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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 第九講 回歸旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)分析方法 REGRESSION ROTATABLE DESIGN 回歸旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)是在回歸正交設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。但后者的預(yù)測(cè)值的方差很大程度上依賴于試驗(yàn)點(diǎn)在因子空間的位置。由于誤差的干擾，試驗(yàn)不能根據(jù)預(yù)測(cè)值直接尋找最優(yōu)區(qū)域。若使用二次設(shè)計(jì)具有旋轉(zhuǎn)性，便能使與試驗(yàn)中心點(diǎn)距離相等的試驗(yàn)點(diǎn)上的預(yù)測(cè)值方差相等。將有助于克服回歸正交設(shè)計(jì)的不足。故此，本講著重討論二次回歸旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)及分析。 第一節(jié) 二次通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的方法 一、試驗(yàn)點(diǎn)的確定 二次旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)也是一種組合設(shè)計(jì)（為克服試驗(yàn)規(guī)模過于龐大，在因素空間中選擇n類具有不同特點(diǎn)的點(diǎn)，把

2、它們適當(dāng)組合起來而形成試驗(yàn)計(jì)劃）。它的試驗(yàn)處理數(shù)目N由三部分組成，即： N=mc+2P+m0 （9—1） 其中：mc為所選用正交表中的全試驗(yàn)數(shù)；p為試驗(yàn)因素的個(gè)數(shù)；m0為各因素零水平組成的中心試驗(yàn)點(diǎn)的重復(fù)數(shù)。 N個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)是分布在三個(gè)半徑不相等的球面上。其中mc個(gè)點(diǎn)分布在半徑pc=的球面上；2p個(gè)點(diǎn)分布在半徑pγ=γ的球面上；m0個(gè)點(diǎn)集中在半徑p0=0的球面上。因此，它滿足了旋轉(zhuǎn)性和非退化性。 有關(guān)m0的重復(fù)次數(shù)，二次旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)對(duì)m0的選擇是自由的，即使中心點(diǎn)的試驗(yàn)一次也不做，也不會(huì)影響旋轉(zhuǎn)性，

3、但中心點(diǎn)附近區(qū)域往往是我們所關(guān)心的區(qū)域，而且中心點(diǎn)重復(fù)試驗(yàn)?zāi)芙o出回歸方程在中心點(diǎn)的擬合情況。所以，中心點(diǎn)m0的重復(fù)試驗(yàn)是很有必要的。 m0因p不同而不同?，F(xiàn)將通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的一些有關(guān)參數(shù)列于表9—1，供設(shè)計(jì)時(shí)查用。 表9—1 二次通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的參數(shù)表 因素個(gè)數(shù)（p） N mc 2p m0 γ 2 3 4 5（1/2實(shí)施） 6（1/2實(shí)施） 7（1/2實(shí)施） 8（1/2實(shí)施） 8（1/4實(shí)施） 13 4 4 5 1.44 20 8 6

4、 6 1.682 31 16 8 7 2.000 32 16 10 6 2.000 53 32 12 9 2.378 92 64 14 14 2.828 165 128 16 21 3.364 93 64 16 13 2.828 表9—1中γ值可按下式計(jì)算 (9—2) 式中：p為因素個(gè)數(shù)；i

5、為實(shí)施情況，當(dāng)試驗(yàn)全實(shí)施時(shí)i=0，1/2實(shí)施時(shí)i=1；1/4實(shí)施時(shí)i=2。 二、二次旋轉(zhuǎn)計(jì)劃的安排 設(shè)為研究的因素有p個(gè)，分別以Z1、Z2、…、Zp表示，每因素的上水平為Zi2，下水平為Zi1，零水平為Zi0，變動(dòng)區(qū)間（Δi）為： △ 其中r值可按p的個(gè)數(shù)及實(shí)施情況查表9—1或按9—2式計(jì)算，然后編制因素水平的編碼表9—2。 表9—2 因素水平的編碼表 xia Z1 Z2 …… Zp γ 1 0 －1 －γ Z12 Z10+△1 Z10 Z10－△1 Z11 Z22 Z20+△2 Z20 Z2

