第十章計(jì)數(shù)原理 概率 隨機(jī)變量及其分布 第7節(jié)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布 1 了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念 2 理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布 3 借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義 4 能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 要點(diǎn)梳理 1 條件概率及其性質(zhì) 事件A 事件B P B A P C A P A P B 質(zhì)疑探究1 相互獨(dú)立 和 事件互斥 有何不同 提示 1 兩事件互斥是指在一次試驗(yàn)中兩事件不能同時(shí)發(fā)生 而相互獨(dú)立是一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響 2 若A B獨(dú)立 則P AB P A P B 若A B互斥 則P A B P A P B 3 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 1 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地 在 條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 相同 2 二項(xiàng)分布一般地 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X 設(shè)在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p 那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 事件A恰好發(fā)生k次的概率為P X k pk 1 p n k k 0 1 2 n 此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布 記作 并稱 為成功概率 X B n p p 質(zhì)疑探究2 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件是什么 提示 1 每次試驗(yàn)都是在同樣的條件下進(jìn)行的 2 各次試驗(yàn)中的條件是相互獨(dú)立的 3 每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果 4 在任何一次試驗(yàn)中 事件發(fā)生的概率均相等 4 兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值 方差 1 若X服從兩點(diǎn)分布 則E X D X 2 若X B n p 則E X D X p 1 p np p np 1 p 當(dāng) 一定時(shí) 曲線的形狀由 確定 曲線越 瘦高 表示總體的分布越集中 曲線越 矮胖 表示總體的分布越分散 如圖 2 所示 越小 越大 3 正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 P X 0 6826 P 2 X 2 0 9544 P 3 X 3 0 9974 3 已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N 2 2 P X 4 0 84 則P X 0 A 0 16B 0 32C 0 68D 0 84 解析 P X 4 0 84 2 P X 0 P X 4 1 0 84 0 16 答案 A 4 2015 呼和浩特模擬 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子 所得點(diǎn)數(shù)的樣本空間為S 1 2 3 4 5 6 令事件A 2 3 5 事件B 1 2 4 5 6 則P A B 的值為 5 2015 惠州調(diào)研 有一批產(chǎn)品 其中有12件正品和4件次品 從中有放回地任取3件 若X表示取到次品的次數(shù) 則DX 典例透析 活學(xué)活用1把第 1 題中的事件B 取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù) 改為 事件B 取到的2個(gè)數(shù)均為奇數(shù) 則P B A 拓展提高 1 求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有 利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解 正面計(jì)算較繁瑣或難以入手時(shí) 可從其對(duì)立事件入手計(jì)算 即正難則反的思想方法 2 已知兩個(gè)事件A B相互獨(dú)立 它們的概率分別為P A P B 則有 1 求甲 乙 丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是多少 2 計(jì)算這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)機(jī)器需要照顧的概率 解 記 機(jī)器甲需要照顧 為事件A 機(jī)器乙需要照顧 為事件B 機(jī)器丙需要照顧 為事件C 由題意 各臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒(méi)有影響 因此 A B C是相互獨(dú)立事件 1 由已知得P AB P A P B 0 05 P AC P A P C 0 1 P BC P B P C 0 125 考向三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布例3 2014 高考遼寧卷 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄 繪制了日銷售量的頻率分布直方圖 如圖所示 將日銷售量落入各組的頻率視為概率 并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立 1 求在未來(lái)連續(xù)3天里 有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率 2 