第十一章復(fù)數(shù) 算法 推理與證明 第1節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 1 理解復(fù)數(shù)的基本概念 2 理解復(fù)數(shù)相等的充要條件 3 了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 4 會(huì)進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 5 了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加 減運(yùn)算的幾何意義 要點(diǎn)梳理 1 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 1 復(fù)數(shù)的定義形如a bi a b R 的數(shù)叫做復(fù)數(shù) 其中實(shí)部是a 虛部是b i是虛數(shù)單位 2 復(fù)數(shù)的分類 2 復(fù)數(shù)的幾何意義 1 復(fù)平面的概念建立 來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面 2 實(shí)軸 虛軸在復(fù)平面內(nèi) x軸叫做 y軸叫做 實(shí)軸上的點(diǎn)都表示 除原點(diǎn)以外 虛軸上的點(diǎn)都表示 3 復(fù)數(shù)的幾何表示 直角坐標(biāo)系 實(shí)軸 虛軸 實(shí)數(shù) 純虛數(shù) 3 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 1 運(yùn)算法則 設(shè)z1 a bi z2 c di a b c d R 則 a c b d i ac bd ad bc i 2 復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律 設(shè)z1 z2 z3 C 則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算律 交換律 z1 z2 z2 z1 結(jié)合律 z1 z2 z3 z1 z2 z3 質(zhì)疑探究1 z1 z2為復(fù)數(shù) z1 z2 0 那么z1 z2 這個(gè)命題是真命題嗎 提示 假命題 例如 z1 1 i z2 2 i z1 z2 3 0 但z1 z2無意義 因?yàn)樘摂?shù)無大小概念 基礎(chǔ)自測(cè) 1 2014 重慶高考 復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i 1 2i 的點(diǎn)位于 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D(zhuǎn) 第四象限 解析 復(fù)數(shù)i 1 2i 2 i 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 2 1 位于第一象限 答案 A 2 設(shè)a b R a 0 是 復(fù)數(shù)a bi是純虛數(shù) 的 A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件 解析 當(dāng)a 0 且b 0時(shí) a bi不是純虛數(shù) 若a bi是純虛數(shù) 則a 0 故 a 0 是 復(fù)數(shù)a bi是純虛數(shù) 的必要而不充分條件 答案 B 答案 D 4 2014 北京高考 若 x i i 1 2i x R 則x 解析 x i i 1 xi 1 2i x 2 答案 2 5 給出下列結(jié)論 任何數(shù)的平方都不小于0 已知z a bi a b R 當(dāng)a 0時(shí)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù) 兩個(gè)虛數(shù)的和還是虛數(shù) 復(fù)數(shù)的模就是復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量的模 其中真命題是 寫出所有真命題的序號(hào) 解析 錯(cuò)誤 純虛數(shù)的平方小于0 如 2i 2 4 0 錯(cuò)誤 當(dāng)a 0 且b 0時(shí) z 0是實(shí)數(shù) 錯(cuò)誤 例如 2 i與2 i是兩個(gè)虛數(shù) 其和為4是實(shí)數(shù) 正確 由復(fù)數(shù)的幾何意義知該結(jié)論正確 答案 典例透析 2 2015 南陽模擬 已知復(fù)數(shù)z a2 1 a 1 i a R 是純虛數(shù) 則a A 0B 1C 1D 1思路點(diǎn)撥把條件化簡 將所求復(fù)數(shù)寫成a bi 再求解相應(yīng)問題 答案 1 D 2 C 拓展提高求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問題的技巧復(fù)數(shù)的分類 復(fù)數(shù)的相等 復(fù)數(shù)的模 共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān) 所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí) 需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式 即a bi a b R 的形式 再根據(jù)題意列方程 組 求解 答案 B 答案 1 C 2 D 拓展提高 1 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算技巧復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算 此時(shí)含有虛數(shù)單位i的看作一類 不含i的看作另一類 分別合并即可 但要注意把i的冪寫成最簡單的形式 在運(yùn)算過程中 要熟悉i的特點(diǎn)及熟練應(yīng)用運(yùn)算技巧 2 一般先乘方 再乘除 最后為加減 有括號(hào)者可先算括號(hào)里面的 3 幾個(gè)常用結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí) 記住以下結(jié)論 可提高計(jì)算速度 思路點(diǎn)撥 1 由對(duì)稱性先求出z2 2 把復(fù)數(shù)化簡為a bi 找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo) a b 活學(xué)活用3 1 2013 四川高考 如圖 在復(fù)平面內(nèi) 點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z 則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是 A AB BC CD D 答案 1 B 2 1 1 思想方法22復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算的轉(zhuǎn)化方法典例 2013 廣東高考 若i x yi 3 4i x y R 則復(fù)數(shù)x yi的模是 A 2B 3C 4D 5審題視角 弄清題目條件 解題目標(biāo) 題目條件已知復(fù)數(shù)相等 其中含有x y R 解題目標(biāo)計(jì)算 x yi 關(guān)系轉(zhuǎn)化 根據(jù)復(fù)數(shù)相等 視x yi為一個(gè)數(shù) 直接求x yi 再化簡 根據(jù)模的性質(zhì)直接求 利用復(fù)數(shù)相等分別求x y 再求模 答案 A 思維升華 方法與技巧 失誤與防范 1 判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù) 僅注重虛部等于0是不夠的 還需考慮它的實(shí)部是否有意義 2 對(duì)于復(fù)系數(shù) 系數(shù)不全為實(shí)數(shù) 的一元二次方程的求解 判別式不再成立 因此解此類方程的解 一般都是將實(shí)根代入方程 用復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行求解 3 兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小 4 利用復(fù)數(shù)相等a bi c di列方程時(shí) 注意a b c d R的前提條件 5 z2 0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立 例如 當(dāng)z 3i時(shí)z2 9 0