6、0－△2 Z21 …… …… …… …… …… Zp2 ZP0+△P ZP0 ZP0－△p ZP1 第二節(jié) 二次通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的結(jié)果分析 一、回歸系數(shù)的計(jì)算 在二次通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)中，回歸系數(shù)按下列各式計(jì)算： 式中各常數(shù)e，k，E，F(xiàn)，G等按下式計(jì)算： （9—6） 式中的N ，mc，p，r值均按p的個(gè)數(shù)查表9—1所得，如p=2時(shí)，查表9—1，得N=13，mc=4，r=1.414，代入（9—6）式得： e = 4+2(1.414)2 = 8 f = 4+2(1.414)4=11.995 H = 2(1.414)4[13×11.995

7、+（2-1）13×4－2×82]=639.094 ┊ 為方便見，一些常用的數(shù)據(jù)列于表9—3中，以供查用。 表9—3 二次通用旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)的一些常數(shù) 因素個(gè)數(shù)P K E F G e 2 3 4 5（1/2實(shí)施） 5 6（1/2實(shí)施） 7（1/2實(shí)施） 0.20000 －0.1000 0.1437 0.0187 8.000 0.1663 －0.0568 0.0694 0.0069 13.656 0.1428 －0.00357 0.0350 0.0037 24.000

8、 0.1591 －0.0341 0.0341 0.0028 24.000 0.0988 －0.0191 0.0180 0.0015 43.314 0.01108 －0.0187 0.0168 0.0012 43.314 0.0703 －0.0098 0.0083 0.0005 80.000 二、回歸方程的顯著性檢驗(yàn) 設(shè)二次通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)N個(gè)組合的試驗(yàn)結(jié)果為Y1，Y2，…Yn，則它們的總平方和與自由度為： 剩余平方和與自由度為： (9—8） 回歸平方和與自由度為： （9—9） 誤差平方和與自由度為：

9、 （9—10） 失擬平方和與自由度為： （9—11） 檢驗(yàn)時(shí)先對(duì)失擬均方進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，即： （9—12） 若不顯著，可對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；若F 值顯著或極顯著，則要進(jìn)一步考察原因，改變二次回歸模型，說明存在著不可忽略因素的影響。 對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，即： （9—13） 三、回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 可采用t測(cè)驗(yàn)，即： （9—14）

10、 若不顯著（9-12）可用代（9-14） 第三節(jié) 二次通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的實(shí)例分析 一、編制編碼表安排試驗(yàn) 有一個(gè)三因素的試驗(yàn)，各個(gè)因素的水平編碼如表9—4，由表9—1 查得 γ=1.628，于是，表9—4中的變動(dòng)區(qū)間Δi為： △1= △2= △3= Z1（+1）=Z10+△1=55+15=70 Z1（-1）=Z10-△1=55-15=40 Z2（+1）=Z20+△2=70+305=100 Z2（-1）=Z20-△2=70-305=40 Z3（+1）=Z30+△3=150+89=239 Z3（-1）=Z30-△3=150-89=61 表9—4 三個(gè)因素水平編碼表

11、 因素 xia Z1 Z2 Z3 +γ +1 0 -1 -γ 80 120 300 70 100 239 55 70 150 40 40 61 30 20 0 Δi 15 30 89 按通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)，查表9—1，三個(gè)因素的處理組合N=20，其中mc=8，2p=6，m0=6，于是可得表9-5的20個(gè)處理組合，其中： 處理1為： x1=70，x2=100，x3=239 處理2為： x1=70，x2=100，x3=61 ┆

12、 ┆ ┆ ┆ 處理9為： x1=80，x2=70，x3=150 處理10為： x1=30，x2=70，x3=150 ┆ ┆ ┆ ┆ 處理15-20為：x1=55 ，x2=70，x3=150 經(jīng)試驗(yàn)后，把試驗(yàn)結(jié)果列于表9-5中的最后一列（y）。 表9-5 三因素二次通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)結(jié)果 二、試驗(yàn)結(jié)果分析 （一）由表（9-3）中查得有關(guān)常數(shù)代入（9-5）式計(jì)算各回歸系數(shù) 于是得到回歸方程為： （二）回歸方程的顯著性檢驗(yàn)，依公式可得下列各平方和及自由度。 SS失