用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù) 求隨機(jī)變量X的分布列 期望E X 及方差D X 解 1 設(shè)A1表示事件 日銷售量不低于100個(gè) A2表示事件 日銷售量低于50個(gè) B表示事件 在未來(lái)連續(xù)3天里 有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè) 分布列為 因?yàn)閄 B 3 0 6 所以期望E X 3 0 6 1 8 方差D X 3 0 6 1 0 6 0 72 拓展提高二項(xiàng)分布滿足的條件 1 每次試驗(yàn)中 事件發(fā)生的概率是相同的 2 各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的 3 每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果 事件要么發(fā)生 要么不發(fā)生 4 隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù) 1 求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率 2 觀察3個(gè)試驗(yàn)組 用 表示這3個(gè)試驗(yàn)組中甲類組的個(gè)數(shù) 求 的分布列和數(shù)學(xué)期望 考向四正態(tài)分布例4已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布N 2 2 且P 4 0 8 則P 0 2 等于 A 0 6B 0 4C 0 3D 0 2思路點(diǎn)撥正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x 2 再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)及P 4 0 8 數(shù)形結(jié)合求解 解析 法一 P 4 0 8 P 4 0 2 由題意知圖像的對(duì)稱軸為直線x 2 P 0 P 4 0 2 P 0 4 1 P 0 P 4 0 6 答案 C 拓展提高服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上正態(tài)曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積 因此常利用圖形的對(duì)稱性求概率 活學(xué)活用4已知隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布N 1 2 且P 2 0 8 則P 0 1 等于 A 0 2B 0 3C 0 4D 0 6 解析 N 1 2 P 1 P 1 0 5 又 P 2 0 8 P 1 2 0 8 0 5 0 3 由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知P 0 1 P 1 2 0 3 故選B 答案 B 規(guī)范答題10分布列與概率的綜合問(wèn)題典例 12分 2015 洛陽(yáng)市統(tǒng)考 隨著建設(shè)資源節(jié)約型 環(huán)境友好型社會(huì)的宣傳與實(shí)踐 低碳綠色的出行方式越來(lái)越受到追捧 全國(guó)各地興起了建設(shè)公共自行車租賃系統(tǒng)的熱潮 據(jù)不完全統(tǒng)計(jì) 已有北京 株洲 杭州 太原 蘇州 深圳等城市建成公共自行車租賃系統(tǒng) 某市公共自行車實(shí)行60分鐘內(nèi)免費(fèi)租用 60分鐘至120分鐘 含120分鐘 收取1元租車服務(wù)費(fèi) 120分鐘至180分鐘 含180分鐘 收取2元租車服務(wù)費(fèi) 180分鐘以上的時(shí)間按每小時(shí)3元計(jì)費(fèi) 不足1小時(shí)的按1小時(shí)計(jì) 滿分展示 X的分布列為 答題模板 第1步 用獨(dú)立事件分別計(jì)算兩人都付0元 1元 3元 6元的概率 第2步 用互斥事件求概率之和 第3步 求甲每天所付車費(fèi)不超過(guò)2元的概率 第4步 由重應(yīng)重復(fù)試驗(yàn)分別計(jì)算四天中分別有0 1 2 3 4天的概率 第5步 寫分布列 計(jì)算期望值 思維升華 方法與技巧 4 若 B n p 則E np D np 1 p 5 關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的概率求法 1 熟記P X P 2 X 2 P 3 X 3 的值 2 充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1 正態(tài)曲線關(guān)于直線x 對(duì)稱 從而在關(guān)于x 對(duì)稱的區(qū)間上概率相等 P X a 1 P X a P x a P X a 3 3 原則 在實(shí)際應(yīng)用中 通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N 2 的隨機(jī)變量只取 3 3 之間的值 取該區(qū)間外的值的概率很小 通常認(rèn)為一次試驗(yàn)幾乎不可能發(fā)生 失誤與防范 1 運(yùn)用公式P AB P A P B 時(shí)一定要注意公式成立的條件 只有當(dāng)事件A B相互獨(dú)立時(shí) 公式才成立 2 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中 每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果 即某事件要么發(fā)生 要么不發(fā)生 并且任何一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率相等 注意恰好與至多 少 的關(guān)系 靈活運(yùn)用對(duì)立事件 3 在實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行概率 百分比計(jì)算時(shí) 關(guān)鍵是把正態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù) 求出 然后確定三個(gè)區(qū)間 范圍 2 2 3 3 與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解