向量定理空間兩個(gè)向量a(

2、a0)與b共線(xiàn)的充要條件是存在實(shí)數(shù),使得_.ba(2)共面向量定理(3)空間向量基本定理如果向量e1,e2,e3是空間三個(gè)不共面的向量,a是空間任一向量,那么存在唯一一組實(shí)數(shù)1,2,3,使得a_,空間中不共面的三個(gè)向量e1,e2,e3叫作這個(gè)空間的一個(gè)基底.xayb11e12e23e33.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念兩向量的夾角a,b0,互相垂直兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a,b,則_叫做向量a,b的數(shù)量積,記作_,即ab_.(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律:(a)b_;交換律:ab_;分配律:a(bc)_.|a|b|cosa,bab|a|b|cosa,b(ab)ba

3、abac4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3).a1b1a2b2a3b3a1b1,a2b2,a3b3a1b1a2b2a3b305.直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量(1)直線(xiàn)的方向向量:如果表示非零向量a的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)與直線(xiàn)l_或_,則稱(chēng)此向量a為直線(xiàn)l的方向向量.(2)平面的法向量:直線(xiàn)l,取直線(xiàn)l的方向向量a,則向量a叫做平面的法向量.平行重合6.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線(xiàn)l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1l2n1n2n1_l1l2n1n2_直線(xiàn)l的方向向量為n,平面的法向量為mlnm_lnmn_平面,的法向量分別為n,mnmn_

4、nm_n2n1n20nm0mmnm0常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.共線(xiàn)向量定理的推論診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)空間中任意兩非零向量a,b共面.()(2)對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,b,若ab0,則ab.()(3)若a,b,c是空間的一個(gè)基底,則a,b,c中至多有一個(gè)零向量.()(4)若ab0,則a,b是鈍角.()解析對(duì)于(2),因?yàn)?與任何向量數(shù)量積為0,所以(2)不正確;對(duì)于(3),若a,b,c中有一個(gè)是0,則a,b,c共面,所以(3)不正確;對(duì)于(4),若a,b,則ab0,故(4)不正確.答案(1)(2)(3)(4)2.在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,2,3),B(2,1,6)

5、,C(3,2,1),D(4,3,0),則直線(xiàn)AB與CD的位置關(guān)系是()A.垂直B.平行C.異面D.相交但不垂直ABCD.答案B答案A4.已知a(2,3,1),b(4,2,x),且ab,則|b|_.解析ab2(4)321x0,x2,6.(2018嘉興測(cè)試)設(shè)直線(xiàn)l的方向向量為a,平面的法向量為n(2,2,4),若a(1,1,2),則直線(xiàn)l與平面的位置關(guān)系為_(kāi);若a(1,1,1),則直線(xiàn)l與平面的位置關(guān)系為_(kāi).答案ll或l考點(diǎn)一空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算規(guī)律方法(1)選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量,這是用向量解決立體幾何問(wèn)題的基本要求.用已知基向量表示指定向量時(shí),應(yīng)結(jié)合已知和所求向量觀(guān)察圖形,將已知向量

6、和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中,然后利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算.(2)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量,我們把這個(gè)法則稱(chēng)為向量加法的多邊形法則.提醒空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算類(lèi)似于平面向量中的坐標(biāo)運(yùn)算.答案B考點(diǎn)二共線(xiàn)定理、共面定理的應(yīng)用【例2】 已知E,F(xiàn),G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),用向量方法求證:(1)E,F(xiàn),G,H四點(diǎn)共面;(2)BD平面EFGH.【訓(xùn)練2】(1)若A(1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三點(diǎn)共線(xiàn),則mn_.(2)已知空間四點(diǎn)A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4)

7、,D(1,2,t),若四點(diǎn)共面,則t的值為_(kāi).答案(1)3(2)0考點(diǎn)三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例3】 如圖所示,已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)M,N分別是AB,CD的中點(diǎn).(1)求證:MNAB,MNCD;(2)求MN的長(zhǎng);(3)求異面直線(xiàn)AN與CM所成角的余弦值.【訓(xùn)練3】 如圖所示,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面為平行四邊形,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為60.(1)求AC1的長(zhǎng);(2)求證:AC1BD;(3)求BD1與AC夾角的余弦值.考點(diǎn)四利用空間向量證明平行與垂直證明:PQ平面BCD.規(guī)律方法(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系,準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)

8、,是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵.(2)證明直線(xiàn)與平面平行,只須證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零,或證直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)的不共線(xiàn)的兩個(gè)向量共面,或證直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)某直線(xiàn)的方向向量平行,然后說(shuō)明直線(xiàn)在平面外即可.這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.(3)用向量證明垂直的方法線(xiàn)線(xiàn)垂直:證明兩直線(xiàn)所在的方向向量互相垂直,即證它們的數(shù)量積為零.線(xiàn)面垂直:證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量共線(xiàn),或?qū)⒕€(xiàn)面垂直的判定定理用向量表示.面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直,或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?【訓(xùn)練4】 如圖所示,已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90,ABBCPBPC2CD,側(cè)面PBC底面ABCD.證明:(1)PABD;(2)平面PAD平面PAB.證明(1)取BC的中點(diǎn)O,連接PO,平面PBC底面ABCD,PBC為等邊三角形,PO底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在直線(xiàn)為x軸,過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線(xiàn)為y軸,OP所在直線(xiàn)為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.

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