13、=SSQ－SSe=13.974－3.108=10.866 dfT=N―1=20―1=19 dfQ=N―=20―10=10 dfU=―1=9 dfe=m0－1=6－1=5 df失=20―10―6+1=5 對(duì)失擬均方進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)依 查F值表，F(xiàn)0.05(5，5)=5.05，p>0.05，說明不存在其它有影響的因素，故可作方差分析。 表9-6 回歸結(jié)果的方差分析 F檢驗(yàn)結(jié)果表明：二次回歸方程與實(shí)際情況擬合很好，可用來預(yù)測(cè)，試驗(yàn)誤差方差的估計(jì)值為： ，相關(guān)指數(shù)R2=3693.676/3707.65=0.9962。 （三）回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 查t值表

14、，t0.05(10)=2.228，t0.01(10)=3.169，故最優(yōu)回歸方程為： 由于在計(jì)算過程中對(duì)x1、x2、x3的水平進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化處理，故x1、x2、x3應(yīng)該分別用（x1－55）/15、（x2―70）/30、（x3―150）/89取代。整理后的最優(yōu)回歸方程為： 該最優(yōu)回歸方程的估測(cè)誤差為：Sy。e=，相關(guān)指數(shù)R2=3704.9045/3707.65=0.9993。說明用該回歸方程估測(cè)y的準(zhǔn)確性極高。 習(xí)題 9.1 為研究不同營養(yǎng)成份對(duì)奶牛產(chǎn)奶量的影響，試驗(yàn)設(shè)飼料中3種營養(yǎng)成份（因素）x1、x2、x3的水平變化范圍： x1為300~400、x2為100~

15、150、x3為1.2~1.8，試驗(yàn)采用二次旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)，各個(gè)因素的水平編碼如表9-7。試驗(yàn)結(jié)果（產(chǎn)奶量）列于表9-8中的最后一列（y）。試作試驗(yàn)結(jié)果的分析。 表9—7 三個(gè)因素水平編碼表 因素 xia x1 x2 x3 +γ +1 0 -1 -γ 400 150 1.8 380 140 1.7 350 125 1.5 320 110 1.3 300 100 1.2 Δi 30 15 0.2 表9—8 三因素二次通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)

16、結(jié)果 （答案：，其中，x1=（x1-350）/50，x2=（x2-125）/25，整理后的最優(yōu)回歸方程為：，其中，b1，p<0.01；b4，P<0.05；b2、b3，P<0.1；R2=0.7885。） 9.2 有一再生稻的栽培試驗(yàn)，考察因素分別為播量（x1，kg）、秧齡（x2，天）、密度（x3，萬株/畝）、N肥（x4，kg）、P肥（x5，kg）。試驗(yàn)采用5因素二次旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)， 1/2實(shí)施。各考察因素所設(shè)的上、下水平及水平編碼如表9-9。試驗(yàn)結(jié)果（產(chǎn)量，公斤/畝）列于表9-10中的最后一列（y）。試作試驗(yàn)結(jié)果的分析。（答案：在x1=（x1-20）/5，x2=（x2-30）/5，x3=x3-

17、3，x4=（x4-10）/2.5，x5=（x5-5）/2.5時(shí)， ，R2=0.8667）。 表9—9 三個(gè)因素水平編碼表 因素 xia x1 x2 x3 x4 x5 +γ +1 0 -1 -γ 30 40 5 15.0 10.0 25 35 4 12.5 7.5 20 30 3 10.0 5.0 15 25 2 7.5 2.5 10 20 1 5.0 0 Δi 5 5

18、 1 2.5 2.5 專心---專注---專業(yè) 表9—10 五因素二次通用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)結(jié)果 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

19、 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -

20、1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0

21、0 -2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

22、-1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

23、 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1

24、 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

25、1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0

26、0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 505.7 442.2 446.1 453.7 459.7 470.2 447.5 442.6 425.3 453.7 472.6 432.9 469.4 457.2 449.9 442.6 426.0 430.6 477.1 481.5 463.4 482.7 463.7 468.5 447.2 477.9 468.5 470.8 468.5 475.6 475.6 475.6 470.8 496.9 482.7 456.6