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1、2 實數問題的函數建模第四章函數應用學習目標1.了解什么是函數模型，知道函數的一些基本模型.2.學會對收集到的相關數據進行擬合，并建立適當的數學模型.3.學會運用常見的函數模型來解一些簡單的實際問題.題型探究問題導學內容索引當堂訓練問題導學思考知識點一實際問題的函數刻畫世界上很多事物間的聯(lián)系可以用函數刻畫，在試圖用函數刻畫兩個變量的聯(lián)系時，需要關注哪些要點？答案答案答案先確定兩個變量是誰；再看兩個變量之間的對應關系是否滿足函數定義；如果滿足，就要考慮建立函數關系式.設自變量為x，函數為y，并用x表示各相關量，然后根據問題的已知條件，運用已掌握的數學知識、物理知識及其他相關知識建立函數關系式，將

2、實際問題轉化為數學問題，實現問題的數學化，即所謂建立數學模型.梳理梳理思考知識點二用函數模型解決實際問題函數模型是應用最廣泛的數學模型之一，一旦確定是函數模型，怎樣研究它？答案答案答案先確定函數關系式，再根據解決實際問題的需要針對性研究函數性質，如定義域、最值、單調性等，使實際問題得到解決.用函數模型解決實際問題的步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，用函數刻畫實際問題，初步選擇模型.(2)建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型.(3)求模：求解數學模型，得到數學結論.(4)還原：利用數學知識和方法得出的結論還原到實際問題中.梳理梳理可將這些步驟用

3、框圖表示如下：思考知識點三數據擬合自由落體速度公式vgt是一種函數模型.類比這個公式的發(fā)現過程，簡述什么是數據擬合？答案答案答案函數模型來源于現實(伽利略斜塔拋球)，通過收集數據(打點計時器測量)，畫散點圖分析數據(增長速度、單位時間內的增長量等)，尋找或選擇函數(假說)來作為函數模型，再檢驗這個函數模型是否符合實際，這就是數據擬合.數據擬合(1)定義：通過一些數據尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數據在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數圖像，選定函數形式后，將一些數據代入這個函數的一般表達式，求出具體的函數表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個

4、函數基本反映了事物規(guī)律.這種方法稱為數據擬合.梳理梳理(2)數據擬合的步驟：以所給數據作為點的坐標，在平面直角坐標系中繪出各點；依據點的整體特征，猜測這些點所滿足的函數形式，設其一般形式；取特殊數據代入，求出函數的具體解析式；做必要的檢驗.題型探究例例1某列火車從北京西站開往石家莊，全程277 km.火車出發(fā)10 min開出13 km后，以120 km/h的速度勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的時間t之間的關系，并求火車離開北京2 h內行駛的路程.類型一利用已知函數模型求解實際問題解答因為火車勻速行駛t h所行駛的路程為120t，所以，火車運行總路程S與勻速行駛時間t之間的關系是在

5、實際問題中，有很多問題的兩變量之間的關系是已知函數模型，如一次、二次函數、反比例函數、冪函數、指數函數、對數函數，這時可借助待定系數法求出函數解析式，再根據解題需要研究函數性質.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練1如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米.則水位下降1米后，水面寬_米.答案解析解析解析以拱頂為原點，過原點與水面平行的直線為x軸，建立平面直角坐標系(如圖)，則水面和拱橋交點A(2，2)，設拋物線所對應的函數關系式為yax2(a0)，當水面下降1米時，水面和拱橋的交點記作B(b，3)，命題角度命題角度1非分段函數模型非分段函數模型類型二自建確定性函數模型解決實際問題解答

6、例例2某化工廠引進一條先進生產線生產某種化工產品，其生產的總成本y(萬元)與年產量x(噸)之間的函數關系式可以近似地表示為y 48x8 000，已知此生產線年產量最大為210噸.若每噸產品平均出廠價為40萬元，那么當年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？解解設可獲得總利潤為R(x)萬元，R(x)在0,210上是增函數，x210時，年產量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元.自建模型時主要抓住四個關鍵：“求什么，設什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務.設什么就是弄清楚這個問題有哪些因素，誰是核心因素，通常設核心因素為自變量.列什么就是把問題已

7、知條件用所設變量表示出來，可以是方程、函數、不等式等.限制什么主要是指自變量所應滿足的限制條件，在實際問題中，除了要使函數式有意義外，還要考慮變量的實際含義，如人不能是半個等.反思與感悟解答解解設對甲種商品投資x萬元，則對乙種商品投資(3x)萬元，總利潤為y萬元.由此可知，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入分別為0.75萬元和2.25萬元，共獲得利潤1.05萬元.命題角度命題角度2分段函數模型分段函數模型例例3某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元.根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行

8、車就增加3輛.旅游點規(guī)定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數，用y表示出租所有自行車的日凈收入.(日凈收入即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費用后的所得)(1)求函數yf(x)的解析式；解答解解當x6時，y50 x115，令50 x1150，解得x2.3.又因為xN，所以3x6，且xN.當6x20，且xN時，y503(x6)x1153x268x115，綜上可知所以當x11時，ymax270元.綜上所述，當每輛自行車日租金定為11元時才能使日凈收入最多，為270元.(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應定為多少元？日凈收入最多為多少元？解答解

9、解當3x6，且xN時，因為y50 x115是增函數，所以當x6時，ymax185元.當6x20，且xN時，自變量x按取值不同，依不同的對應關系對應因變量y是分段函數的典例特征，建立分段函數模型應注意：(1)分段函數的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集.(3)分段函數的值域求法為：逐段求函數值的范圍，最后比較再下結論.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練3學校某研究性學習小組在對學生上課注意力集中情況的調查研究中，發(fā)現其在40 min的一節(jié)課中，注意力指數y與聽課時間x(單位：min)之間的關系滿足如圖的圖像.當x(0,12時，圖像是二次函數圖像的一部分

10、，其中頂點A(10,80)，過點B(12,78)；當x12,40時，圖像是線段BC，其中C(40,50).根據專家研究，當注意力指數大于62時，學習效果最佳.(1)試求yf(x)的函數關系式；解答解解當x(0,12時，設f(x)a(x10)280(a0).因為該部分圖像過點B(12,78)，當x12,40時，設f(x)kxb(k0).因為線段BC過點B(12,78)，C(40,50)，所以f(x)x90.(2)教師在什么時段內安排核心內容，能使得學生學習效果最佳？請說明理由.解答解得4x12或12x28，即4x28.故老師應在x(4,28)時段內安排核心內容，能使得學生學習效果最佳.當堂訓練1

11、.從2013年起，在20年內某海濱城市力爭使全市工農業(yè)生產總產值翻兩番，如果每年的增長率是8%，則達到翻兩番目標的最少年數為A.17 B.18 C.19 D.20答案234512.一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖像如圖所示，那么圖像所對應的函數模型是答案23451A.分段函數 B.二次函數C.指數函數 D.對數函數3.若鐳經過100年后剩留原來質量的95.76%，設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y，則x，y的函數關系是答案23451100 x100 x234514.某種植物生長發(fā)育的數量y與時間x的關系如下表：答案x123y138則下面的函數關系式中，擬合效果最好的是A.y2x1 B.yx21C.y2x1 D.y1.5x22.5x25.某同學最近5年內的學習費用y(千元)與時間x(年)的關系如圖所示，則可選擇的模擬函數模型是A.yaxb B.yax2bxcC.yaexb D.yaln xb答案23451規(guī)律與方法解函數應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；(3)求模：求解數學模型，得出數學結論；(4)還原：將數學問題還原為實際問題.本課結束